1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 70
Текст из файла (страница 70)
А, а равностепенная непрерывность — из неравенства а гвь !В(х,) — ~(х,)[«=.А ~ [К(х,, г) — К(хн !)~сЫ. (111) и Таким образом, при непрерывности ядра в !',! оператор (109) вполне непрерывен в С. Можно показагь, что норма оператора (1091 в точности равна: шах ~ ~ К(х, !)~сй.
а 'к Ь а ния; х= с,х, †,~ сях, + ... + с х , где с„ — произвольные числа. Представление всякого решения х в указанном виде единственно в виду линейной независимости х„. Линейно независимые решения можно выбирать различным образом, но в полном наборе линейно независимых решений число их всегда одно и то же. Если уравнение (106) имеет решения, отличные от тривиального, и элементу, входя~пий в уравнение (104), удовлегворяет указанному выше условию разрешимости, то все решения уравнения (104) предсгавимы формулод 336 мГтгнчвскив и ноями»овлнныя п»остглнства [993 Оператор (109) будет вполне непрерывным в С и при меньших предположениях об ядре. Положим, нзпример, ~то К(х, !) — ограниченная измеримая в квадрате О функция и что 1!ш К(х', !)= К(х, !) х к (112) при любом х из [а, Ь] для почти всех !.
При этом [54]: !!гп ] ]К(х', !) — К(х, !))г(1=0 х' к а и при любом заданном а)0 существует такое 8) О, что ! К(х„!) — К(хп !) [г(1(з при [х,— х, !( в. а Это последнее доказывается аналогично тому, как доказывается равномерная непрерывность функции, непрерывной на конечном замкнутом промежутке [Р 43]. Ограниченность и равностепенная непрерывность е(х) доказываются совершенно так же, как и выше. В дальнейшем мы подробно исследуем интегральные операторы с полярным ядром.
2. Рассмотрим теперь оператор (109) в Е (р,э 1) в предположении, что ядро К(х, !) ~ Е» (О), т. е. ь а ~ ~ [ К(х, !) ]»' г(х г(! = Аж (+ со. (! !3) а а Если ф(х) — любая функция из Е [а, Ь], то игпеграл (109) имеет смысл. Нетрудно показать, что оп определяет измеримую функцию »(х) [ср. 68]. Согласно формуле Гальдера имеем » ь 1 ( е(х) [~ ~ '] [К(х, !)[»' г!г]»'~ ~ ( ф(х) [' сКх~» ° а а Возводя обе чзсти в степень р' и интегрируя по х, получим (]~]с» (Аы![г),'„»'» т.
е. !(У'л, ( А ',ф['с~, (114) т. е. (114) есть линейный оператор из ь в Е» . Можно показать, что А есть норма этого оператора. )(окажем, что это вполне непрерывный оператор. Пусть У вЂ” ограниченное в т'. множество функций ф(х), Ьг — множество соответствуюшнк функций е(х) ~ Е» . Надо доказать компактность 1». По условию ['ф !»» ( С, если ф (х) Я У, и из (114) следует,~~у'3 АС.
Остается доказать, что р(х) равно- 106~ зполнь ньгн и ыяныя опю л~опы в с, с, и ~л 667 степенно непрерывны в среднем. Продолжая э(х) нулем вне (а, Ь ) и К(х, !) нулем вне 1;), имеем 7(х+)г) — ~(х)= ~ !К(х--lб Е) — К(х, Г))ф(!)М, а откуда, как и иыше, В силу того, что К(х, !) непрерывна в среднем в'7,, па !',), при любом заданном а) 0 существует такое т)) О, что ~ ~ ~ К (х -'- (г, у) — К (х у) !ж г(х г(1 ~ Г ю при ~ й ~ ~ та п из (116) следует, что ! э(х -, 7г) — ~>(х))с, (а при ! !г ) (ъ), причем .г одно и то 'ке для нсех о(х) ~ У, что и требовалось доказать.
Аналогично проводится доказательство для случая бесконечного промежутка и многих независимых переменных. 3. рассмотрим теперь оператор изб в 7р (р ь1),задаваемый формулами: еп = ап 1, + ап гэ +... (116) при условии ! игл(ж= Ам(-!- со ьь=) (117) Виодя обозначения для элементов х(чп $м,) н у(тн, тм ...) и применяя неравенство Гбльдера для сумм, получим соверщенно так же, кзк н акиме !у ~~ ~„, ~ А' х '~„, (! 18) ~ак что оператор (116) есть линейный оператор из 7 и 7„.
Докажем, что он нполне непрерывен. Пусть У вЂ” ограниченное множество элементов хс= 7 ('х '(С) и Р— соотнетствуюпгее множество элементов у Г 7„. Е)аде доказагь его компакжюсть. Его ограниченность ь ь ( о (х -'- lг) — э (х) !ь, ( ! ~ ~ ! К (х 1- Ь, 1) — К (х, !) ! ж с(х г(! ~ я' Щ а т. е. ь ь ' р (х + 7г) — о (х) ,,'!с, ( ~ ~ ~ ~ К (х+ lг, !) — К (х, !) ~!юг(х г(ф' С. ( ! 15) а а :138 матгнчаскив н НОРмиговл1В1ЫВ пРостРлнстВл [109 следует из (118) и остается доказать, что при любом заданном а) 0 существует такое целое положительное число л., что ! ( !!.!Р %Р (119) Из (! !6) и неравенс!ва Гальдера следует > ю ,л ) т!1 !Р'(, у ащ !Р'' Х !Р == ~~! ЛР ( ам ~!Р' С!'. (!20) 1=» 1=л а=1 !=л а= ! » » В силу (117), двоинои ряд с общим членом 1а1Л,Р' сходится, и, следовательно, существует такое и., что !1 ~ )аы!Р'('-,, 1=л а=1 (12!) отсюда, в силу (!20), и следует (119).
(122) Применяя формулу интегрирования по частям, получим, принимая во внимание финитность ф(х), 0'т (х) Ь (х) дх = ( — 1)' ~ сг (х) (У о! (х) Их. (! 23) Ь !а 109. Обоб1ценные производные. Мы введем сеичас новое понятие производноп, которое часто применяется в современпой математической физике.
Пусть !л — ограниченная область л-мерного эвклидова пространства Й„, точки ко~орого х определяются декартовыми координатами (х,, х„ ..., хл). Под областью будем всегда подразумевать открытое связное множество и будем считать, что границы областеп, о которых мы будем говорить, имен!т объемную меру нуль. Через б, как всегда, будем обозначать область 0 вместе с ее границей (замкнутая область). Будем говорить, что область лУ лежит строго внутри б, если ЕУ с: й и расстояние от ЕУ до границы О положительно. Это равносильно тому, что сг с: 7). Как и раньше, будем называть функцию финитной в й, если она равна нулю вне некоторой области (У, лежащей строго внутри л) (П может быть разной для разных функции). Положим, что функции ч!(х) и ф(х) имеют непрерывные производные до порядка У внутри Р и функция ф(х) финиш!а.
Рассмотрим какук1-либо производную порядка У д!т дх,' дх.'-'... д.!»» 1Ой] ззй оаовшанныа пгоизводныв ~ 7 (х) ф(х) г7х=( — 1)' ~ о (х) Р'ф(х) ах. (! 24) 7огда функция у (х) называется обобщенной производной вида (!22) функции о(х) в 77. Убедимся, ч го у заданной функции о (х) может существо- вать только одна обобщенная производная данного вида. Пус гь 7(х) и у,(х) — две обобщенные производные. Лля ~р(х) и у, (х) также справедливо равенство (124), Вычитая почленно, получим 1 [у (х) -- Х1 (х)! Их) й =О, (123) Ь ' откуда, ввиду произвольности финигной функции ф(х), следует, что )с(х) и у,(х) — зквивалеьпные в Р функции [7!]. Если о (х) имеет внутри 0 непрерывные производные до по- рядка 7, то имеет место (123) и у(х) = Р'ку(х).
В дальнейшем мы сохраним обозначение (122) и для обобщенных производных. Отме. тим некоторые свойства обобщенной производной, непосредственно вытекающие из ее определения. Обобщенная производная Рг~(х) не зависит от того, в каком порядке записано дифференцирование, ибо в формуле (124) можно произвольно переставлять порядок диффе- ренцирования у функции ф(х), имеющей непрерывные производные.
Если гьг(х) и чь,(х) имеют обобщенные производные вида (122): у,(х) и у,(х), то с,о,(х) †', сто,(х) имеет обобщенную производную сгул (х) [- скул(х) того же вида (с, и с, — постоянные). Если )((х) есть обобщенная произволная э(х) в Р, то она будет обобщенной производной того же вида и в любой области 7у, принадлежащей Р. дт (х) Если э(х) имеет обобщенную производную =у(х) и;~(х) дх, дх (х) имеет обобщенную производную Л, то о(х) имеет оообщенную д.кь дьч (х) дх (.к) производнунг ' ' = ' . Аналоги ию и для производных друдх, дх.
дх, гих видов. Далее, если гу(х) имеет обобщенные производные дт (х) дль дьз (х) д-'з (х) дв (х) и — — , то есть обобщенная производная от по хи дль дл', ' д.к, дх, дх, Ниже мы покажем также, что нри некоторых дополнительных огра- ничениях справедлива обычная формула дифференцирования произве- дения: Формула (123) может быть положена в основу более общего понятия производной. Определение 1. Пусть функции сь(х) и у(х) сулгмггруелгы по любоа строго внутренней подобласти 0' области Р и для любой фпнитной 7 раз непрерывно дггфференцггруелгой функции ф (х) удовлеогворяют соотношению 340 мятгичгскив и ноьвшговлнныг.
пеост~ лнсгвт 1109 д (ва (.т) ты (ь)) дв~ (х) ( ) ! ( ) дчн (ь) (120) дх, дл, 'ч ' т' дх~ Установим ~еперь связь между обобгценным дифференцированием и операцией усреднения. Пусть ьч (! х — у )) — какое-либо усредняющее ядро, зависящее от расстояния между точками х и у, и ~ьь(х)— средние функции, построенные для ~ь(х): (! 27) Г1редполагая, что о (х) имеет в О обобщенную производную )((х) = Р'~р (х) вида (122), вычислим соответствующую (очевидно, обычную) производную от средних функций !71): (128) Р„. <ьь(х)=-„в ~ шь(!х — у~)Р'„<1(у)йу, (! 29) которое можно сформулировать так: средние функции от обобщенных производных совпадают с яроизводнылси гиого зюе вида от средних функций во всех точлах обласиаи О, расстояние ноторых до границы О больше радпуса усреднения.
На основании свойств средних функций !71) можем теперь УтвеРждзть, что пРи Ь -ь 0 оь (х) — ь 7 (х) и Р'оь (х) — + Р'ь (х) в О (ГУ), где ГУ вЂ” любая строго вну гренняя подобласть области О. Более того, если дополнительно предположи~ь, что о(х) суммируема по любой строго внутренней подобласти ГУ с какой-либо степенью р) 1, а обобщенная производная Р'~ (х) — с какой-либо с~слепые о ) 1, то сходимость оь(х) и Р'7ь(х) имеет место и О (О') и ! (О') соответственно. Сделаем одно предостережение. Пусть фугн<ция 7(х) доопределена каким-либо образом на все )7„: например, положена равной нулю вне О.
Тогда функции оь(х) также определены во всем пространстве и при Ь -ь 0 сходятся к о (х) в А (О), Однако функции Р'7ь(х), вообще говоря, не будут сходйться к Р о(х) в пространстве Е (О). Это связано с тем, что так продолженная функция ч(х) может не иметь соотвегствунэщей обоб. ршнной производной во всем К„.
Будем считать точку х~О отстоящей от границы О на расстояние, большее чем Ь. Так как функция ыь(/х — у!) обращается в нуль вне шара радиуса Ь с центром в точке х, то ее можно взять в качестве финитной функции в формуле (124), Вместе с (128) зто приводит к соотношению 109~ ояоянкРлшыа пяоизяодныя Вернемся зеперь к доказательству формулы (126) диффереиггироваг!ию произведении. )!окажем сначала одно простое утверждение. (!усть 2, (х) ~ ! (й') (р ) 1) и е, (х) (-- (.р (О') , ! ! ! — + —; = 1) в любой с~!зого внутренней для О области В' и ф(х)— Р Р ограниченная финн пюя и (! функния. Тогда ~ Зл(л)укл(х)~(х)дл — ь ~ уг(х) ка(х) ф(х) г(х. А и-о, Дейстяи~ельно, используя нерзяенсгяо Гальдера, найдем ! ~ ! р, (х) уал (х) — тп (х) ез (х) ! '(х)дх ( 'Ь вЂ” ~ ,'уы(х)!,;Узл(х) -ря(х)~ !9(к)!г(х+ 6 1 ~уя(х)! 'кол(х)--Ф!(») !ь(х!',дх( )Ь = С! !кы !г„~о ~,фы — '~~(ь„,,оч+! 9з ~с~ною)2~л — 'р~!2 !о >]. Здесь С=лир !ф(х)! и й'-- подобласть й, вне которой ф(х) равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
