1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Ь Ь (1о1) Принимая во внимание, что элементы йт~,, (О) суть пределы (о ю эле»ге~гтов нз Си'(О) н норме )Р'р'(0), мы можем утверждзггь чго формула (1б!) имеет место для любых !»(х) Е Й,'(О) и )(х) с Ю'я (0). Очевидно, что )Ряк (0) входит в )Гр (0). НетРУдно видеть, что )рр'(0) есть правильная часть 1»"„н (О) (г') !).
Лействигельгю, рассмотрим, например, случай 1=1. Напишем формулу интегрирования по час~ям — ' — 6(х)г!х= — 1 в(х) ' ' .г!х-'- м(х)6(х)соз (л, х,)«Ю, "дт !х) !' дд!х) дк~ 1 ' дх, где «» (х) и аг (х) — непрерывно дифференцируемые в 0 функции. В Ж'р (О! имеются функции л(х) указанного типа, не равные нулю ю на 8, и для них, при соответствующем выборе ф(х), интеграл по Я будет отли шым от нули.
Лля любой же функции Р(х) из 1»'ю(0) из которых звездна по оюгошению к какой-нибудь своей точке и имеет кусочно-гладкую границу. Если мы докажем справелливость формулы (1бО) для каждой из Ою то, складывая эти равенства по всем О„, убелимся в справедливости (1бО) и для всей области О, Итак, пусть О звездна и г»(х) Е %'р" (О), ф(х) Е В'ру(О) ! — + —;= ! ), !Р Р В силу чеоремы из !111) существуют последовательности непрерывно дифференцируемых и О функций с»ь(х) и ф„(х), сходящиеся к «»(х) н Ф"р" (О) и )рр" (О) соответственно.
В силу теоремы 3 та(х)-»ч»(х) в ь (5), а фь(х)-+ф(х) в ьр (Я). Для функций»ь(х) и ф»(х) формула (1бО) справедлива. Переходя в ней к пределу по й, мы и убедимся в справедливости (150) для «»(х) и )(х). При решении предельных залач математической физики рассмагривают неко~орые подпространства пространств ж~р (О), состоящие из элекыо ментов, удовлетворяющих каким-либо однородньщ предельным условиям. Впервые они были введены К.
Фрнлрихсом (см. Гильберт— Курант, «Методы математической физики», т, П, гл. ч'1!). Пусть О, как и выше, — ограниченная область пространства х (хь х„, ..., х„). Обозначим СЮ(О) — множество всех финитных непрерывных и непрерывно дифференцируемых до порядка г' в 0 функций. В эгом линеале ввелем норму %'р (0), и результат замыкания С!п(0) по этой норме ю обозначим через Й',о(0). Если гя(х) Е С<г!(О) и ф(х) Е )ряр)(0) !1, ! — —,-= 1), то мы имеем по определению обобщенных произвол- Р Р ныл: свойства вкнкцнй кллсгл !Г>н>(0) г Вбу 11З) имеет место формула (15 1) при л = 1, н которой интеграл по поверхности отсутствует. Форл>ула (151), ввиду произвольности ф (х) ~ Ж'лц (О), дает нач право говорить, что функции >а(х) из Тгр (0) „обращаются в нуль ю на гр>нице вместе со своими производныьш до порядка à — 1'.
Если граница 5 области обладает достаточной гладкостью, то >я(х) и ее производные до порядка (l — 1) стремятся к нул>а в норме Г.р(Я) при приближении к о, как это указано выше. В общем случае указанное предельное условие имеет место лини, в том смысле, ч>о для любых !>(х) Е )Рр" (О) и ф(х) с Ж"р)(0) имеет место формула (Го1). При рассмотрении пространства (Г'лш(О) гладкость границы не играет существенной роли, ибо, поместив 0 внутрь некоторого шара О, и доопределив в(х) в О, нулем (вне О), полу. чим т(х) Е 'йгш(0>).
Такое распростране>ше функций из )Г'яш(0) дает возможность делать более полные заключения без введении областей 0', находящихся строго внутри О. В час~ности: 1) функции у(х) из (Г>р>(0) можно аппроксимировать в норме 1Рр>(О) бесконечно днфференцируемьши финитными в 0 функциями; 2) если !ч(х)~ Тгнп(0) с Гл ! Г) ~ — ~ + 1, то >я(х) эквивалентнз непрерывной и О функции, равной нулю на границе О. В заключение покажем, что замыкание функций из С' >(О) в Крь(Р) (р . 1), т. е.
в Г.р(0), дает все пространство Г.р(0). Иначе говоря, в пространстве Г.„(0) гладкие финитные функции образуют плотное множество. действительно, пусть 0> есть множество точек, расстояние которых до границы 0 не меныпе ч и для любой в(х)(: Г„(0): "(х), если х Е 0„, а'"> (х) = О, если х с !А. Очевидно, функции Г>а> (х) плотны в Е (О), гак как прн 4-ь О ! в — 'йн>!>с ш> = 1 ! '+ (х) !Р>(х ь О.
п-о, Г!остроим средние для т"'(х) функции рд (х) при Г>~ —,. Зто гладкие 4>инитные в 0 функции, сходящиеся и Гр (О) при /» -. 0 к >р>а> (х). Эти функции ~лн>(х) образую г плотное и Е (О) множесгво. Таким образом, мы показали, что при l=!! пространства )Ргш(О) и К~(0) совпадают. ььог«ьигов тььнььк пяоствьььсь ьь « ) 114 ть=:,' фььь„„. ь! Доказываеьсьь, что имеет мест о пер звене ь во ь — ь 1'9 ь я~ 4 '" ' ь=ь (152) где А — положителышя постоянная, не зависящая от выбора о(т) Е Фр (О). Неравенство (152) показывает, что нормы пространств %'р (О) и (кр (О) эквивалентны. В дальнейшем мы можем не различать прас грансгва Мр'(Р) и (угьд(0).
Высказанные утверждения содержатся как частные случаи в более общих теоремах, к формулировке которых мы переходим. Указанные выше угверждения н теоремы, которые мы формулируем ниже, будут доказаны в (115 †1). Предварительно введем нросгрзнство Сььь(0) функции непрерывных в 0 и имеюцьих все производные до порядка 1 включителыкь так.ке непрерывные в О, причем норма в этом пространстве определяеься следующим образом: '11 о1сььь ьоь — — шах ! Р"«р(х)1, .«Е Ь о ь ь 114.
Теоремы вложения. Мьь переходим теперь к подробному изучению свозе гв функции пространства )к«р (О) и установим завил симость между поведением функций и их производных в самой облзстн и ца ее сечениях различных размерностен. В связи с этим мы получим ряд важных неравенств и на их основе рассмотрим вопрос об эквнш взлентных нормировкзх пространства Чгр'(О). Совокуььпость эгих результатов обычно называют „теоремами вложения" С. Л. Соболева. В настояьцем параграфе мы приведем формулировки упомянуьых теорем.
Будем считать, что 0 — звездна относительно всех ьочек некоторого шара К, лежащего внутри О, или чго 0 можно рззбиьь гладкими поверхностями на конечное число областей такого ьипа. Для обласзеи указанного тица доказывается, что есльь ъ(ге) п.яееьп в 0 все обобщенные производные порпдьга У -== 1, ььрььчс.ьь о (х) и зта производные принадлежат 1.„(0) (р) !), то ьу(х) пльеель все обобщеннььв проььзводнььв до порядка 0 прочтя онп ьььанже принадлежат ьр(О). Другими словами, класс функция (1тьяи'(Р) вклад ы в а е т с я в класс Ю'р (О) нрн т ( О а ь акзье н класс (уь™ (О).
Отсюда, между прочим, вытекает, что зля обласгея упомянутого выше вида классы (1ь'л (0) и Ю'р (О) сощояь иа одних н гех же л -ьп функций. Условимся для крзткосьи обозначать ! 14) тзоевьгы Вложяиия где Р"~(х) — любая производная порялка и и мзксимум бере>ся по х '- 0 и по всевозможным производным до порялка 1.
Напомним, что непрерывность какой-либо производной Р~о(х) в О понимается следующим образом: о(х) имеет внутри 0 иепрерыипу>о произподиук> 0"~(х), и эту последнюю можно доопределить пз границе 0 гзк, что получится функция, иепрерыяпая в 0 . Вместо указанной вьппе нормы в С >(О) можно ввести эквивзлептцую цорчу по формуле > !(р = У ~ гпах! дь (.) ь за,, ь ь эьи' дхгч ...дк л ь Пространство Сьп(О) есггь очевидно, полное пространство типа В. Пространство С'ь' 0 мы, как и раньше, будем обозначать С(0).
Теорема О Если р) ! и рГ и, то всякая функции о(х) ' Фр (О) эквг>валентна фуньции и.> С(0! и и ря ч( — —— "— рг (154) ! 155) где >И> — постояннан, зависяа!ая >полька оп> обласиис О и сече- ния О,. Броме того, при люоом заданнолг а ) О существует т,) О, одно сс гпо же длн всех >а(х), нормы которых в !г>1>(0) не превы- ягают любого фиксированного чпсла.
талое. чпи> ~ 'о(х ) Ьх) — о!х) чйч еь, Б (156) если )ах',~>) и точки х и х+тбх (0(т . !) принадлежапг О. Из сказаииого вытекает, что л>ножество, ограниченное в Фгп(0), кол!>гактно в (.ч(0,). Отметим, что за О, мы можем брать как полное, так и неполное плоское з-мер>юе сечение О, а также п-мериую обласгь, вхочягцук> я О. если р(=п, го я цоследпеи теореме >у можно бра>ь лк>оос, ! )с>и, >И г~ ю э ' гое М вЂ” постоянная, зависящан >полька от области О. Всякое множетпво У, ограниченное в )ь>р (О), компактно в С(0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
