1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Теорема 3. Если р) ! и рГ== п, то всякая функция )>(х) с )Г>гр (0) эквивалентна спокой функции й(х), которая определена почит везде на сечению> О, области 0 любой плоскостью размерности э) п — рг, прпче.и ч>(х) суммируема на О, с любой степенью >), ю>торая удовлетворяет не(>асечству 360 чьтрнчвскиз и нормировлнныз пространства 11!4 большее единипы.
При р7( и правая часть (154) больше единицы. Теореиа остается справедливой, если плоскость заменить гладкой поверхносгью. 3 а и е ч а н н е. (.огласно ч еореме 1 всякая функция о (х) - 1Рчр (01 при р7) и оказываечся и функцией из С(0), т.
е. из )ь~р (О) она вкладывается в С(0). Согласно (153) оператор вложения, сопоставляющий каждой функции из рргр (0) ее же, но как элемент С(О). оказывается ограниченным операторои, а последнее утверждение теоремы сводится к тому, что этот оператор является и в и о л н е н е п р е р ы в н ы м о п е р а т о р о и. Лналогичное замечание можно привес~и и для теоремы 2. Укажем еще на некоторые следствия теорем вложения. Если р7) л и целое число т удовлетворяет неравенству 0(т(7 — —, чо любая р(х) Е )гчн(0) непрерывно дифференцируема в 0 до порядка пг, причем функции Р"7(х) при й « гп эквивалентны соответствующим непрерывным в 0 производным от ~7(х), и сугцествует такое положительное число А, зависящее только от О, что ~ Р"; (х) 1«А 1' о ~ (157) Отсюда следует, что К'р (О) при р7) л есть часгь пространства (и и функций, непрерывно дифференцируемых в О до порядка: 7 — ~ — ~ — 1 г" -Л- (часть пространства С " ).
Если и го~О, т)7 — — и в) и — (7 — т)р, р то нз всяком достзточно гладком в-мерном многообрззии гг, в 0: Р~р (х) ~ Еч (го,) при г7 ( ", (158) и существует такое положительное число Ан зависяьцее только от 0 и гг„ что ~1Р"гр(х)!2 ~о ~---А,,',7 ~ю (159) Во всех перечисленных случаях соогветствующие операторы вложения вполне непрерывны. Теоремы 1 и 2 позволяют построить различные нормы в Фрп(0), эквивалентные основной норме (145) или (138). Более общий резулыат в этом направлении дает следующая теорема 3. Теорема о'. Пуггпь линейные ограниченные в )ряр (О) функцпоНллы lь(гг) (й = 1, 2,..., 7У) таковы, что онп не обратаюпггя одно- 114) г ьг)Рамы вложкния временно в нчль нл на ог)но.и отличном от тождесл(венного нуля лолпноме степени не выше 1 — 1.
Т о г д з ф о р и у л а л ъ 7, () Р ~с,го! -!- ' )ь (т)," г . г, -..., -г =г я= ( г ' йг''' и определяет норл(у, днвнвален(иную основнои норме 1144) или (138). Отметим г(редварительно, что, в силу сказанного в /112). порча (160) эквивалентна, нзпример, норме Л т), !с го — ~т ! гь(т) ( (!61) ( — (, ... ! ч '''' гг и другим аналогичным выражениям. Приведем некоторые примеры эквивалентных норм в простран- СГВЕ )Гр (()). ИЗ тЕОрЕМЫ 3 СЛЕдувт, Чта В 1Гггеп(В) МОЖНО аадатЬ норму формулой ч г,=т!,г',', > ~рггг 3. а=( ,г (162) Действительно, функционал ~ р(х)(1х линеен в 1Рр (1)) в силу (и ) нерзвенства г г~ (х) г(х ~ 1~ г~,(с гр) (т0)р =.
11 р(1кггнго) (т,())", и ~ сг(х ~ О ни при какой постоянной с;л О (здесь лЮ обозначает меру области В). Из теоремы 2 вытекает, что норма дг( ~ дх (~с г(л+) т гсргл) (163) и '~~ ' дэ', дхь !(. (о) 1 ~ ~' ~~ег~' й-) (!64) эквивалентна норме (138) при всяком г), удовлетворяющем условию 1(((( р (р(л). При р=а можно брать любое г()1. Если же л — р р) л, то также можно брать любое гу ) ! или даже заменять второе слагаемое формулы (163) на !!гч,!ого). Такое же замечание относится и к последующей формуле (164).
Читатель легко проверит, что вы- ражение 362 мвтРссчаские и ноньсияоплнные сслостллнствл !116 где Я вЂ” какое-либо гладкое многообразие (п — 1) измерения, лежзсцес р (сс — 1) в сд, и показатель су удовлетворяет условию 1 ( (с( — — — (р(п), и — р также определяет норму, эквивалентную норме (138). Аналогичные соображения приводят к разнообразныи экнииалентным нормировкам пространства В~~'(О) при утж 1. с!лл — — эсп"' "Вс япл лат... яп ал.эдасдас Ф!л сс!р Теорема !.
П»гсссь В(х, у) — ограниченное при .л ну,: с) и непрерывное лри х фу ядро. )унсссггра сьййи оператор и [х) = ~, ' ',.; !'(у)с!у с В(х, у) о ! !65) лссолне непрерывен (и сле.к галсыи с!грани'сен! ках оператор из Л (сс) а С'(ут! о!( 1 тл) ссри ), ( —, ! — + —; = 1 ц По условию ! ту(л, у) ! ( В, где  — постоянная, По неравенству !'ельдсра; !и(л)! В~~ 'у(у) лду! ~ ~ г 'л 4у~ сс кп гле Кн — шар радиуса Ас с центром в начале координас, содержащий ВЛ н г = !'х — у !.
Псрехоля к сферическим координатам с началом в точке х, получим гй ! ) ) г' ходу~ . ~ ~г" ' '" дг1 с!а,с~ нп о' П 66) и, слеловасельно, и (х) ! В ~ " ',~' (2Л,')л у" (167) Эта оценка показывает, что сели ,!г"'! ср) С, где С вЂ” некоторая по- Р Стояннал, то соответствующие функции и (х) равномерно ограничены в с). Для доказательства теоремы достаточно показать, что они равностепенно непрерывны. Пусть Ь ) 0 достаточно малое число и )У)ст' — множество тех точек у ц В, л) Здесь и в дальнейшем считаем р ) 1. 115. Интегральные операторы с полярным ядром. Мы нсрсхолим с еперь ск изложению доказассльсса теорем влшксння, о которых мы с озарили в орелылушем парагрзфе.
Прсдварисельно нам надо рассмотрен некоторый класс интегральных операторов с полярным ядром. Как обычно, через уд обозначим ограниченную область п-мерного пространства )7л. Пусть лл — сфера радиуса единица в Ассс (размерности п — 1) н ,'лл! — плошадь этой сферы. Для элеменса объема в Ьл имеем формулу (П, 173) ссх = с!х,с!х... с!ха = г" 'ссгс!лл, где ингигеляьпыи опврт!осы с полярным ядром 363 115! для которых !у — х ! — -ь. Для х и .! -1- йх;- О пол! шм В (.с, у) В (.т + Лл, у) 1и (х + Лх) — и (с) ! ( ~ ( ': —,, —, ' '- —,— ~ . ! 1(т!)! ду -!.
и!и у()!) ., !' у (у) х+ З.с--у ' г! — тяэ! и — о'х! ь причем мы считаем , 'Ьх! = —,, При любом заданном .= > О существ! ет такое '? ' ч>0, что збсолютное значение разности, входящей в первый интеграл, (с, если ! дх , 'д. Применяя неравенство Гсхльдсра, полу !им для первого инте! трала оценку с,О'Р С, где ! 0; — мера О. Второй интеграл можно оценить по неравенству (167) прн '2Я = ь, а третий интеграл не превосходит интеграл от Соответствтющей подынтсгралэной функпии по той части тара зз ! у — (х -1- дх) ; '( —, которая принадлежит О, и оценка этого итжсграла также получается из (1',*1 ,т,'Ж Прн 2угст —,;, Окончательно( ! я ! и „,; х ,и(х+Ьх) — и(х)! '-! !О!рС+ — и,) ~ бр -', ~ — ) (бт! )Р 1 !, УЗЗ!Р откуда, ввиду произвольности выбора Ь и а, и следует равностспеннан непрерывность и(х) при )г )с (О~ ( С, Тем сам м теорема доказана, ' р( п Теорема 2, Оусть п> Л = —,, целое число з > п — (и — л)р (или, что р 3 п 'т я!о же,— >)! — —,~ из и.
Интегральный оператор(165) вполне непрерывен как оператор из Ер(0) в Еч(0,), где О,— какое-либо з-мерное плоское сечение и а — любое число, удовлетворяющее нераленстлу зр Ч <с)*= !т — (п — ).) р ' 1)редполигач, чян! В(х, у) определено а аблаев!и Оь содержащеи 0 внутри себя, и оолидает л О!»кизпнны.чп еыч!е слойстлалпи, получаел!, ароне того! „и (л -1- лхч) . и (.г),т,с, ! (а) об!!с,о!, (168) Ч ! У где х" — фиксированный вектор, а ! («) непрерывна при О а (Ь, где а-не- которое положительное число, розни н»лю при а = О и ояределяе!пся пощипанной В, и также размера.чи О и О,, !)ри з =и за О, можно брал!ь ,тюбую подобласть О. 3 а и е и а ц и е, Можно не предполагат!и что В (х, у) опредсаено в более широкой области 0„ но при этом в формтлс (!68) пало счи~а~ь сдвиги ах" топустпмымп, т, е, такими, что точки л' + ах' находя!ся я О, Отметим также, !1!п при и — (я - х)р = О показатель т).
люб и, Показательство пазпбьем на тнс чт ти. 364 мкг»ичнскин н по»ми«оилппыь попо|«лнсгнл (115 Лемма П При указанных услояиях |и|«рапир (1651 олраннчен как оне/н!. мор из с»(/)) а В (Пг). Из условий теоремы следуег, чго )/л ~ р, и будем пока счига|ь, чго )/ = р Мы ил|сел| я я . л )/ )/' /' =)— я !. с. 1.= |/ л ; — 2,В 1,'| > 0), /) 1!оложил! 1 1 1 1 )/ р )/ Р (а,+а — ал)=1. Пользуясь дважды неравенстиом Гельдера, прилем к слелгющемг неравеис|яу с тремя множителями: 1 1 ~ у,у;ул /, -~ ~ Л '" Й ~ у;,".-Ц ~ ул."~", ь О О О Применил его н интегралу, стони!ему в правоп часги следующей очевидной опенки: — у ь .,«(- ) и(л/ .-В ~ (У(у) чг ч )(|у(у)' '» е И «)иу, КК причем у(у) нрододжена нулем на часть шара, лежащую ине П, получим (и(х)1«-В~~| у(у) !»г 'лаз)/у~ ~ ~ ! у(у) !»с/!)~ ~ ~ г и «'му ~ Кц Кц Кц 1 —— « Второй множитель справа есть з !! а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
