1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Третий опенивзе|ся известным об- 'С |О! разом н, - 1'н, (2/л))«" Р'р Кц откуда и(х)! - В ~ " 1 (2/))З!1У'( е! ~ )У(!))!»г-)лак)/У~ ~ р'р / с /о)~ .~ ~Ъ) ! и (х) ,'ЕФхьп (Ве ~ — ", ') (2Д)ез,!'у!|~~ ~ )/х!)' ~ 1з (У) «г Я+а) с/у, (169) |-Ятбб = — Ч -. —. !(л = — Ч(1 — —, +"! <01 (1 )/ / ( () где дифференциал )/х)я! относится к /)е, Меняем порядок интегрирования и оцениваем внутренний интеграл ог г ' аз по П„ который бере|ся при постоацнол! у. Заметим сперва, что 116! ингвгглльные опподтоиы с поляеным ядгом 363 Вводя в В, — сферические координаты, пентр которых есть проекпия у на ))о получим дх'!' = рт ' орда„ и !' )эча ( р ээчр, нбо р ( г и — з + + !)р (О. Отса!да , 'а, ! (2)7)чз г-!',р! ттх » - ! р-! гч! рх-! т(рда бб т и, в силу (109); (170! (и!т !р, (Ы) РС .г!с гр! х Р ! С = В! '— '",,') ( ' " ') где (171) нс занисит от размеров й, Мы считали !) ) р.
Если нзтпь т) ~ р, то достаточно использовать нера- венство !и(х+дх) — и(х)!( ~ 1 ' — „— ', х .(У(у)!ду+ Г ! В(х, у) В(х+дх, у) р Ь' + В ~ —.— ! ду+ В !У(у)! !' (У(у) ! — ), (Х+Дх)! оу, (173) !т «!«а Ь причем, как и ныше, , 'Дх 1:.-- †.
При заданном а) 0 существует такое П) О, 2 ' что при ! дх , 'т мы имеем ! ! и(х+Дх) о(с)!с !р !»т Ет(» !77 (ч',г!!с !р + ч 5 л и многоточие — сумма норм второго и третьего слагаемых правой части фор. ЗЬ мулы (173). Дая этих норм мы имеем опенну (170) при 2В = Ь и 2т!7 ='— , тан 2' что и (х + дх) — н (х) )! !р ! ~ (с!а + саь з)!!7(!т !р!, ч ю а (174) гд« ! ! ! С,=!)7!р !Е),!ч ! С,=В[ —,— ) ( — ) ~1+( — ) 1 (!7)р). При !7(р в выражении Са добаваяется еще один множитедь.
Цля доказательства теоремы 2 остается показать, что при 1У(е ,р, ( А, ! где А — постоянная, получас!си компактное в Е (Етт) множество функций и (х). ОгРаниченность и (х) в Еч(Е),) следУет из (ч)70), а РавНостепенйак не. прерывность в Ер(Е)х) из (174), если считать, по ох аежит в Е)а н принять ч "!с р ! =- !'! !. !р ! Етэ ! Ч' (Р (О~ (д*) (!72) ч!.! ч, х! ('(ух! — мерз Ет,), которое непосредственно следует из неравенства Гельдера, ч и в выражение С войдет еще множитель ! Ет, ! Лемма 2.
Операяюр (!бб) непрерывен по сдвигу в указанном в теореме 2 с.нысле. Как и в теореме 1 ыетеичесдтие и /тоемиеопаниые ппостелнс/еа 1115 ири х и г ( // лредтновии в виде / (х, г) = В (х, г) у ( х — г !), где В(х, г) обладает те.ни хсе свойстваии, что В/(х, у) (с'= 1, 2) и при Ь+р) л, уй) = 1+ ! !е.'-! при Ь+ р = л, (!77) 1 ири Х+ и ~ сс. (!76) Г!усть ху'-г. Разобьем /) на две части: /У=/7, +/ов, так, чтобы !го нз двУх точек х и г содеРжала только точкУ Х и /Уе только г. ВыбиРаЯ Р') 1 л так, что Л ( —, и принимая в операторе (165) у(у) = В,(у, г) !у — г !я, мы на р основании теоремы 1 можем утверждать, что интеграл (175), взятый по /доесть непрерывная функпив (х, г).
Аналогично и дая интеграла по /Ут, Тзким абра. Зом, непрерывность !(.к, г) при х -' г доказана. Для доказатетьства (Г76) достаточно доказать неравенство —, =Су(~. — г!), (178) /э где С вЂ” положительная постоянная, 1. Пусть Х+р)л, Обозначим (х — г! .Ь и введем новые координаты у. о Ь' о' так что )х' — г' ! =1.
Обозначая, как обычно, через //л все л-мерное про- странство, получим с/у (' ду ! х — у ,'т ! у — г ~н ,1 ! х — у !" ! У вЂ” г !в Ьтаз ) (х' — У'," !у' — г' !е ил „3 !!ри вычислении ни~страда но В„ поместим начзло в точку х' и ось у', направиы из х' в г'. При этом получим ! х — у Р ! у — г !' = .) ! у' !т1у' — г' 1н ' /т где *,' имеет координаты (1, О, О...,, О). Г!оследний интеграл сходится, ибо Х < л, и С л и Ь+ о -. л, п, о/евидно, не зависит от х, г, откуда и следует; г/у .1 )х —,У,'(У вЂ” г з во внимание, что упоынн)тос вы~по число т " О, которос определилось по ы зависит от ядра В (х, у), но зависит от ! (у).
Теорема 2 доказана. Теорема 3. //усть В, (х, у) и Вв(х, у) — ограниченные ядра лри х и у С // и непрерывные лри х гу. Тогда интегрил В, (х, у) Вв(у, г) /(и, г)= ~ ! ' „- "' ду (/ сл; / сл) (175! О 115) интегРлльиые ОпеРЛ!ОРы с поляРным ядРОм 387 2. Счучай Л +. и = и. Вводя шар КК с центром в начале п радиусом /С, содержащий 7), и вводя те же координаты, что и выше, получим Ку Ку' . х — у," ! у — г !Р,) ! х — у !т (у — г !Р Ь К! К (' К КК К2К В последнем интеграле мы увеличили радиус вдвое, но ззто можем интегрировать по-прежнему по шару с центром в начале координат. Положительное а 2)7 л<ожем считать достаточно л1алым.
пусть — ) 2. интеграл по Клк разбиваем Ь на два: по Ка и по Клк — Кт. Интегрирование по Кт дает некоторую положи- тельную постоннную С,. Остается оценить интеграх ! у !к! у гЛ!в Кгп — Ка В силу у' — г„'!))у'! — ! получим, обозначая 1у'1 =г". 2К 2К 2 г|! — — 1 или, в силу г = '2, 2К !~(!ал!2Р ~ ( л '2" 1и ,, !'г( ., 2)7 г 2 Окончательно у г 1 2 Ку ( с, + С, ! !п а ! ( С ( ! + 18 ! х — г,), т~ — г (С==С,; С~С,). отнуда и следует оценка (178) при Л+ В =я.
3. Исследования случаи Л+ р(п в основном то же, что и предыдущего. Отметим, что при этоъ~ интеграл сходится(178) и при х= г. Совершенно так м,с, как и в предыдущел! случае, имеем оценку: г л ! т(у — — 2 П'~ »'-*.)' К2К (116 368 мнгничнскит! и ионмняонхннын пгостнанстнд т. е. мы имеем оценку , (С, !» — у(а)у — л(н и теорема 3 доказана. ( Се н '-' при )у)с Л', р(у) лл ( о при (у ! (179) где 1юссоннная С выбрана так, что интегра.ч от р (у) по К равен единице. Пусть и(у) — какая-либо непрерывная и непрерывно днфференцируемая н )7 функцнв.
Вводя сферические координаты с началом в некоторой точке х, мы можем рассматривать и (у) как функцию х, г и ыл, где через л обозначаем совокупность угловых сферических координат (1тт; 186), т. е. и(у) = = и(х, г, ыл), причем и (х, О, ыл) = и (х). рассмотрим интеграл от произведения и(у)р(у) по )л. Фактически интегрирование ограничивается шаром К. Представлен р (у) н виде р (х, г, ыл) и интегрируя по частяы по переменной г, получиы ~ и (У) Р (У) «У = ~ ~ ~ и (х, г, ыл) Р (Х, Г, ыл) гл' «и ~ « „=. ь» ь лл =- — ~ ( ~ и(х, г, л)«г~ ~ р(х, р, лл)р"-'«р~« „= о Г 7г э — (.т, г. лл) ~ р(.г, й...,), - «,1 « „+ л= о л — л-~ ~ р(Х, р, ыл)рл '«й ~«г(«ил=и(Х)+ л -В.— — '- 'н'х"""1 ' -»"»'"'""1'-.
и окончательно Г ди (х, г ыл) 1 'т (У) Р (У) «У = и (л) — ' ' — "— — В (х у) «К дг гл-' (180) ~де 00 В(х, у) = — ~ р(х, л, ~ ) а»-~ «а (18 Ц 116. Интегральные представления С. Л. Со олена. Будем предполагать теоерго что область 0 звездна по отношению ко всем точкам некоторого шара К, лежащего внутри О. Е(ентр этого шара примем за начало координат и через )т обозначим его радиус. Введем следующую бесконечно дифференцируемую функпиат (71): 116) интиггллщ!ын пгвдстлилвния с. л.
соволгвл ЗОО и точка у строится по сферическим координатам (г, ел) с началом в х. Функпня В (х, у) ограничена, если х и у ( с), и непрерывна при х фу, Если у х по прямолинейному лучу, то В (х, у) имеет предел СΠ— р (х, р, ел) рч-! дл, л л ди(у) С~ ди(у) 'у ди(у) у; — х, соз(г, уд= т ! ! г= ! получим, в силу (180), и (х) = у + ~ ~ (у) '( ' у) Иу, ду !х — у(л-! У !=! тт (182) где (У= и(у)р(у) ду; Вт(х, у) =В(х, у) У' ', (!83) !у — х! ' Ядра В! (х, у) обладают, очевидно, теми же свойствами, что и ядро В (х, у): ограничены при х и у ~ В, непрерывны при х ~у и обращаются в нуль в указанной выше части областй 1У.
Предположим теперь, что и(у) непрерывна и имеет непрерывные производные до порядка 1 в Т) и выведем формулу, выражающую и (х) через ее производные порядка й Пользуясь формулой (!82), можем написать ди(у) ~т (' д'и(«) Вл(у, «) ду ! + л'.и Д д«тд«а ! у — «!" ' л-! (184) где (Ут= 1 — р(у) ду. Г ди(у) ду; (185) Подставляя (184) в (182) и пользуясь теоремой 3 из (115), получим и (х) = У+ () ! ! д'и(«) Втл(х, «) ~м д«;д«л (х — «!" а т,л-! (186) где Ь (х) = ~ В'( У) д . Ь !х — у!" ' Вт„(х, «) (' В;(х, у)Вл(у, «) зависящий от угловых координат луча. Из определения В (х, у) непосредственно следует, что если х приналлежит !пару К, то В (х, у) = 0 для у, принадлежащик ст и лежащих вне К, а если х накодится вне К, то В(х, у) =0 для у, принадлежащих 0 и лежащих вне области, образуемой шаром К и той частью конуса с вершиной х, касательного к шару, которая лежит между х и шаром К. Принимая во внимание формулу 370 мнтиичиские н ноимиионлнныв пиостилнствл [1(в причем ядра В; г,(.к, л) обладают течи жс свойстваии, что ядро В(л, у), и Ьт(х), в силу теоремы 1 из (115! (прн У(у):=- !), непрерывны в Вй Аналогично получаегси предо!авлсние и (х) через пропзволные порядка й ъ и(х)=(У+ ~~) лэ (УН,..., г„бги....
га(х)+ !=лж! — ! ть „, т„=! и + дги(у) Вй, й(х, У) и-г "У 3 дуги ..., дуй !к ..,г=! и (188) дьи (у) (Уг! ",тл= ~ д д — р(у)ду, У!и . Утл (189) и суммирование по гц,,., 1! есть суммирование по всем видам проиэводныл порядка А Отметим, что в случае п ( Г ядра в представлении (!88) ограничены (115!. Отметим также, что везичины Цт, „,,; являются линейными функционалами в Ер(рт).
В этом можно убедиться, представляя их в виде (У,, „;,=( — П» (» дл, (у) (190) ду;и,,,, ду;, Перейлем теперь к рассмотрению пространства Ф~п (ьу). Напомним, что Р норма в неи задаегся формулой дги (у) !Р с еж+ д д й г, т (одна из эквивалегыныт норм (112]). Покажем, по интегральное прелставление (188) справедливо для любой функции и (х) Сс )Тг~р'(у)). Пусть и, (х) — последовательность функций из Си' (П), сходищаяся и и(х) в Ф~„"(Й) [111). Записывая (188) для функций и (х) и придавая величинам Цт,, ! форму (!90), перейлеи к прелелу при и — стт, В силу теорем 1 и 2 из (115! интегральные операторы с ялраии ВН г, (х, у),х — у! '" " непрерывны в Ве(0), что п!зволяст перейти к пределу !юд знаком интеграла.
Таким образом, интпегралвное представление (188) справедливо для любы.к функций из Ф!Н(0). Покажем теперь, что функции из Ф!~! ил!еют всевозлгожны' обобгценные Р производные любого порядка д(! из ье(су). Применяя формулу (182) к производной от и,„(.!) порядка (( — 1), получим д' 'ггп,(.к) !~,, Р ~ъ д'и~(У) Вл(.», У) от, ... отт„, 'и "° г! ! ' ~ ' ду; ...дуи,дуа !х — у)п' й л=! где ЬН,..., г„(х) непрерывны я г) и ялра ВН „,, ! (х, у) обладают теми же свойствамн, что и ялро В (х, у), 371 117! теоремы Вложения где — — — р(у) ду =( — !)' ' ~ и (у) — йж д' 'им(у) дт ' р(у) ду; ...
ду; о На основании теоремы 1 нли 2 из (115] в зависимости от того, булет ли и п и 1 ( —, или п — 1:=- —,, мы можем утверждать, что интегральный опсрар р тор, стоящий в правой части (192), непрерывен как оператор из 7Р (О) в С (О) или ур (О), т. е, во всяком случае в Ор (О).
По условию ит (х) сходятся в порче )7гн) (0) к и (х); отсюла следует, что при т — оз правая часть формулы (192) Р имеет предел в !.„(О), и, слеловательно, функция и (х) имеет в О обобщенные производные порядка (! — 1), из 1р(О), лля которых спранедлива формула (192) с заменой и (х)па и(х) и (l,'.т); на '1 - '1-1 д' 'р(у) ~;ь ..., 0 , = ( — »'-' 1 ( ) д Утт Ут-1 Использтя интсгрзл),ные прсдсшвления произволных любого порядка А, ! через произволные порядка г, аналогичные (188) и (192), мы совершенно также установим существование всевозможных обобщенных производных низших порялнов из (р(О).
Упомянутые интегральные представления при этом автоматически распространнютсн на все Ф)~) (О). Отметим, что соответствующие и)пе- Р гральные операторы имеют ядра с полярност),ю порялка п — (! — (т). Ограниченность этих интегральных операторов в 5р (О) непосредственно приводит к оценке '1.„')О) г бо) )Ь = ), 2, ..., 1 — )). откупа следует неравенство (!52), Величинам (190) можно теперь вернуть форму (189). Мы доказали, такилт образом, ч1по для звездных относительно нскотпрого шара обласшей .пространства 1Угт' и )Уги)сосо)оятп из одного и того мое множества функ- ций и, в силу (198), нормировки этих пространств эквиваленты.ь) Интегральное представление (188) функций из )Р')п(О) в несколько иной Р форме было получено С. Л. Соболевым (См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
