1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Правая часть последнего неравенства стремится к нулю при /г -+ О, гак как фял (х) -+ гя, (х) в ).р (О'), вы (х) — + 'Р1 (х) я 1р (О') и сходящаяся и Лр (сг) последовательность р,л (х) ограни- чена в Е (!'.у) по норме. Установим теперь формулу (126) и предложении, что ею (х) н Е Лр(0'), а ра(х) и " ' Е ).„(О') дла любон стРого внУг- д», Р д.к, ренней подобласти ЕУ. Используя предыдуспее утверждение, имеем для любой непрерывно дифференпнруемой фини~по!! функнни ф(х), равной нулю япе 0' !62): д' гл-! . р де (Х! з~ (х) ~!я (х) .- дх = !!п1 ! мы (х) е л (х) д», л д», о у! и, слкдоиательно, е,(х)е,(х) — '— ,' — дх= — !нп ~~ — ' — гял(х)+ -;гл(х) — ~)( — 1 де (х! .
Р ! дтпл (х), дукл(»)! Х ф(х)дх. (!ЗО) При достаточно малом й можно применить а 5" формулу (129) дт ~ (к1,,'дтн(х!) ду„ь(л) уду,(х)) и заменить я (160) — "'--' нв ! — —., и —.— — ' на г!х! '! дх, !л 'дх, ' 1 дл'! /гИ 342 ьп<тги'>ескиГ н ног>>нгозлпныя пгостгхнс <н ъ [109 Применяя еще раз наше вспомогательное утверждение к правой части (130), получив: Г! , ( ' . дк Г! д' (х) Г 1 дт,(.к), дт.(х)1, дл, ) [ дх, '' ' дл, Ь Ь Последнее рзвенство означает, по произведение 9,(х)9„(х) имеет в О обобщенну<о производную по хь которая может оы>ь вычислена по формуле (126).
Заметим, что формула (126) справедлива и нри р = 1. В игом дт„(х) случае пуз<но только принять р'=со, >. е, считагь ем(.х) и д.к, ограниченными в любой подобласти ЕУ, Покажем теперь, что можно дать дру >.ое определение обоб>цен . но и производной и на основе формулы ( 1 29 ) установ ить его зк ни из: лентность первона щлыюму определению, Определение 2. гт>ун<гцня 2 (,к) называе<пгн оботягнной про, пзводной вида (122) фуньцип <ь(х) в О, гглп гущсг<пвуе<п погледо. вательность 1 рот к<прсрывно диффгрснцируемых внутри и функций 9 (х), гпаких, чгпо 9„,(х) я 1У9 (х) гходя<пгя соответ- ственно к <у(х) и т(х) в 1,(П), гдс 0'--лю<тая апрого внутрен. няя подоблас<пь О, Теорема 7. Определения I и 2 равно<альпы, 1!оложим, что у (х) — обобщенная производная от <ь(х) но >ыорому определения>, Имеет место формула (123), при замене 9(х) на (ь„,(х), и, по.
скольку р (х) -~ и (х) и Р~р (х) -+;( (х) в ь (О'), мы можем при любом выборе финитнод функции ф(х) с указанными свойствами пе. рейти к пределу под знаком интеграла [ср, 62[, откуда и следует формула (124). Положим теперь, что у (х) — обобщенная производная от ь(х) и смысле первого определения, Тогда, в силу (129) и теоремы 4 из [71[, требуемую вторым определением последовательность функций о (х) дадут средние функции <ьь (х) при какой. либо последовательности Ььп стремяшейся к нулю (при атом <ь(х) считаем продолженной нулем вне О).
Теорема 1 доказана, Из этои теоремы следуегн что и в смысле второго определения обобщенная производная ед>асзвенна, если она существует, Докзжем теперь теорему, которая показывае>, по обобщенные производнь>е выдерживают слабый предельный переход в < р(О'). Теорема 2. Пусть функции рь(х) (й= 1, 2,,), определенные вну<при О, слаоо сходя<пся к некоторой функции 9(х) в <-р(хг'1 (р х 1), где О' — любая область, лежащая строго внутри В, имеюпг в 1д обобигенные производные Р'7ь(х) вида (122) и нормы Р'~рь(х) в 1.„(ту) ограни <сны некоторым числом М(Р'), коп>орое зави- сит от выбора Р'. тогда 9(х) и.ивет в 0 обобщенную про.
извидную Р'7(х) вида (122), равную <лабо,иу пределу Роя(х) д ,~„((у). 1101 ововщшгиыь иеоизводиьгя (и одолагьиие) 343 , Р",д )г,,л, ==-. Л((0') (131) ны~екаег суигесгвоязиие иодиоследовательиости л„(х) такой, что ''Ъ Р'ъ„ (х) слаоо сходятся в У.р(0'). Беря последовательность строго внутренних расширюоьцихся областей 0„„сходящихся к 0, мы с помощью диагоизльного процесса построим иолиоследовательиос~ь Рг~ж (х), для которой производные Р'м„ч (х) слабо сходятся в 1.л(0') к некоторой функции у(х) в любой сари~о внутренней подобласти 0. Ясно, что у(х) определена всюду в 0 и принадлежит 0 (0) для любой строго внучрениеи области 0'.
!'авенство(123) справедливо при замене в(х) иа вм (х). Переходя в мь нем к пределу при фиксированнои функции «(х), приходим ввиду фини ы ности «(х), к равенству (124), (слабая сходимосгь), откуда следует, что у(х) есть обобщенная производная м(х) в 0. Из сказанного и,иие вы~екает, что любая слабо сходящаяся подлоследова гельиость Р'мм (х) мь имеет один и тот же предел у(х) (единственность обобщенной производной), и отсюда легко заключить, что и вся носледовааельцос~ь !Яе„(х) слабо сходится к у(х). 3 а м е ч а и и я. 1. Иа доказанной теоремы следует, цо если «(х) б !.р(0') и производные средних функций га„(х) имеют оценку (131), го в 0 существуеч обобщенная производная Р'м(х) Е Л (О').
Мы уже видели, что в эгом случае Р'рл(х)-ь Р'л(х) в У. (О') и, следовательно, норма Р'.р(х) удовлетворяет оценке (131). '2. В условиях теоремы 2 функции «(х) и Р'л(х) могут принадлежать ьр(0) и !.„(0) соочветственно и ири р 2 3. Теорема 2 сохраняет силу при р= 1, если вместо (131) предположить слабую компактиосп функций Р р (х) в ! (О) для всякой строго внутренней подобласти 0' области 0. 110.
Обобщенные производные (продолжение), Установим ~еперь связь между сущесчвоваиием обобщенных производных и абсолютной неирерывносгью функций. Мы рзссмотрим случай одного и- зависимого переменного и основной областью 0 будем считать промежуток 0(х(1. Пусть функция о (х) абсолютно нецрерыииз иа промежутке 10,1).
Как извеспю (74), «(х) имеег иа промежутке (О, 1! производную 7'(х), которая является суммируемой на 10, 1) функцией. Формула интегрирования по часштг (74! даег при любой непрерывно дифференцируемои фииигиой функции ф(х) соотношение ~ '«(х) ф (») г(» = - — ~ га (х) ф (х) г!х, 5 о (132) Л о к а з а ~ е л ь с т в о. В силу слабой ком и аз тиос ~ и ограниченных множесчв в 1.
при р) 1, из неравенства 344 мвтяичяскиз н нояыняовлннгяГ пяос Гилис Гя ! (1!О которое показывает, что у'(х) является обобн!енной производной функции ~я (х). Пусть теперь 7(х)~(. ((О, 1!) и нмеег обобгценную производную — в В, принадлежащую У. ((О, 1)), Пока кем, чго при этом т(х) дт (х) дх эквивалентна некоторой абсолютно непрерывной в !О, 1) функции. Обозначим Л 7, (х) = ~ в (-) г!г дГ и заметим, что а, (х) абсолюпю непрерывна и ее проианодная 1ч, (х) эквивалентна '-- 174!.
1 азность . "(х)= р(х) — — «, (х) имеет, очедт (х) дх видно, производную, эквивалентную нулю. Фиксируем а) 0 и рассмотрим промежуток !а, 1 — а). При достаточно малом )г производная от средней функции ~!л"(х) равна нули> я (а, 1 †.а) и, следовательно, вл(х) есть постоянная в (а, 1 — а). Так как пределом постоянных может быть лишь постоянная, и ф'(х) — ьее(х) и Е(!а, 1 — а)), то ра (х) эквивалентна постоянной н промежутке !я, 1 — аф Огсюда непосредственно вытекает, что всюду з 0 т(х) —, (О)+ 1 д6п! Р ггу (Г) О (133) с точностью до эквивзлентности. Таким образом, мы установили, что существование обобщенной производной равносильно абсолютной непрерывности а (х).
Для случая многих независимых переменных аналогично доказывается, что если й(хп х,, ..., х,) имеет обобщенную дт (л) производную "„-, например, н кубе 10(хь(1; Д=1, 2,, гг) дх, ду (х) и я(х) и ( — ). (р= 1) в э~он кубе, го для почти всех значений (хм хм ..., х„) из куба !О(х„(1', /г= 2, 3, ..., л) в(х) абсолютно непрерывна при 0(х,ко 1 и имеет место равенство в (х1 хя ° - хч) = '," (О ха ° хч) ,'— 1 — — — ' — д — ''-' "- сгт (134) 1' дч !г, л...., х„) для всех х, из 0(х, = 1.
Это равенство, так же как и равенство (133), нуждается в пояснениях. Именно функция в(х) и ее обобщенная производная 0)~(х) определены с точностью до множесчза меры нуль. Поэтому равенства (133) и (134) надо понимать в гом смысле, что су~цествуют функции нз клзсса эквивалентных у(х) функций, для которых они справедливы.
1161 оэоэщвнныв пгоизводныв (пяодолжвнив) 346 Приведем теперь пример функции з(хь хэ), имеющей обобщенд-в (хь л.) ную сиешанную проиэволную ' ' — '' — и не илгеюпгей обобщенных дх, дх» первых производных. Этим свойством обладэез функшнв в(хн х )= =У(х,)+У(хг) (О~х„.--1; я=1, 2), где /'(х) есгь непрерывная функция из 176). функция т(хь хэ) не имеет обобщенных первым производных, ибо г(х) не есть абсолютно непрерывная функция. д-"э (хь х,) Обобщенная же производная †' †'-=' сушествуег и равна тоя<- д.к, дл, дественно нулю.
Чействнгельно, для любой гладкой финитной функции ф(хо х,) мы имеем 1 ') ~/(х,) — -:.-" — ''- г(х, дхэ= ~ дх, ~ ! ' ' дх ~г(х„=О, и аналогично для у(хэ), г, е. ) ~ г (х,)-- У(хз)) — '' ' — '" г(х1дхэ=О, д-' (х„х.) д.г, дх. о д откуда и следуе~ (определение 1), что обобщенная производная д"Э (хь хя) дл., дхя Полезно заметить, 1то если функция й(хн хм,,., х„) непрерывна в 0 и если область 0 может быть разбита при помощи конечного числа гладких поверхностей на конечное число областей 0г(ю' =1, 2, ..., I), в каждой из которых гу(х) пспрерывно дифференцируема по некоторому л вплоть до границы, то ср(х) имеет в 0 обобшенную производную,равную д , в каждой из 0е Эта д ч(х) хуг производная можег иметь раарывы первого рода на упомянутых выше поверхностях. Сформулированное утверждение непосредственно получается из формулы интегрирования по частям: :) (х) — ' — — г(х= — ) — '-ф(х)г(х — , '~ э(х)ь(х)соэ(л, х )г(Я, (135) М (х) Г дв (х) ь Й и.
э. ! где л, — гРанигга 0; и л — напРаилепие ноРмали к Яо внешней по отношению к О,. Нужно лишь замели~ь что интегралы по поверхностям о; при суммировании по ( сокращаются. Если гя(х) имеет различные предельные значения на каком-нибудь (л — 1)-мерном куске ~' поверхности, находящейся в 0, и направление ха не лежит и касательной плоскости к этой поверхности, то в 0 не существует обобщенной производной : — — . Это следует из д. (х) дх» установленной выше связи между абсолютной непрерывностью у(х) и существование.я обобщенной производной, !111 348 матея'сягкив и ногмигов)ниык пгосГР)ис)н) За меч а н не. Можно виолить понятие не оглелы)он обобсценной п)!оизводпой суыыируеыоя функции ь(х), а обобщенного линейного диф!(.еренциалыюго оператора л)обста порядка, например: Е (о) = т а;ь --т — '+ Ь„т г — -- ся(х), (136) ч дьв(т), ч дт(х) дх,дк„ь " д ть ь ь=! ь =- ! тле коэффициенты достаточно гладкие функции от (хь хь, ..., х„).
Такой обобпсенпып операсор определяется равенством, аналогичным (!24); ~ )ь(х) М(су)ссх= ~ (. (сь)6(х) сс'х, Ь с) (137) где сИ((с) — сопряженнып дифференциальный оператор и ф(х) — любая гладкая финитная в Р функция (1Н! 158). Сущее)воваиие отлельных производных, входящих в оператор (. (ь), при этом не предполагается. 111.
Случай звездной области. Выше мы показали 1109) при помон!и срелннх функций, что для всякой сь(х) из 0 (О') (р)1), е имеющей обобщенную производную у(х) =Р о(х) также из ьр(0'), существует послеловательность l раз непрерывно дифференпируемых в О функция сьь (х) таких, что й (х)-ь ь(х) и Р')ьь (х)-ь у (х) и ь (О').
(Злись, как и раньше, 0' — любая сгрого инутренняя подай)ласть О). Мы покажем теперь, чго для одного важного класса областей аналогичная аппроксимапия функций д(х) и Р'ъ(х) иозможнз и в пространстве !'р(0). Назовеы область 0 областью знездного гила, если сущее)вует такая внутренняя точка х, облас)и, что всякий радиус-вектор, выходящий иэ хь, пересекает границу только в одной точке. Говорят также, что )акая ооласть звездна относительно точки хь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
