1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Теорема. Пусть область 0 — звездного типа и пусть ь (х) п.веет в 0 обобщенную производную Р~ь(х), прсте,сс в(х) и Рссу(х) принадлежат Е„(Р) (р — 1). Тогда существует последоваспельноспсь ьь(х) с' раз непрерывно дпфференцпруе,иьсх в 0 функций таких, что йь(х) и Р'суь(х) сходится к в(х) и Р'су(х) в 0 (0).
Мы говорим о 1 раз непрерывно дифференцируемых в 0 функциях сьь(х), если оь(х) непрерывны в О, непрерывно дифференцируемы внутри 0 до порядка Е, и их производные могут быть доопределепы на границе Р так, что получаются функции, непрерыв. ные в О. Примем упомянутую выше точку х„за начало коорлинаг и по')! — ) СГрОИМ ПОСЛЕдаза)ЕЛЬИОСтЬ фупКцнп ся! — - Х) (С)=2, 3, 4, 112) и ос<яанстяа й»«' и Ю"'! < определенных внутри областей О, со»гержац<их 0 строго инутри себя, причем 0„ получается из О преобразованиеи подобия с коэффициа ентом подобия <'а- !,а! Обозначим у! — х =у<" <(х) и покажем, что Ч<унк<тип <<««(х) »< сходятся и Ер (0) к у (х), а обобщенные пронззодные Р'" !" ' (х) сходятся в (р (О) к у (х)= Р 7 (х).
Установим, например, и < орое утверждение. Мы ймеет< <ь< ,А — !« 'А — ! Я 1< <!Р 9(х) — Р<я (х) ~ = ) '/(х) — — <;» — х <(х а < А Ь а — ! <» расстояние между точками — х и х не превосходит — —, где л »< ' »( — лиаметр О, и, слеловательно, стремится к нулю равномерно в О. 11озторяя рассужление теоремы о непрерывности в среднем (7()), мы убеждаемся в том, что второе слагаемое правой части последнего неравенстиа стремится к нулю при »г — сгэ. ,»»< — ! '<» В первом сла< аемом множитель ! — ! — ) стремится к нулю, »< а второй множитель, а силу сказанного выше, сходится к ! у(х)!с !»л (а)' (непрерывность нормы). Енсе проще устанавливается сходна<ость 7!" (х) к у(х) и Сл(0).
Заметим теперь, что при фпксироааннол< /г область О является сгрого янутренней по отношению к 0»н и потому средние функпии 7<»«(х) скопятся к 7! ! (х), з их произиодные Р'2<«'(х) схслязся к Р'р'"'(х) я Е (О) при !<--.О. Отс<ола следует, что фушсции 2(х) и у(х) можно аппроксимировать а метрике ь (О) бесконечно дифференцируемыми а 0 функцияии <аа,'(х) и Р'тая(х) г<ри подходящем выборе последовательности ܄— (). функции рпн(х) можно пРинЯть за фУнкггии уь (х), Указанные а фоРмУ.чиРовке теоРемы. Теорема доказана. 112. Пространства Й»<»< и Ял»<.
Пусть, как и выше, 0 — огра- и Р' ниченная область л-мерного пространства. Рассмотрим множестао всех функций <р(х), имеющих ясе обобщенные произволные порядка /, причем 2(х) и асе Р <~(х) принадлежат ». (О) (р,:л !). Этот клас: функций будем обозначать через (<»н<(О)! мы превратим его а нормированное пространстно, если наедем норму по формуле: З49 »|ягяи'|яш<ик и |юячияои||!иы! иео<|гялисгил (1 12 Здесь и и дальнейшем к означает суммирование по |л=! всевозможныч наборам натуральных чисел (~|, гь ..., г'„), в сумме дающих (. Нетрудно проверить нзл|шие основных свойств нормы, указанных в 195). Покажем, что нростране| во )р<и — полное. ! (усть р» (е)— » сходящзяся в себе последовательность в (у<<и(0).
г. е. » дь. (х) 9|ям(х) |» || г '<и=-! ' » цри А и ш †.о. Отсюда следует, ч|о носледовагельности»»(х) и Рг<»»(х) сходятся и себе в ьр(0). В силу почцоты бя(0) и теоремы 2 из (!99), получаем, что <»»(х) сходятся и г'„(О) к некоторой функции <» (х), причем эта фуш<ция имеет всеиозможные обобщенные производные порядка Е нз би(0) и Р';"»(ж) --Р'з(х) в Е (О). Сказанное равносильно сходимосги з„(ж) к»(.к) и Йг |(О). Пространство Фр (О) является, таким образом, пространством гипа 8 (цолным -а! линейным нормировацньм| пространством).
Остановимся теперь |ш доказательстве сепарабельносги нространсп|з (риг|(0). С этой целью представим область 0 в виде счетного ашожества непересекающихся полуоткрытых промежутков (32). Соответствующие им открытые промежутки пронумеруем, обозначим О» (гг = 1, 2, ...) и введем множество Рчи(0) функций е(х), принадлежащих у(ди(0») в каждом промежутке О» и таких, что сходится ряд (139) 11 !)р — ч |!» !)» ' ' <<и <ш ' я<и(о»). я ».=.! Р Задание нормы но формуле (139) преврюцзет (г!и(0) в ли» нейное нормированное нростриюгво.
Легко видег|ь что фуншгии из (у<<и(0) вход|п. в 1<<<|(0) и 1( р )1;ки|,р — — 11 ср ) к<!|,р,. Таки»! обрззом, )рчи(0) есть нодпростра<ство пространства»г!'|(О), и иам достаточно г! Р установить сепарабельпость последнего 194). Множество функций из (г<г|(0), отличных от нуля лиип и конеч» ном числе цромежуп<ов, плотно в ь'<и(0). Лействнгег<ьно, нусп л 4|(м) ': рчи(0) и а) 0 — произвольное число.
Положим »»г(х) = а(х) Р и нри сеЕ у О» и т(ж)=0 в осгальнои |<ас!.и й. Очевидно, »=! з»,(ж) е '»<<г|(0), и при досгэтбшо больниц! и|: и !1 1 — 9а~~"к»и'<ьч ="~' <! 9~!'-„, о мсар и«'! (о,)--=..-. =, »»!-ь! 112) пгосгглнсавл й ш и (Глп 'л в силу сходимости ряда (139). Функггии» (х) в каждом из промежутков 0„(/г ( ш) можно приблизить в метрике (Гг!'!(О») Г раз непрерывно дифференцируемыми функциями (111) последние в свою очередь можно вместе с производными равномерно приблизить в О» чногочленамн с рациональными коэффициентами. Отсюда вытекает, что и Гчп(0) плотно множество функций, каждая из которых от» лична ог нуля лишь в конечном числе промежутков О» и в каждом из этих промежутков совпадают с многочленом с рациональными коэффициентами.
Легко видеть, что множество таких функций счетно и, следовательно, Г'ш (О) сепарабельно. Этим докавана и сепарабельность пространства (ггю(0). Р Остановимся теперь на одном специальном вопросе. Пусть в некотором линейном нормированном пространстве Х наряду с основной нормой ~( х )! нведена еще норма )!х'яп причем для всех х Е Х с,,')х'! ~.—.!)х!!, (сг !!х!), (140) где с, ) 0 и с, ) Π— постоянные. Нормы, удовлетворяющие условию (!40), называются эквивалентными. Очевидно, что последовательность х„, сходящаяся в одной норме, сходится в другой.
При решении вопросов полноты, сепарабельности, компактности и т. п. безразлично, какую из эквивалейтнык норм рассматринать. Точно так же дистрибутивный оператор, ограниченный в одной норме, окажется ограниченным и относительно пру~ой (эквивалентной) нормы. При этом норма ограниченного оператора, вообще говоря, меняется при переходе к эквивалентной нормировке пространства, но остается конечной. Рассмотрим подробнее вопрос об эквивалентных нормировках в л-мерном вещественном эвклидовоч пространсгве Й„.
Мы ввели в й„ норму формулой (141) ,!х", =)~ х!-1-хя»+ ... +х„". Пусть теперь функция г" (х) =у(хг, х,, ..., х„) обладает свойствами нормы !95( и, кроме »ого, непрерывна на поверхности единичной сферы х1+хаа+ ... + х;",=!. Покажем, что !/х !!н = Г(х) представляет собой норму, экнивалептную норме (!41). Непрерывная функция Г(х) достигает на поверхности единичной сферы своего наибольшего н наименьшего значения.
Обозначим с,=впрах) и г.=!п1Г"(х) при ',!х!!,=1. В силу положительности и непрерывности г(х), имеем 0(с,, с,(+со. В силу свойств /(х) всюду в й„, с,! ! х 1! ( Г'(х) -.-.= с, (', х !1, т. е. нормы (141) и г"(х) эквивалепгны, МЕТРИЧЕСКИЕ Н НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА (113 збб В качестве Дх) можно взять, например, выражения: л 1> у(х)= Р ~ х„>>я|Р (р)!) или у(х)=гпах /х, >. 1ь=> Основываясь на этих соображениях, легко проверигь, что нормы, заданные в пространстве (р<н(О) формулами: Р '~л >! = ~ >! О'". >!Е,<о>+!~ рЬ., >н (142) =>л => >/ О >< —— шах ~/ О~ф,'с <о>+ ~l 'Р l/>.
<О> > т» = " л 'Р (143) ((<Р()=-~ ~~ . (О) ~ г(т~ +>~у>>с <и> 1111) — г>л '> эквивалентны основной норме (138). Этим замечанием мы будем пользоваться в дальнейшем. Введем теперь еще одно функциональное пространство. На множестве функций, имеющих всевозможные обобщенные производные в О до порядка 1 включигельно и принадлежащих вмес>е с этими производными ьр (О), определим норму формулой » р:>к~<и о>= (14о) л=о л, Ь...ч-лл .= л Полученное линеп>юе нормированное пространство будем обозначать Р<>л<п(О). Так же, как это было сделано для пространства Фяп>(О), можно доказать, по пространство 'Й>р (О) — полное и сепарабельное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
