1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 73
Текст из файла (страница 73)
..„«> Сделанное выше замечание о эквивалентных нормах в 11тр (О) в рав- <и ной мере относится и к пространству Юр>(О). Ниже(116) мы покажем, что для довольно широкого класса областей пространства В'р (О) и »> Вр (О) состояг из одного и того же множества функций, и нормы - О (138) и (14О) эквивалентны. При (=О и У=! пространства ФРП(О) и В'р (О) совпада>от по определению, причем, очевидно, )Р">л<'(О) есть А (О).
113. Свойства функций класса ИГр'(0). Систематическое изучение своиств функций пространс~в (гл '(О) н Й'р" (О) будет нами предпринято в ряде следуя>щих параграфов, посвященных так называемым >еоремам вложения. Результаты настоящего параграфа являются 113) свойства яхнкцнй класса )рчв(0) р частными случаями этих общих теорем. Однако, ввиду иажности упомянутых результатов, мы даем им здесь независимые, значительно более простые доказательства.
Отметим прежде всего одно свойство пространсгва (Рр~(О), нелл посредстненно нытекающее из его определения. Пусть имеешься замена переменных х(хв х„..., х„) на у(ув у, ..., у„) такая, что 0 биоднозначно преобразуется в некоторую облзсть Он причем преобразование в обе стороны выражается функциями, имеющими непрерывные производные до порядка 7 в соответствующей замкнутой области. Если у функций соверщигь указанную ззмену независимых переменных, то при этом пространство ж~р (О) переходит в Ж'р (О,). яп ю Из определения прострзнсгва 1ь~р (О) непосрелственно следует, жч чго если гр(х) С )ьлрв(0), то о(х) — %яр '(О) при 7(р и т-=., Е Докажем в снязи с этим следукицую теорему.
Теорема 0 Если У есгль множество элементов р(х) Е К",,'(О), ограниченное в Фр~(0)(7) 1), то оно компактно в Ж'ри ~(0'), где 0' — любин область, лежащая строго внутргг О. Докажем сначала теорему при 7=!. По условию существует такая постоянная С, чго, если й(х) с У, то й~,~".н„„=- ~'~ ~.7(х)~ — ~ (д',((хх)Ддх.-.с. (14б) г=~ Надо доказатгь что множесгво У кочпзктно в Ер(0'), где 0'— фиксированная область, лежащая строго внутри О. Ограниченность У в Е (сУ) непосрелсгвенно следует из (146). Ос.гается показать равно- степенную непрерывность в среднем функций о(х) — Ув! (1У) [7()). Мы докажем, что длв достаточно малых , 'Ьх1= 1г (Ьх,)а+(Ьхэ)'+... +(Ьх„) имеет место неравенство: ~ ! ~р(х+ Ьх) — ~р(х) ~гс(х( С, ! Ьх!Р, (147) о где Сг — постоянная, одна и га же для всех 7(х)Е У, откуда и слелует упомянутая равностепенная н прерывность. Поворачивая, если нужно, оси коорлинаг, мы можем считать, что Ьх есть (Ьхь О, О, ..., 0) и Лх,)0.
Пусть 0" есть область того же типа, что и 7У, причем 0' находится строго внутри 0'С Величину Ьхг будем считать настолько малой, что х+ Ьх не выходит из области 0", когда х Е Е/. Предположим сперва, что функция у(х) непрерывно дифференцируема в О. Очевидно, ьг, „,~ (' ( ~ дт(х, +-., лг,..сг .тв) ~р дт ивгпичвскив и ногыиеовл|п|ык пгосггхис|вл [113 При р) 1 виутреииий интеграл оцениваем по неравенству Гйль- дера: Ы'| Я=-- ~'(й-)'~ ~'(-'"(х+.— '- -" г-'("д-)бх= и 8 й,|х, р, ~ ~ ~ ~ дт (л, + 2 лдыс.
ьха)~е о Ь ,ью -=.(Ьх,)Ы ~ 'о;,' Ыт=(Ьх,)л~!л!4щ,р ь |и|о | о ая Откуда ~о(х-, 'дх) — р(х) ! о|х-=.(йх,)" ((о!,ялп „, (148) Ь~ т, Р и При р=1 зта оценка иепосредсгиенио получае|ся пересгацовкой порядка интегрирования. Р!еравеиство (148) справедливо пе только для непрерывно диффереицируемых фуикций, ио и для любой функции !о(х) из Ж""(с)). В эгом легко убедиться, выбирая последовательность сходящихся к э (х) и %'р"(Е|) цепрерыиио диффереицируемых функций и переходя к пределу в (148). Вместе с (146) оценка (148) приводи~ к неравенству (147). Теоремь тем самым доказана при У= 1. Положим теперь, что l= 2. Принимая во внимание, что, например, д' т(х) дт(х) — —,,— — есть обобщенная производиая по х,, от, мы, применяя дх', дх, теорему при 2=1, докажем ее и для 2=2.
Лиалогичио рассматривается и случай любого Е Отметим еще одну теорему, которая иепосредсгвеиио следует из теоремы, доказзииой в [1Ч) 1561. Теорема 2. Егтиг погледовательность функцпй мь(х), непрерывных и имею|пах непрерывные производные до порядка 2= ! 2 = ~ —,— ~-)-1 сходится в Ю",,'~(2У), где й' — любая область, левкои!ам строго внутри В, то |оь(х) сходится равномерно в любой обласпп| Й'. Из сказанного иепосредствеиио следует,что предельная функция м(х) непрерывна внутри Е1. Положим теперь, что мы имеем некоторую функцию |у(х)~ )к',п(е1), причем 2== ~ —,1+ 1, и 1|ь(х) — средние для |о(х), причем радиус усреднения стремится к пулю при й -ьоп. Принимая во виимаиие свойсгво средних ф> икций от обобщенных производных (109) и теорему 2, мы приходим к следующему утверждению: если |у(х) с )Уг~п(л) и У» ~ —,;~+ 1, то 4 (х) эквивалентна непрерывноо и в с) функ ци и.
свойства вэггкций класса Юл(В) Р 333 113! Положим теперь, что последовательность функций фа(х) сходится в )и'р. Исследуем чти функции на каком-либо сечении области В. гг1 Пусть В -- цилиндр, определяемый условиями: О -= х„ ( а (а — конечное число) и (хн хм ..., х„,) принадлегкиг замыканию $ некоторой конечной области $ плоскости (хн х„,..., х„,). Сечения В плоскостями х„=сопя! булем обозначать 5.. ' 'ж Теорема 3. Пуспгл фь(х) (1г=1, 2, ...) непрерывны и имеют непрерывную производную — — — в В и кок фь(х), пгак и— два (») дта (») д»„ д»„ сходится в )р(В)(р) 1).
Тогда фа(х) гходяпгся в (л®„~) равномерно отноаггпелвно х„из (О, о), предельнан функгггггг ф(х) из (В) определяется эти.и на всех сечениях Р„и и как эле.кениг ).„(р, ) непрерывно зависит от хгс Сначала докажем утвержление а теоремы лля х„Е 1 —,, а ~. Возьмем непрерывно дифференцируемую на нромежугке !О, а! функцию . (х„), равную нуггкг при х, = О и елннице при х„~~ 2, а~. Непосредсгвенно проиеряегся, чго функдфь (»1 цин фа(х)=".(х„)ва(х) и сколязся в Угг(В). д»„ 1)ользуясь формулой .~ л фь(хн х, х„)= ~ — ' гд.-ч'' " — ' — ' — Ит (149) дф» (»„»и,..., .гд „т) о и неравенством Гальдера, получим ! ф, (х) — фь (х) ! э г!хг... ггх„г = 'л х,... х "~ Г (дф,(»„...,»„нт) дфа(»н..., л„г,т)1 г я д д р Г Г ! д! г(»„..., »„.„т) дфд(хн..., »„, т) га в о !!д д Отсюда следует, что ф„(х) скопятся в норме г' ®„„) равномерно относительно х„к некоторой функции ф(х).
Тем самым, в силу и ч(х„)=1 при х„Е ~ —, а~, мы получаем для фд(х) предельнуюфункцто ф(х) в ~р(Га,- ), определенную на каждом сечении 5„, если Р '~и' /г ЗН4 (1!З матРичяскив и ИОРчиРовлнныа НРОСГРлнсгвл Х„Е ~ —,;, а ~. Это утверждение доказываешься совершенно аналогично ги и и для хл Е ~ О, †, ~, и очевидно, что эта предельная функция гр(х), определенная на всех сечениях Гл.„, будет предельной для еа(х) и в (. (О). Остается доказать непрерывную зависимость у(х), как элемента Ер ®,„), от хл, т. е. доказать, что 1!ш '1 ( гр (хн..., хл, х„-, '- Ь) — р (хн..., Х„н х„),р г(х,... г(х„, = О.
а-о й лл Мы имеем, в силу неравенства Гальдера: ~(„(хн..., хл и х„-1-3) — ф„(хн..., хл ь хл)'"дхг...г(х„ а лл г)' л (.гг .ли — ! хл),у,! г!хь..., г)х в' .р г1.ел лл Аь,- Л (йл' ~ ~ -'."~ гг'х(о)Р~ - 'а~~ 'л ч в пределе ! ф (хь..., хл ь хл — ' о) — ф (хь ., ., Хл ь хл) ' ' г(х, г(хл,- Вл !!йх '!г о ' огкуда н следует требуемое соотношение ггри хл с ~ —, а ~. Тоже и имеет место и для х Е 1О, — ~. 3 а м е ч а н и е. В теореме условие непрерывности производных дч„(х) можно ослабить, потребован лишь наличия обобщенных нродхл изводных из А (г)).
В этом случае равенство (149) будет иметь место (110) для всех хл Е (О, а1 и почти всех (хн х„..., хл г) из 5, и все дальнейшие рассуждения сохраняют свою силу. Предел да,„(х) дхл Р— — в ь (0) будет, очевидно, обобщенной производной — в В. ду (х] д-гл Из доказанной теоремы и свойств обобщенных производных следует, что если функция т(х) задана, например, в кубе к 10 -- х; - 1: 1= 1, 2, ..., гг) и нринадлежиг (.р(рд) (р '=1) вчесц с обобщенной свойства кхнкций кллсгь Фп (О) 11З! есть уравнение Я, и гочки (хо х,... х„), удонлегворяющче условиям х--хь.=-~~ (Уг= 1, 2,..., л -1); О =-х„— Е'(хо...,х„,) ==), принадлежат О, то в качестне новых переменных уь можно взять у, =хб уз=х,;...; у„=х„— Е(хн..., х„,).
Параллелепипед определится нераненсгвзмн; я:-у„=З(/г = 1, 2,... ..., л -- !); О (у„ =. — т. В новых переменных у(у) будет принадле кать Ж'рн(9), где 9 — упомянутый параллелепипед, и для нее будет справедливо сказзнное выше. В частности, при приближении к грани Т куба 9, являющейся образом кусь з Я, значение функции м(у) будет приближаться в норме Гр(Т) к значениям з(у) на самой ~рани. В старых координатах это означает, что значения л(х) на Я и значения у(х) нз „соответствующим образом сдвинутых поверхностях" близки друг к другу в смысле нормы Г.„(Я).
В этом смысле для функций о (х) из %'р"(О) можно говорить о их значениях на гладких поверхностях размерности л — 1 (в частности, о их значениях на гладких кусках границы размерности л -- 1) и о непрерывном принятии этих знзчениИ. Г!окажем сейчас, что для функции пространства )рро(О) при указанных ниже условиях справедлива обычная формула интегрирования по частям д и + ~ а (х) ф (х) соз (и, хь) дЯ, Ь (1бц) где и — внецншя нормаль к грзнице о области О. Предположим, ч|о область О можно разбить на конечное число обласгей Оь, каждзя производноИ вЂ” — , то она эквивалегына функции, определенной на дт (х1 дхл каждом сечении куба 1) плоскостью х„=Ь (О (Ь ( 1), принадлежащей на этих сечениях Г ®, ) и непрерывно зависящей от х„ в норме Г (ф). Это следует из того, что такую функцию м(х) можно аппроксимировать !111) непрерывно дифференцируемычи в ф функциями я (х) так, как это указано в условиях теоремы.
В частности, будут существовать в указанном смысле и предельные значения р(х) на гранях куба х„ = О и х„ = !. Г!оложим теперь, что функция о(х) задана в некоторой ограни- ченноИ области О и принадлежит )к'рн(О). Пусть далее граница О содержит гладкий кусок Я размерности (и — 1). Отобразим часть О, примыкающую к о, с помощью непрерывно дифференцируемого вплоть до границы преобразования у=у(х) в параллелепипед (считается, что 8 таково, что указанное преобразование возможно). Если х„=Е(хп..., х„,) (я(ха ~р; И= 1, 2, ..., л — 1) йбб мягяичяскии и ноямигоианныь пгосн'многи» (11З ~ Р" ~я(х)г)(х)г!х=( — !) ~ м(х)Раф(х)г!х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
