1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 77
Текст из файла (страница 77)
С. Л. Соболев „Некоторыс приме- нения функционального анализа в математической физике", ЛГУ, 1950). Лбы покажем теперь ллн звезлных относительно шара областей общие тео- ремы вложении, сформулированные в (114), а затем покажем, каким образолт перенести эти теоремы на более широкий класс областей.
Наше утвержление относ)пельно эквивалентности К"~)(О) и Й™(О) также булет, тем самым, Р перенесено на упомянутый клзсс областей. 117. Теоремы вложения. Вернемся к рассмотрению интегрального представления (!88), Вненнгегральные члены правой части (188) являются вполне непрерывнь1ми операторами из )уг)'(О) в С (!)). Лейстнптсльно, любая функция Р и(х) - %'~)(О) переводится таким оператором в одну и ту же непрер,1нную ") В дальнейшем мы можем не разшшаю Фщ(О) и йгс)(О).
Р Р 372 метрические и нОРмиРОелнные пРостРАнстил [117 в В функцию ЬН, „,;, (х), умноженную на число УН, „,,;,, представляющее собой непрерывный в %™(Р) фуннциоиал. Если множество функций и(х) огра- Р ничено в Ю'Щ(Р), то из чисел (((т,„,,;л можно выбрать сходящуюся последовэтельность. Соответствующая последовательность функций (((т..., (ьй.. (х) т''''ьц" сл сходитсявР равномерно. К интегральным членам (188) применимы теоремы 1 или 2 из [115]. Таким образом, мы непосредственно получаем слелующие две теоремы вложения [115).
Теорема ?. Если р() п, то всякая функция и (х) и Жятт (В) непрерывна в Р ((1(бт(Р) ~: С (Р)) и оператор вложения ограничен тпах[и(х)[=[[и[[ (К[[и,'[ щ (К)Π— постоянная) сто) ' и тже) и вполне непрерывен, т. с. преобразует всякое лсножесаво функций, ограниченное в ж((п(В), в компактное лсножесаво в с(Р).
теорема 2. пусть р( (п и в ) п — р(. тогда функции и(х) из )?(ит (В) на всяколс плоском в-мсрном сечении Р, облав(пи Р принадлежат ( (Р,) при любом ра '? <9*= п (р. (194) Оператор вложения %'~~~(Р) в йв (Р,) ограничен и вполне непрерывен. Как элемент ьч(Рв) функция и(х) непрерывна в метрике ьв(Вт) по отношению к параллельному сдвигу сечения Р„если последний допустим.
За меча ни я 1. Функции и(х) из (Р(П(В) определяются с точностью до эквивалентности, и утверждение теоремы о поведении и (х) на сеченияк отеоситсв к некоторому выбору из класса эквивалентных [ср. 113[. Отметим, что формула (188) определяет, как это следует из предыдущего, такую именно функцию.
2. Если в теореме 2 заменить ьч(Р,) на ь * (В,), то, как можно доказать, утверждения теоремы останутся справейливымй до слова „ограничен" включительно. 3. Если в В взять в-мерное многообразие Т, (оно может лежать и на границе Р), которое может быть преобразовано (хотя бы по кускам) в плоское при помощи (-раз непрерывно дифференпируемой и однозначно обратимой замены переменных у; = у;(х„ ..., х„) (т = 1,..., п), то теорема 2 остается справедливой при замене В на Т„. При этом требуется, чтобы указанная замена переменных была определена в некоторой п-мерной окрестности Т,.
Мы уже отмечали, что для функций и(х) С )У(щ (В) обобщенные производи ные порядка т(( выражаются формулами, аналогичными (188), через производные порядка 1 с помощью интегральных операторов с полярностью порядка п — (1 — т). Применяя теоремы из [115[, получаем, как и выше, следу1ощие теоремы: Теорема 3. Если р( > п и О ( а (1 — —, тоу функций и(х)с %'(П((Э) р обобщснныс производные порядка а непрерывны в Р, и оператор вложения из %'(~(Р) в Спт (В) ограничен и вполне непрерывен. и п Теорема б. Гели (и = 1 — — и а) п — (1 — а) р, то у функций р и (л) = (Т((т((В) обобтцснные производные порядка т принадлсжаа ь (Р,) на ЗТЗ 1! е) тГОРвмы Вложвння в — мерных плоских сечениях 77, обласгпи 77 при любых о < бь = ра и — (! — т) р (195) причем а) ['[ 7)ти Ц ~ у( Ц и Ц (196) д д ! дх+ у [!ь(и)[е, (!97) ь-! эквивалентна норме (191) Дока з а тел ь с т во.
Очевидно, норма (197) оценивается через норму (191), ввиду ограниченности в последней норме функционалов !ь (и) ()с = 1, 2,..., 57). Перейдеью к доказательству обратного неравенства. Будем временно обозначать норму (197) просто Ц и Ц и норму (!91), эквивалентную норме (145), через Ц и Ц Ф' (Р) Нам нужно показать, что для всех функций из %""(О) справедаива оценка ЦиЦ „, (АЦиЦ. (198) Предположим обратное, т. е., что существует такая бесконечная последовательность положительных чисел Ат (т = 1, '2,...) и эаементов ит (х) из %'~~1(77), что Ат — + со при т со н )А Ци Ц.
(199) ' пги10Р1 Вводя в и (х) постоянные множители, можем считать (200) Из (199) и (200) вытекает, что Ц ит Ц вЂ” 0 при т О, и, следовательно, все обобщенные произволные порядка !фуйкций и (х) сходятся вор(!7) к нулю. В силу (200) и теоремы 2 последовательность и (х) компактна в ь„(!)). Выделим из нее сходящуюся подпоследовательность, которую обозначим снова через ит(х), и пусть ит (х)- и„(х) в ье (ь1) при т — со. Из теоремы 2 [109) в) для ограниченного в %'!71(77) множества функций и(х) множесгпво 1)ти (х) компактно в !. (Ет,)! с) функции 77ти(х) в метрике Еч (!),) непрерывны относительно допустимого параллельного переноса 77е, К теореме 4 можно сделать замечэниа, анааогичные замечаниям к теореме 2. Перейдем теперь к локазательству теоремы 3 из [114[ относительно эквивалентных норм в (Рчо(0). Нзпомним соответствующую формулировку.
а Пусть линейные ограниченные в ((т(П (77) функционалы 7ь (и) (й = 1,2, ..., М) е панова, что они не обрагцаюшся одновременно в нуль ни на одном отливнолг от гпождественного нуля полинома степени не виже ! — 1. Тогда норма в %"ГП(!)), определяемая формулой 374 МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВЛННЫЕ ПРОСТРЛНСТВЛ !118 теперь вытекает, что эсе обобщспньс производные норялка ( от иь(х) существ)ют и равны пулю. Зачегим также, по и, (л) сходится к и,(х) в смысле нормы (!91).
Покажем теперь, что и„(л) = О. Рассмотрич какую-либо строго внутреннюю полсбласть О' облас~и О. В О' произволные от средних функций и,ь(х) прн лостаточно малом Ь совпзлают (!69( со срслними функциями от производных Взи(л). Отсюла непосредственно следует, что все производные порядка 1 от срслннх ф)пкпий и,ь(х) равны юлю в О' и, тел| самым, и,л(х) суть полиномы от хп,,., х„степени нс выше ( — ! в соответств)чащей подобласти. Поскольку множество таких полиномов образ)ет подпространство в ьр (О'), и иьь (х) — и„(х) в Вл (О), то чы вилим, что йь(х) есть некоторый полйноч степени не вьнне ( — ! в любой внутренней подобласти, а значит и всюду в О.
Заметим теперь, что в силу непрерывности функционалов (ь(и) в )уг)",(О), (ь (и,ь) — (и (иь) прп т — сю (й = 1, 2,..., Я). В то же время из (!99) и (200) слслуст, что („(ит) — 0 нрн тп — оз (й = 1, 2,..., Л(), Мы получаем, таким образом, чмт (ь(и,) = 0 (й = 1, 2,..., Х), и, ио условшо доказываемой теоремы, и,(х) = О. Последнее, олнако, противоречит (200) и сходилюсти ит (х) к и„(х) в В'~~'(О). Теорема доказана.
Приведем теперь несколько простых примеров использования доказанных теорем. 1. Пусть и(х)~ (Ет!с'(О), т. е. функция и(х) вместе со своими обобщенными произэоднымн ло второго порядка включительно суммируема по О с квадратом. При п: 3 из теоремы ! слелует, что и(х) непрерывна в О. При и 4 ээо утверждение л1ожет оказаться неверньщ, 2) Норма (162) в )утп'(О), полученнан нами с помощью теоремы 3 в (114(, 'приводит при р = 2 к известному н е р а в е н с т в у П у а н к а р е: и и'(у) ду( В~ ~ ~ ( — ) ду+ ~ ~ и(у) ду~ !. (20!) О В ь-..—.! 3) Аналогичным образом норма (164) при р = 2 и 4 = 2 лает: о>в~с() ( "~~~) ь +~ о> (. сьв О Здесь Я вЂ” лостаточно глалкое (и — !)-Мерное многообразие в О. В частности, если граница обласп1 Π— кусочно-гладкая, то она может быть взята в (202) в качестве чногообразня Я.
В этом последнем случае неравенство (202) известно, как нсравснстпвп Фридрихса, 118. Области более общего типа. Мы зэймсмся теперь перенесением теорем вложения нз более широкий класс областей. т)ус~пь ограниченная область О может быть разбтпа купино-глидкими (п — 1) — лтсрнымтт многообразиями на конечное чис то областей, в киждой из которых справедлива вгс доказанное в (117). 7 стгда зто справедливо и в абластпи О. Очевилно, лостаточно рассмотреть случай, когда О разбита некоторой поверхностью Зь на лве непересекающиесн части О, и Ос. Пусть функцил и (х)-' (Ет~~~(О). Покажем прежде всего, что и(л) имеет в О все обобщенные производные низших порялков пз й,(О).
Очевидно, и(х) с Ф'~" (К), где К вЂ” тобой шар, лежащий в О. Пр1меняя к этому шару сказанное в (116(, убежлзсмся, жо и (х) имеет в Квссвозч ~жиме обобщенные производные вила!, (х) =О "и(х) (О щ А ( (), принадлежащие !с (К)функция у (х) определена всюду в О н принадлежи г Ур (О). Действительно, в О, и О. и(х) ичсет производную Они(х) из ур(О,) и У.,(Ос) соотвегс~ венно. Влтшственносгь обобщенной производной позволяет утвержлагтч члоу (х) сочнагщс~ с О" и(х) в О, н Ос, и, слеповательно,у (л) lр((З). Нока- 375 ОБЛАСТИ БОЛЕЕ ОБЩЕГО ТИПА 1181 ,кем теперь, что у(х) есть обобщенная пролзводная Оли(.с) в О. Пусть О'— произвольнан стрш о внутренння подобласть О и д ) 0 — расс~пятне О' ло границы О. Пусть .к — произвольная точка 1У и 0 ., И вЂ .
ь, В шаре ралиуса Ь с центр тм в точке х и (д) имеет обобщенную пр шзволнуюОьп(у) = у (у). Обра- зуя средние с ралиусом усреднения И, мы можем утверждать (109), что в цен- тре шара Олив (х) = Та (х). Так как иа (х) — и (х) при И-0 и Оапл (х) — 2(х) а 1р (11), то по втоРомУ опРеделению обобщенной пРоизволной (100) У (х) есть, обобщенная производная Олп(х) функции и(х) в О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
