1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 81
Текст из файла (страница 81)
е. (и, и ) =0 при р тс О. Теорема. Если члены ряда (! О) попарно ортогональны, то для его сходгг ности необходимо и достаточно, чтобы сходился следующий ряд, составленный из неотрицательных чисел: ~ ) иь(Р. ь-1 (11) (12) х„ х„ х„ образует ортогональную нормированную (ортонормированную) систему, если ~ 0 при равд, (х,, х,)= ! при р=9.
(13) Цеиствительно, условие (10,) в этом случае, в силу теоремы Пифагора, может быть ззписано в виде (( и„ь, ,'З + ~, 'и„,ч !'+... + )и„, р 1ч ч= в пРи и ) М и Р -- 1, а это последнее условие необходимо и достаточно для сходимости ряда (1 1). При любой перестановке членов ряда (10) в ряде (11) произойдет такая же перестановка членов.
Но это не влияет на его сходимость. Следовательно, и перестановка членов ряда (10) не влияет на его сходимость — если он был сходящимся, то он и после перестановки останется сходящимся; если он не был сходящимся, то не будет сходящимся и после перестановки. Нетрудно показать, пользуясь теоремой Пифагора и сходимостью ряда (11), что в рассматриваемом случае сумма ряда не зависит от порядка слагаемых. Мы говорим, что последовательность элементов (121 390 ПРОСТРАНСТВО ТИЛЬВВРТА Принимая во внимание доказанную теорему, мы можем утвермгдать, что для скодимости ряда 7 аьх„ А=! (14! необходимо и достаточно, чтобы сходился следующий ряд из неотри- цательных чисел: ~~ !аа!В.
Р=! (15) Положим, что это условие выполнено, и обозначим через х сумму ряда (!О). Посгавим скалярное произведение У аьх„, хр . При л)р оно, в силу (13), равно а, и, следовательно, перехоля к пределу при л -Р со, мы получим а„ = (х, хр). (16) л В )(х — 1 аьх„'я=,)х~!я — ~ ) аь ~', А=Л А=! (17) и при беспр дельном возрастании и получаем уравнение замкнутости (! 8) Из предыдущих рассуждений следует, что если ряд (14) сходитсяся, то он есть ряд Фурье для своей суммы х, и имев~ место урзвнение замкнутости (18). Положим теперь наоборот, что задан некоторый элемент х из Н.
Составляем его коэффициенты Фурье (16) и пишем формулу (17). Из нее вьпекает неравенство Бесселя ат !аь!'((',х'1". а =-! (19) Числа ар, определенные по этой формуле, называются коэффициентами Фурье элемента х относительно системы (!2), а ряд (!4) — рядом Фурье элемента х. Мы имеем очег:идно оггогоплльность и огтогонлльныв снствмы элвмвнтов 391 Ряд, стоящий слева, обязательно сходится, т. е. р я д Ф у р ь е любого элемента х обязательно сходи гся.
Если в формуле (!9) имеет место знак =, то это значит, в силу (17), что сумма ряда Фурье элемента х равна име!ню этому элементу х. Система (12) называется замкнутой, если в формуле (!9) для любого элемента х из Н имеет место знак =. Система (12) называется полной, если не существует никакого элемента из Н, кроме нулевого, который был бы ортогонален ко всем х„. Совершенно так же, как и раньше [58[, можно показать, что замкнутость и полнота эквивалентны. Если система (12) замкнута, то всякий элемент х из Н представим единственным образом в виде сходящегося ряда (14), а именно своего ряда Фурье.
Пусть а„ вЂ” коэффициенты Фурье элемента х и Ь„ — элемента у. Если система (12) замкнута, то, как и в [58[, мы получим обобщенное уравнение замкнутости м~ (х, у) = у пабы я=! Отметим еще, что если сь — любые комплексные числа и аь— коэффициенты Фурье элемента х, то имеет место формула [ср. 58[ л В л [х —, г,ха[я=,'[х!з — ~~~~ [аа['+ ~~ [сь — а„,". а=! ь-! а-! Сравнивая с (17), мы видим, что левая часть последней формулы принимае~ наименьшее значение, если сь суть коэффициенты Фурье элемента х.
Отметим, что если принять осуществление пространства Н в виде функционального пространства 7 ь то сходимости в Н буде~ соответствовать сходимость в среднем в Ля, о которой мы говорили в [56[. Сходимость ряда Фурье сводится при этом к уравнению замкнутости из [58[. Напомним теперь процесс ортогонализации, который мы уже применялн в случае л-мерного комплексного пространства [Ш; 29]. Пусть имеется бесконечная последовательность элементов из Н, отличных от нулевого элемента: (20) Строим нормированный элеменг х, = а! ! [г! !. Пусть з, — первый из элементов (20) после ан который не может бы!ь представлен виде а,хн Строим элемент у,=г,— (вю х,)хь который, наверное, отличен ог нулевого, и нормируем его, т.
е. строим хэ = =уя:,'у, . Пусть далее «! — первый из элементов (20) после который не можег бы!ь представлен в виде а,х, + аахм Строим элене !т Уз = а! — (з! х!) х! — (а! хя) хь 392 1121 пгосталнство Гильавгтл который, наверное, огличен от нулевого, и нориируем его, т. е. строим ха =у,,/,'~у,,>г Продолжая так и дальше, мы получим ортогональную и нормированную систему (12), которая обладает следующим свойством: всякий элемент хд есть конечная линейная комбинация элементов (20) и наоборот, причем элемент хь выражается лишь через первые Ь из элементов ум Отметим, что попарно ортогональные и отличные от нулевого элементы у,(з = 1, 2, ..., и) линейно независимы.
Лействительно, пусть имеет место рзвенство с,у, 1- с,у, + ... + с у = О. Умножая его обе части на уь и принимая во внимание упомянутую ортогональность, получим с„)уь1Я=О, т. е. сь=О (/г= 1, 2,..., лг), откуда и следует линейная независимость у,. В силу сепарабельности Н, существует счетное множество М элементов (21) иьп,,и„ плотное в Н. Если мы ортогонализуем последовательность сгь, то получим полную (замкнутую) ортонзрмированную сисгему ха(й 1, 2, ...), состоящую из счетного множества элементов.
Замкнутость непосредственно следует из того, что множество (21) повсюд> плотно в Н. Если бы после ортогонализации осталось лишь конечное число элементов, то Н было бы конечноиерным. Наоборот, если в Н существует полнзя ортонормированная система хь(А = 1, 2, ...), состоящая из счетного множества элементов, то нетрудно показать, что конечные суммы с,х, + с,ха + ... + с„хь с комплексными рзциональными коэффициентами с, (с, = а, + Ь,1, где а, и Ь, — вещественные рациональные числа) — образуют счетное множество, плотное в Н, т. е.
свойство сепарабельности равносильно тому, что в Н существует полная ортонормированная система, представляющая собой счетное множество элементов. Покажем еще, что из сепарабельности Н следует, что всякая ар то норм и рова н на я система ф (и) состоит из конечного или счетного множества элементов. Пусть х и у — два взаимно ортогональных и нормированных элемента, т. е. (х, у)=0 и 1х>=')у1=1. Мы имеем ~)х — у~('= =(х — у, х — у)=2 или 1х — у1= у 2, т. е.
расстояние между двумя ортогональными и норчированными элементами равно у 2 . Положим теперь, что имеется некоторое множество $(п) ортонор- 1 мированных элементов. Фиксируем в так, что О ( а ( — у 2 . Лля 2 любого и из 5(п) существует такой элемент иь из множествз (21), плотного в Н, что 1иа — и'>с- а, С другой стороны, при фиксированном Ь только один элемент ф(п) может удовлетворять неравенству '(и» вЂ” п1~ = а, ибо если бы два различных элемента и, и и, удовле- 11РОВКЦИЯ 122! творяли этому неравенству, то, в силу правила треугольника, мы получили бы,,:о, — п1! ( 2е ( ф 2, а должно быть ,'1о, — о1! = )/2 .
йз сказанного непосредственно следует, что множество $ (о) конечно или счетно. 122. Проекция. В лальнейшем существенную роль будут игрзть понятия линеала и полпространства [95!. Множество элементов, принадлежащих любому фиксированному подпространству 1, удовлетворяет всем перечисленным выше зксиомам, кроме, может быть, аксиомы В, ибо подпространство 1 может быть и конечномерным. Таким образом, всякое бе ск о не чноме рное подпространство Е можно рассматривать как самостоятельное комплексное гильбертово пространство.
Сказанное выше соверп1енно очевидно по отношению ко всем аксиомам, кроме аксиомы сепарабельности. По отношению к этой аксиоме надо доказать следующее утверждение: если Н сепарабельно, то и всякое его подпространство с. представляет собой сепарабельное гильбертово пространство. Доказательство этого утверждения не представляет никакого труда [94!. Два подпространства Е и М называются взаимно ортогональными, если любой элемент из Е ортогонален любому элементу из М. Пишут при этом Е ) М. Элемент х называется ортогональным подпространс~ву 1., если х ортогонзлен любому элементу из Л. Пишут х [ 1'.. Докажем теперь теорему, имеющую основное значение для всего дальнейшего.
Теорема. Если Š— надпространство, то любой элелгент х из Н может быта поедставлен в виде (22) х=у+г, где у е А и г [ Е. Указанное представление (22) единственно. Если хЕ Л, то мы получим представление (22), положив х= х+ О. Положим теперь, что х не принадлежит Е. Пусть й— точная нижняя граница множества положительных чисел [х — у,[', когда у пробегает подпространство (: г( = 1п(( х — у (['. (23) Существует такая последовательность элементов у„принадлежащих с'., что (х — у„, х — у„) = )х — у„~п = с(„-Р й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
