1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 82
Текст из файла (страница 82)
(24) Пусть и — любой элемент из 1.. В силу того, что 1'. есть подпространство, элементы у„+ ап для любого вещественного е (и даже комплексного а) принадлежат Е, и, принимая во внимание (23), мы 394 (122 пгоствлнство Гильвавтл можем написать (х — у„— ас, х — у„— ьчс) - с(. Раскрывая написанное скалярное произведение, получим неравенссво (и, и) -' — 2 сс (х — у„, п) я + (ос„— вс) —. О.
Трехчлесс, сгоящий слева, лля любых вещественных е неотрицателен, и потому чы должны иметь !Й(сс, х — у„) !» )Ссс„— вс~ сс('. (26) Усилим это неравенство. Пусть ся — аргумент комплексного числа (сс, х — у„), т. е. (сс, х — у„)=~(сс, х — у„)~~е'г. Заменим в (25) элелсенс сс элементом ие ст, также принадлежащим А. Принимая во внимание, что )ссе сг~,'='(сс~, н (ие сг, х — у„) = е " (сс, х — у„) = ! (сс, х — у ) ~ мы из неравенства (26) получим более точное неравенство !(сс, х — у„) ~()с сг„— сс /п !.
(26) Напомним, что в этом неравенстве х — заданный элемент нз гт', у„ — последовательность элементов из ~, удовлетворяющая условию (24), и и — любой элемент нз Л. Оценим теперь модуль скалярного произведения (и, у„ — у ). Прелставляя разность у„ — у в виде у — у = (у„ — х) + (х — у ) н пользуясь неравенством (26), получим ~(сс,у„— у )/- /(сс, х — у„)С+/(сс, х — у )/( »(1с с(„— Е+ )Сстс — Ы)! ,'1, Полагая в этом неравенстве и=у„— у н сокращая обе части на Ду„ — у /ь мы прнлем к неравенссву ~~уп Ут)» У ссч и+ )' ссчг Отмесим, что если (у„— у >=О, то это неравенство очевидно. При беспредельном возрастании и и и правая его часть, в силу (23), стремится к нулю, и, следовательно, последовательность элементов у„ сходится в себе. В силу аксиомы полноты, существует тзкой элементу, что у„ =)у, и, тзк как Е есть подпространство, то у С ~. С другой стороны, переходя к пределу в неравенстве (26), мы получаем для любого элемента сс, принадлежащего б: (и, х — у) = О, т.
е. разность х — у ортогональпа к Е. Обозначая эту разность через а, лсы н получаем формулу (22), в которой у с Е и а 1 (.. Остается доказать елинственность полученного представления (22). Пусть имеются два представления х =у+ а =у, +го где у и у, С= с., а г и гс ) с.. Мы имеем, очевилно, у — у, =гс — а. Левая часть этого равенства представляет собой элемент, принадле- 395 линвдиыв ег нкционллы 123) ашип ь', а правая — элемент, ортогональнып Е. Отсюда следуег, чтс> (у — уь у — у,)=0, т.
е. 1у — у,,'=О, а почему у,=у и, следователыю, г, = з. Теорема доказана полностью. Элемент у, входящий в формулу (22) и принадлежащий Е, называется проекцией элемента х в подпространство В. Множество элементов, ортогональных к подпространству г', обрззует, очевидно, некоторое подпрострзнство. Обозначим его буквои М. В силу доказанной теоремы каждыи элемент х из Е может быть единственным обрааом представлен в виде суимы двух элементов, из которых один принадлежит Е, а другой М.
Множество элементов, ортогональных к М, образует подпространстзо Е. В этом отношении связь меякду подпространствалги Е и М взаимна, и такие два подпрострапства называются взаимно до полн и тел ь ными подип р о с т р а н с т в а м и. В случае вещественного трехмерного пространства взаимно дополнительными пространствами будут, например, множества зекчорои, образующих плоскость Хг' и ось х'.. Обычно пишут в укззанном выше случае Н=ВЯМ 1=Нс) М: М=НЯ ь (27) или (28) так что Н Я М ес гь подпространство элементов Н, оргогональных к подпространству М. 123.
Линейные функционалы. Мы имели выше определение линейного функционала 1(х) в пространстве типа В и тем самым в Н. Мы считаем, что он определен во всем Н. Напомним, что его норма, которую мы будем обозначать лн определяется формулой (29) !г'(х) )«= л„1',х11. (30) Укажем пример линейного функционала. Пусть у — фиксированный элемент Н. Положим 1(х)=(х, у). (31) Его дистрибутнвность следует из (1), а ограниченность из (5) !2(х) ( =.(у1 Сх!.
(32) Отметим, что в этом неравенстве при х =у имеет место знак =, т. е. множигель,у) нельзя заменить меньшим, и )у' есть норма 41учкционала (31). Если у есть нулевоп элемент, то (х, у)=0 при люгбом х (функционал аннулирования). Оказывается, что формула (31) дает всевозможные функционалы в Н, т. е. имеет место следующая важная теорема; (! 23 396 пгосгглнстао гильввРТА Теорема. Всикив линейный функционал У(х) представим едпнгтвеннылг образом формулой (29), где у — некоторый фиксированный элемент из Н. Из дистрибутивности функционала следует, что Е(0) = О, где 0 — нулевой элемент Н. Пусть й — множес~во всех элементов х, для которых 1(х) = О.
В силу дистрибутивности и непрерывности !(х), Л есть подпространство. Может случиться, что А есть полное пространство Н, т. е. что 1(х)= О для любого элемента х. Такой функционал мы можем, очевидно, представить в виде Е(х) = (х, 0). Рассмотрим теперь общий случай, когда надпространство Л есть часть Н.
Пусть г — некоторый фиксированный элемент Н, не принадлежащий !. Мы можем представить его в виде е = и + и, где и Е т' и и ! т'., причем и ~ О. (!22]. Так как и не принадлежит Е, мы имеем: Е(о)о' О. Пусть х — любой элемент из Н. Строим элемент то=х — — и и !(х) т(п) рассмо~рим 1(ш): г'(то) = ((х) — — Г(о) = ~(х) — ~(х) = б. / (х) г() Таким образом, видим, что элемент те= х — — и принадлежит Е., ! (х) г (о) и выше мы видели, что и ( Л. Таким образом, можем написать х — — о, о~!=О, 1(х) г(о) или, раскрывая скалярное произведение, откуда и следует представление Е(х) в виде скалярного произведения г (о) !) о (я Остается доказать единственность представления ((х) в виде скалярного произведения.
Пусть Е(х)=(х, у)=(х, у,). Отсюда для любого х из Н следует (х, у — у,)=0. Полагая х=у — ун получим (у — у,!,,'= О, т. е. у, =у, и теорема доказана полностью. Иногда определенный выше функционал называю~ л и н е й н ы и функционалом первого рода. При этом линейным фу н кц и о н а л о м в т о р о г о р о д з называют ограниченный функционал, для которого мы имеем следующее свойство: (~ (с1х1 + етхя + + еыхы) =с !1(х,)-(- сД(хя)+ ...
+ г„,!1(х ), 397 линвйныв опвглтогы 124! т, е. постоянные множители при вынесении зз знзк функционала переходят в комплексные сопряженные числа. Примером линейного функционала второго рода является скалярное произведение, в котором переменный элемент х стоит на втором месте, а фиксированный элемент у — на первом месте: Ч (х) = Гу х).
Если 7,(х) есть линейный функционал второго рода, то ((х)=7,(х) есть линейный функционал первого рода. Из этого замечания и теоремы непосредственно следует, что формула (31,) дает общий вид линейных функционалов второго родэ. Из теоремы следует также, что всякий линейный функционал 7(х) вполне определяется элементом у из Н, т. е. пространство Н*, сопряженное с Н, есть Н. Напомним еще„ что если на линеале ).о повсюду плотном в Н, имеется дистрибутивный ограниченный функционал 7(х), то его едино~ясиным образом можно распространить на все И так, что он будет линейным (ограниченным) на Н с той же нормой, какую он имел на 7., [97).
124. Линейные операторы. рассмотрим теперь линейные (ограниченные) операторы, определенные во всем Н, и значения которых также принадлежат Н. В дальнейшем, если не оговорено особо, мы будем пользоваться терминами «линейный функционала и «линейный оператора для дистрибутивных ограниченных функционалов и операторов, заданных иа всем Н (97, 98). Норму оператора А мы будем обозначать через ",А 1 или пд. Напомним формулу !', А 1= лд = зпр|Ах1.
1«,'=1 (33) у = Рсх. (34) Если 7. есть все И, то Рс = Е. Если 7. состои~ из одного нулевого элемента, то Р, есть оператор зннулирования. В общем случзе 1 Р,х ~~ ,'х ~, причем знак = тогда и только тогда, когда х е Е. Если Рт не есть оператор аниулировзния, то ( Р с'1 = 1. Дистрибутивность Р, следует из того, что если мы имеем два разложения: х, =у, + г, и ха=у, + зм где у, и у,~ 7., а з, и гя ( 1., то Через Е будем обозначать оператор тождественного преобразования, т. е.
Ех=х для любого хС Н(~~!Е/~=1). Если )А)=0, то А есть оператор аннулирования, т. е. Ах=О для любого х Е Н. Пусть 7. — некоторое подпространство. Согласно теореме из (122] мы имеем для любого х Е Н единственное представление в виде х =у+ з, где УЕ 7. и л ) Г.. Оператор, переводящий х я у, называется оператором проектирования, или проектором в Г., и обозначается следующим образом: [124 398 пгостглнство гильввгтл х, -) хя=(ул+уя)+(г, +гя), где у, +у, Е Е., а агы дя ( 7., т. е. Рг (х, — , 'х ) = Рс х, + Рсха. Аналогично Рь (ах) = аРс(х).
Введем теперь неко~орые новые понятия и отметим элементарные свойства линейных операторов )ср. 97). Слово «липейныйэ мы будем часто опускать. Если А и  — даа таких оператора, что для любого элемента х мы имеем Ах = Вх, то говорим, что операторы А и В совпадают, и пишем А = В. Если дистрибу гивный и ограниченный оператор А задан на некотором линеале Е„ повсюду плотном в Н, то так же, как и в случае функционала, его можно единственным образом продолжить на все Н с сохранением дистрибутивности и ограниченности, и при этом продолжении его норма, которую он имел в 7.н не повысится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
