1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Если А и  — два оператора, а а и Ь вЂ” два комплексных числа, то аА + ЬВ есть линейный оператор, определяемый равенством (аА + ЬВ) х = а Ах + ЬВх. (35) Принимая во внимание, что ~) а Ах + ЬВх.,', ( ~ а ! ) Ах,, + ( Ь | ° ( Вх ~ ( (' ,а ~ ~ля + ! Ь | ля),", х ), видим, что у оператора аА+ ЬВ норма =., 'а ~ ля+ Ь пл. Таким образом, операторы можно умножать на комплексные числа и складывать. Эта операция подчиняется обычным законам алгебры. Последовательное применение операгоров А и В представляет собой также линейный оператор, который мы обозначим символом ВА. Применение тех же операторов, но в другом порядке, приводит к линейному оператору АВ, отличному, вообще говоря, от ВЛ.
Мы назовем оперзторы ВА и АВ произведением операторов А и В. Это определение непосредственно распрострзняется и на случай любого конечного числа сомножителей. Если АВ = ВЛ, то говорят, что о п е р а- торы ком мутируют. Мы имеем ! ВАх(~(лл,Ах",(пвпд)х~~, и, следовательно, норма произведений ВА и АВ(пппл. Отметим еще, что если а — комплексное число и А — оперзтор, то норма аА в точности равна ~а~ля. Произведение операторов подчиняется, очевидно, сочетательному закону, т. е.
С (ВА) = (СВ) Л, и распределительному закону (А + В) С = АС + ВС и С (А + В) = СА -(- СВ. Переходим теперь к введению понятия с о п р я ж е н н о г о о п ер а т о р а. Пусгь А — некоторый линейный оператор; рассмотрим скалярное произведение (Ах. у). Для любого фиксированного элемента у 399 линейныв опвелтовы 1241 оио представляет собой функционал от х. Дистрибутивность его вытекает из днстрибутивности скалярного произведения, а ограни.
ченность — из очевидной формулы ((Ах, у) ~ «лд у,'('х ~. )Ло всякий функционал мы можем представить единствегппям образом в виде скалярного произведения. Таким образом, для любого фиксированного элемента у существует такой определенныц элемент у*, что (Ах, у) = (х, уа) (36) для любого х из Н. Таким образом, написанная формула дает определенный закон, согласно которому каждому элементу у соответствует определеннып элемент у*. Запишем этот закон в виде уа = Аьу, где А" — символ некоторого оператора.
Его дистрибутивность непосредственно следует из дистрибутивносги скалярных произведении (Лх, у) и (х, у*) по отношению ко второму аргументу. Дальше мы докажем и ограниченность оператора А"'. Этот оператор А* и называешься сопряженным с А. Формулу (36) мы можем теперь записать в ниде (37) (Ах, у) = (х, А" у). Из данного выше определения сопряхгенного оператора непосредственно вытекают следующие формулы составления сопряженного оператора для суммы и произведения операторов: (аА)ь=аА*; (А+ В)'=Аь+Ва; (АВ)*=В*А*; (Аь)" =А.
(38) Докажем, например, третью из написанных формул. Применяя дважды определение (37), получим (АВх, у) =(Вх, А* у) = (х, Вь А "у), откуда и следует, что (АВ)а=В*А*. Докаькем еще последнюю из формул (38). Мы имеем, пользуясь определением (37) и свойством (и, и) =(~, и): (Аь х, у) = (у, Ав х) = (Ау, х) = (х, Ау), откуда и следует, что (А*)*=А. Докажем, наконец, ограниченность оператора Аеп Теорема 1. Норма сопряженного операгпора равна норме первоначального операшора, т.
е. пд. = пд. Полагая в формуле (37) х=А*у и пользуясь неравенствами (5) и (33), мы получим (! А*у ~П = ( (Л (Азу), у) ~ «(~ А (А*у) ' 1у / «лд ~ А" у ) °,)у ~~, откУда следУет, что !АаУ «лд!У,'), а потомУ лд.«пд. В силУ (Ль)~=Л мы, в силу доказанного, имеем: лд«пдч оп.уда и следует, что пд* —— пд. 400 (124 пгостелнство Гильаяетл Оператор А называется самоса пряженным, если А"=А. Таким образом, для самосопряженного оператора характерным является равенство (Ах, у) = (х, Ау). (39) Если положить в этом равенстве у=х и принять во внимание (Ах, х)=(х, Ах), то мы увидим, что в случае самосопряженного оператора (Ах, х) вещественно для любого элемента х. Справедливо и обратное утверждение.
Теорема 2. Для самосопряженностп А необходимо и достаточно, чтобы (Ах, х) был ветеспгвенным для любого элемента х. Необходимость мы показали выше. Положим теперь, что (Ах, х) вещественно при любом выборе х, и докажем, что А — самосопряженный оператор. По условию мы имеем (А (х +у), х + у) = (х + у, А (х + у)) и (А (х +! у), х + су) = =(х+(у, А(х+)у)).
Раскрывая скалярные произведения и принимая во внимание, что (Ах,х) = (х, Ах) и (Ау, у) = (у, Ау), получим (Ау, х)+(Ах,у)=(у, Ах)+(х, Ау); (Ау, х) — (Ах, у) = (у, Ах) — (х, Ау). Вычитая почленно, приходим к равенству (39), откуда и следует, что А — самосопряженный оператор. Принимая во внимание формулы (38), видим, что любая линейная комбинация а,А,+ +а А,+ ... +амА самосопряженных операторов А„ с вещественными коэффициентами есть самосопряженный оператор, а произведение АВ самосопряженных операторов будет самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда А и В к ам мутируют.
Пусть Л вЂ” некоторое подпространство и М вЂ” дополнительное к нему. В силу теоремы из (122), имеем Е=Рс+ Рм. (40) Нетрудно видеть, что всякий проектор Рс есть самос о п р я ж е н н ы й о п е р а т ор Действительно, принимая во внимание ортогональность ь и М и формулу (40), получим (Рсх, у) =(Рсх, Рву+ Рму) =(Рсх, Р у)=(Р х+ Рму, Р у)= =(х, Рту). Пусть А — любой линейный оператор. Построим следующие два оператора: А, = (А -(- Ач); А, = . (А — А*). (41) вилинвйныв и квлделтичныя фянкггионллы 401 1251 Принимая во внимание формулы (38), видим, чго А, и А, — само- сопряженные операторы.
Таким образом, получаем следуюпгее выра- ение любого линейного оператора через самосопряженные операторы: А — А, + ю'Ая. 125. Билинейные и квадратичные функционалы. Мы укажем сейчзс возможность определения любого линейного операторз при помощи особого рода функционзлз. Назовем б и л и н е й н ы м ф у н кционалом определенный закон, согласно которому любой паре элементов х и у из Н сопоставляется определенное комплексное число г'(х, у), причем Е(х, у) дистрибутивен по отношению к первому аргументу как функционал первого рода и по отношению ко второму аргументу как функционал второго рода: 1 (ах, + Ьхм у) = аЕ (хь у) + Ьг (хь у); с' (х, ау, + Ьуя) = = ау(х, у,) + Ы(х, у,).
(42) Кроме того, считаем билинейный функционал и ограниченным, т. е. считаем, что существует такое гголожительное число гтг, что для любых элементов х и у из Н имеет место неравенство [ Е (х, у) [ ( М [[ х !, '° ', у [[. (4 3) Наименьшее значение М в этом неравенстве — норма билинейного функционала и, — определяется формулой: п, = вир [Е(х, у)[. 1~'=! ау!)= ! (44) Если А — любой линейный оператор, то формула Е(х, у) =(Ах, у) дает, как нетрудно проверить, билинейный функционал. При этом [ с (х, у) [: пл )х[[ [у[[, (45) 1л так что для билинейного функционала (45): п, ( пл .
Локажем теперь, что формула (45) дает всевозможные билинейные функционалы. Теорема. Всякий билинейный функционал представим единственным образом формулой (45), где А — пекин!орый линейный оператор, и норма билинейного функционала п, равна нор.ие оператора пл. Если фиксировать х, то ~(х, у) есть функционал второго рода от у, и мы можем написать [123[: У(х, у)=(г, у), где в определяется единственным образом, если фиксировано х, т. е. в= Ах, где А — некоторый опера~ар, определенный во всем Н.
Его дистрибутивность следует непосредственно из (42) и дистрибутивности 402 (125 пРостРлнстзо Гил!БЕРтл (а, у) по отношению а. Покажем ограни 1епность А. Принимая во внимание (43) при 1ч'=по можем написать !(Ах, у))(пг'!х! !!у /. Полагая У=Ах и сокра1цая обе части полученного неравенства на Ах!', будем иметь !Ах!'(п1'х!; (если /Ах/=О, то последнее неравенство очевидно). Отсюда и следует ограниченность оператора А и неравенство пл пп Но мы имели выше п,(пл, и, следовательно, и, =па.
Остае~ся доказать единственность представления (46). 1"!усть 1(х, у) = (Ах, у) = (А,х, у). Отсюда следует, что для любых х и у имеет место рзвенсгво (Ах — А,х, у) = О. Пола~ля в нем у= Ах — А,х, получим !!Ах — А,х |= О, т. е. для любого х мы имеем А,х=Ах, операторы А и А, совпадают, и теорема полностью доказана. Из доказзннои теоремы следует, что задание линейного оператора равносильноо заданию билинейного функционала. Совершенно аналогично в алгебре вадзние элементов аы матрицы равносильно заданию билинепнои формы л аыхауп 1,й=! Всякии билинейный функционал 1(х, у) порождает соответствующий ему квадратичный функционал (квадратичная форма), если положить в нем у=х: 1(х, х) =(Ах, х). Негрудно выразить билинейный функционзл через квадратичную форму, которая им порождена, а именно легко проверить следу1ощее равенство: (Ах, у)=((Ахо х,) — (Ах„х,))+1((Ахз, хз) — (Ахм х,)), (46) где х, = — (х + у); х, = —, (х — у); 1 ! 1, .
! хз — 2 (х ! У)! хл = (х У) (47) В правой части (46) стоят четыре квадратичных функционала. Вещественность квадратичного функционала (Ах, х) для любого элемента х является, как мы видели, характерной особенностью само- сопряженного оператора. Положим, что оператор А обладает тем своиством, что (Ах,х) = = О для л1обого элементз х. Из (46) при этом следует, что (Ах, у) =О для любых х и у. Но тзким свойством, очевидно, облздаег билиней- 403 ггьннны сдмосопгяжгииого опвгьтогд 126[ н,дй <[функционал (Ах, у), если А есть оператор аннулирования, и, принимая во внимание единственность, указанную в теореме, мы „южем утверждать, что если дл я любого х имеем (Ах, х)=0, о А есть оператор аннулирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
