1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Мы имеем ]]Вх„— М,х„]'"=';Вх„]]ч — 2М, (Вх„, х„) + М', ~ -=.М; — 2М,(М,— 3„)+М;=2М,Ь„, откуда следует, что!]( — М,)х„]] — О, и, в силу следствия 1 теоремы 2,  — М,Е= А — МЕ не имев~ ограниченного обратного. Покажем теперь, чго и Л = гп принадлежит спектру. Для само- сопряженного оператора ( — А) границами будут ( — М) и ( — ггг), причем — М( — гп, так что, по доказанному выше, — А., 'тЕ не имеет ограниченного обратного, т. е. не удовлетворяет условию (65), но тогда и А — тЕ не удовлетворяет этому условию. Мы видели вьнпе, чго если Л принадлежит спектру, но гге есть сабе~венное значение, то линеал К (А — ЛЕ) повсюду плоген в Н.
Мы покажем, что з этом случае К(А — )Е) не есть все Н. Это непосредственно выгекает из следуюптей теоремы [ср. 97]: Теорема 4. Если В(А) есть все Н, то обратный оператор А ' ограничен. Отметим прежде всего, что если )с(А) есть Н, то из скззанного в начале этого параграфа следует, чго Л=О не есть собствешюе 415 1001 Рвзольявнтл значение А, и, следовательно, существует обратный оператор А ', определенныИ во всем Н. Пусть х — некоторыИ элемент Н. Элемент Ах будем обозначать тои же буквоИ со штрихом, т. е.
х' = Ах, у' = Ау н т. д. Нетрудно видеть, что оператор А ' обладает следующим своисгвом симметрии: (А 'х', у')=(х', А 'у'), (66) где х' и у' — любые элементы Н. Леиствительно, написащюе равенство равносильно равенству (х, Ау) = (Ах, у), которое имеет место в силу самосопряженности А. Вырзжение (66) при любом выборе нормировзнного элемента у' представляет собой линеИныИ функционал 7 (х') от х'. Лля этого семейства функционалов числа )Е„ (х')~ для любого фиксировашюго элемента х' ограничены.
ДеИствительно, (7г (х) /=)(А 'х', у) ) =-(А 'х'(. Отсюда следует, что нормы функционалов (66) при )у'!'= 1 ограничены !100). Но этп нормы равны (А У(, '!123), и тем самым существует такое число д, что(А У~,'-.=-!7 при,"у'> —— 1, что и требовалось доказать. Теорема имеет, очевидно, место и для оператора А — ).Е при вещественном Л. Случай же невещественного Л был рассмотрен выше. В следукащем разделе, посвященном неограниченным операторам, мы подробнее изучим спектр самосопряженнык операторов.
1ЗО. Резольвента. Если Л не есть собственное значение А, то существует резольвента А: йл=(А — ЛЕ) '. Онз определена на )с(А — ЛЕ) и преобразуе~ биоднозначно этот линеал на Н. Из определения обратного оператора следует, что если х принадлежит й(А — ЛЕ) и гг>х=О, то х=О. Дальше будем рассматривать тот случаИ, когда Л вЂ” регулярная точка А. При этом )с(А — ЛЕ) есть Н, и й, есть ограниченный оператор, определенный во всеи Н.
Локажем следующие две формулы (для регулярных Л и р): (67) Если Л не вещественно, то Л также не вещественно и, следовательно, также регулярная точка. Таким образом, для веьцественных и невещественных Л можно утверждать, что любые элементы х' ну' из Н можно представить в виде х'=(А — ЛЕ)х; у'=(А — ЛЕ)у. Отсюда следует (й„х', у') =(х, (А — ).Е)у)=((А — ЛЕ) х, у) =(х', йгу'), 1181 416 пгосЗРАнстяо Гильввгтл и из полученного равенства непосредственно следует первая из формул (67). Докажем вторую. Из определения резольвенты следуют формулы й!х= йя(А — РЕ) Кьх; й„х=й (А — ).Е) )7тх. Вычитая их почленно, приходим ко второй из формул (67). 131.
Последовательности операторов. Все, что мы говорили о последовательностях линейных операторов в пространствах типа В [104), имеет место и для Н. Напомним основные факты и сделаем неко~орые добавления. Сход и мост ь по норме последовательности линейных операторов А„ к линейному оператору А определяется условием ~! А — А„, — О при л — со. Для этого необходимо и достаточно, чтобы 1 А„ — А,„~) — О при л и я — со. С и л ь н а я с х о д и м о с т ь (или просто сходимость) определяется тем, что А„х=~ Ах при любом ж Г Н.
При этом нормы ~,'А„! ограничены. Необходимое и достаточное условие сильной схолимости 1А„х — -А т1( — О при л и л — со и л!обом х С Н. Из сходи- мости по норме следует сильная сходимость. Если А„ — А, В„ — В (в смысле сильной сходимости или сходимости по норме) и числа а„— а, то а„А„— аА, А„+ „— А+В и В„А„— ВА. Покажем, что если А„— самосопряженные операторы и А„— А, то и А — с а мосо п р я женн ый оператор. Действительно, (А„х, х) — вещественно при любом и и любом х С Н. Отсюда следуе~, что и (А.т, х)= 1нп (А„х, х) — вещественно при любом и со х С Н, и, следовательно, А — самосопряженный оператор.
Имея понятие предела, мы можем рассматривать бесконечные ряды, составленные из линейных операторов в Н, В т!- Вя+ В! -+ .. и говорить об их сходимости в том или ином смысле. Рассмотрим олин важный для дальнейгиего пример. Пусть А — линейный оператор и ( А 1= !7 ( 1. Составим ряд: Я=Е-!гяА+ яЯАа+..., (68) где я — комплексное число.
Обозначая через Я„ оператор, равный сумме первых л-членов этого ряда, получим !)Я Я ( — )! ал! ! 1лэ! + !гльз 4лэа+ + ап~Р-!Ачба — ! (! откуда, считая ~х((1, 1В.; — В.~'~4""+ Ч""+ "=,',, и, слеловзтельно, 1!Я„„„— Я„!! — О при л — оэ и любом р) О, т. е. ряд (68) сходится по норме при )в! ( 1. Поскольку оценка для 41 г сллвля сходимость 132! гс Я 1' пе годер'кнт я, говоряг, что ряд (68) сходится раино- ~л+Р „,ерно по я прн )я, '— 1. Принимая во внимание, что,)А~~,'— д(1, „и молгеьг угверждать, что ряд (68) сходится по норме равномерно относителыю я, если (а ! ~ 1 -1- а, где а ) О выбрано настолько малым, что (1 + а) 7(1. Умножая ряд (68) на (Š— иА) и принимая во внимание сказанное выше о предельном переходе для последовательности операторов, получим (Š— яА) 5 = 5 (Š— иА) = Е, т.
е. сумма ряда (68) при ~а) ~ 1 + а есть ограниченный обратный оператор для (Š— дА), т. е Я=(Š— яА) '. Совершенно так же, как и выше, можно доказать следующее утверждение: если нормы операторов Ая не превышают положительных чисел йм которые образуюг сходящийся ряд, то ряд А=А,+Аз+,, сходится по норме, и норма оператора А не больше суммы ряда, составленного из чисел 8„. Последнее утверждение следует из того, что если бы норма А оказалась больше этой суммы, то при достаточно большом л и норма оператора Я„=А,+А,+... +А„ оказалась бы больше этой суммы, что противоречит очевидному неравенству (18„(! =1А, 1,'+)А,,"+ ...
+(1 А„((ч-. В, + За+ ... + В„. Утверждение, аналогичное вышеуказанному, имеет, очевидно, место и для нормированных пространств. 132. Слабая сходимость. Поскольку мы имеем общую форму линейного функционала в Н 1123), с л а б а я с х о д и м о с т ь х„—" х, равносильна тому, что (х„, у) — (хму) при любом уч-Н. Напомним, чго из х„-'-'х„следует существование такого числа гл ) О, что 1,'х„'(~т при всех значениях л. Далее, поскольку сопряженное пространство Нь снап~дает с Н, всякое ограниченное в Н множество слабо компак гно, и Н обладает слабой полнотой, т. е. если (х„— х, у) — О при л и лг — оо и любом У(-Н, то последовательность х„— слабо сходящаяся. Мы знаем также, что если х„— "' х, и А — линейный оператор, то Ах„' — 'Ахм Покажем тепеРь, что если «а (й = 1, 2,...) — оРтоноРмиРованнаа системз, полная в Н, и ",х„1' "т, то для того чтобы показзть, что тл.
х„" х, д о с т а т о ч н о пока зать, что (х„, «ь) — (ха, «а) (Й = 1, 2,...). Действительно, пусть (х„, «„)--(х„, «л) (/а=1, 2, ...). Любой эле- 418 (182 пвостгйнство Гильвввтй мент у ~- И можно представить в виде у — ~ Ьд»д, д=! причем 'й !Ьд!'=!!у!!' й=! Напишем ъ~ (х„— хй, у) =(х„— х,, у Ьдгд)+ (х„— х„? Ьдад), д=! д л+! и пусть нам задано а)0. В силу !!х„!!(т имеем (!211: 00 СО ((х„— х„~~ Ьйад) !!(!~е„— х,!! !! ~~! Ьдг,))( й=м+! ' й=м+! !ч.!~!,!!!)/ ~ ~ь,!~ д=!ч+ ! и можем фиксировать такое Гч', что правая часть написанного неравенства ( —.
При этом !(х.— хд,у)!~~ У (х.— х, Ь. ))+-. а=! В силу (х„, ад)--(х„ад) при всех достаточно больших л первое слагаемое правой части ~ — и !!(х„— х,, у) '! = а, откуда и следует, что (х„, у)-(хд у). Локажем следующую теорему: Теорема д. Если х„-'а хд и у„= йуд, дло (х„, у„) — (х„у,) и (у„, х„) — (у„, х,). Лостаточно доказать, что (х„, у„) — (х„, уй). Второе утверждение получится перестановкой элементов. Мы можем написать !(х. Уй) — (х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
