1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Мы доказали таким образом теорему. Теорема 2. Ортогональная нормированная сиса!ема собственных элементов вполне непрерывного самосопряженного оператора есть полная система. Иначе говоря, пользуясь терминологией из [!28], можем сказать, что вполне непрерывный самосопряженный оператор имеет чисто точечный спектр. Все приведенные выше рассуждения применимы и для того случая, когда сумма (111) состоит из конечного числа слагаемых. Если ) =О не есть собственное значение, то сумма (1!1) содержит бесконечное число слагаемых (аксиома 3), и для любого элемента Н имеем 432 [186 пгостглнство Гильвягтл следующий результат. Если Л отлично ог собссненного значения и нуля, то неоднородное уравнение Ах =)х -+у (1! 6) при любом заданном у имеег единственное решение, определяемое формулой х= — — у+~ , Ъ~ Ль (у, хь) л ,~ л (л„ вЂ” л) (117) Если Л совпадает с собственным значением и выполнено условие разрешимости уравнения, т.
е. у ортогонально ко всем соответствующим собственным элементам, то общее решение уравнения (116) дается формулой (1!7), в которой все множители при х„, у которых знаменатель равен нулю, надо заменить произвольными постоянными. Положим, что имеются как положительные, так и отрицательные собственные значения. Пронумеруем как те, так и другие в порядке невозрастающего абсолютного значения, и первые обозначим через Ль, а вторые — через Л„, а соответствующие собственные функции через хь и хь. Принимая во внимание разложение (111), получим (Ах, х)= ~~Ля[(х, хь)[ч+ ч Лс,[(х, х„)/", (118) отсюда непосредственно следует новая формулировка экстремальных свойств Ль и х„, о которых чы говорили выше [ср.
!Ч; 26]. Теорема 3. Собственное значение Л," есть наибольшее значение (Ах, х) при ,'[х[ — — 1, и оно достигается прп х=х,, а собственное значение Л„(п ) 1) есть наибол~шее значение (Ах, х) ар а условиях /[х [ = 1 и (х, х, ) = (х, х,) =... = (х, х„' с) = О, п оно достигается при х=х„. Аналогично Л, еспсь наименьшее значение (Ах, х) при ~[х[~= 1 и оно достигается при х=х,, а Л„(п)!) есть наименьшее значение (Ах, х) при условссях ~, х [ = 1 и (х, х; ) = (х, х,) =...
= (х, х,, с) = О, а оно достигается при х= хил )«окажем теперь теорему Куранта [1Ч; 187[ для пространства Н. Теорема 4. Пусть гн гс, ..., «„, — любые фиксированные элементы Н и т(гь гм,г„,) — точная верхняп граница значений (Ах, х) при условиях /[х [= 1 и (х, «,) = (х, г,) =...
= (х, г„,) = О. (119) При этом р.„есть наименьшее из чисел т («ь гс, ..., «„с) при всех воз.иожньсх выборах элелсенсиов гн «ь ..., «„ь Доказательство аналогично доказательству из [1Ч; !87[. Мы имеем 13б] вполнв нвпгзеььвнььв слмосопеяжвььныгь опвелтогы 433 ,н(х,+, х.,', ..., х...)=!»„', ивам осгаетса доказать, что пРи любом выбоРе «л (Я = 1, 2, ..., ьг — 1) и(«, «...
«л 1)гэ1»л. (! 20) Будем искать элемент х, подчиняющийся условиям (119), в виде ъ х= »т с .х„. (121) »=ь Условия (119) запишутся в виде следующих уравнений для с„: с»(хл, «,)=О, л-ь ь» ь, а, ..., л — ьь (122) л Х]с„]Я=1, л-ь (123) в л е (Ах, х)= (»У сд)лх», ~ слхь)=~~ )л]с„]Я. в=ь л-ь в=ь Принимая во внимание, что !»,' )!»» --»...~!»„' и равенство (123) получаем (Ах, х) тв!»„", причем х удовлетворяет условиям (119). Тем более т(«ь «», ..., «„,), Раььное точной верхней границе (Ах, х) при условиях (1!9), не меньше !»„'.
Тем самым неравенство (120) и теорема докаааны. Совершенно анаьюгичью формулируется теорема и для 1,„. 3 а м е ч а н и е. Нетрудно показать, что точная верхняя гранггца т(«ь, «,, ..., «„,) значений (Ах, х) досглигается на неноторо.м вле.менте хм ь'Довлетворяюьце и условнялг (119). )1ействительно, по условию имеется такая последователыьость элементов у„, удовлетворяющих условиям (119), что (Ау„, у„) -ь ьт(«ь, «», ..., «„,). Принимая во внимание, что ]у„]=1, можем считагь, что у„ слабо сходятся к некоторому элементу х,, причем из слабой сходимости следует !132]: ]хя †.1 и (хо «ь) = (хо «») = ...
= (х» «,-ь) = О. В силу полной непрерывности А мы имеем (Ах„ х,) = = т («ь, «ь ..., „,). ОсгаетсЯ доказать, ч го:ьь хв ! = 1. Из т(«ь, «„..., «в ь))р„" следует, что т(«н г,, «„ь))0 и Однородная система (122) (л — 1)-уравнений с и-неизвестными сл имеет решения, отличные от нулевого. Добавляя к такому решению постоянный множитель, люжем удовлетворить и условию (123). Таким образом, мы нашли элемент вида (121), удовлетворяющий условиям (119).
»(ля этого элемента имеем 434 [138 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬВБРТЛ [~хь,' ) О. Если ,'х»1 ( 1, то, вводя нормированный элемент у»в хь, удовлетворяющий условиям (119), мы получили бы )[х, ) в~ («ь»ь ел-1) (Ауь уь) = [» А (хь хь) =,, ) л» (»н»ь ..., »„.1). ~ .А,," !' х,;" [Л3 [), ',Ля ~ =- ~ Лд '~ =- .. (124) и Л„ -» О при п -» со. Напомним, что если собственные значения имеют ранг г, то оно фигурирует в последовательносчи (124) г рач (собственное значение й = О может имегь бесконечный ранг).
Лля любо~о элемента х»- Н мы имеем, в силу полноты системы х», рззложение в ряд Фурье х= ч а»х» »=! (125) хл Ах=~~ а Л х„. »-1 (126) Но из определения т(»н»„..., «„,) следует, что (Ау„уя) ~ =. т (»и»м .,., «„,). Получещюе противоречие показывает, что [ха[=1, и утвержление о том, что (Ах, х) достигаег своей точной верхней границы и(»„«,, ..., «„,), — доказано. Принимая Во внимание теорему 2 из [132[, можем утверждать, что у„=)х,. Теорема применяегся при сравнении собственных значений различных операторов [ср. 1Ч; 188[. Отметим еще одно непосредственное следствие формулы (118) [ср.
1Ч; 26[. Лля того чтобы вполне непрерывный самосопряженный оператор А был положительным: ((Ах, х) гм О при х»- Н), необхо. димо и достаточно, чтобы он не имел отрицательных собственных значений. Локзжем теперь, что вполне непрерывный самосопряженный оператор вполне определяется тем характером спектра, который описан в теоремах 1 и 2.
Теорема б. Пусть линейный самосопряженный оператор обладает следуютн.ин свойствамаг ортогональная нормированная спсте.иа его собственных элементов х»(й= 1, 2, ...) — полная, все собственные значения Л», отличные от нуля, гслсеют конечный ранг и вне любого про.иелсутка [ — », + а[, где а) О, лгожет находиться лишь конечное чвсло собственных значений. Прн этол» оператор А — вполне непреры вны й. По условию теоремы мы можем расположить ).» в порядке не- возрастающего абсолютного значения эиитлгиыи опееатоиы 435 137] Пусть У вЂ” ограниченное миожесгзо элементов х, т. е. существует такое положигелыюе число 7, что (аг[ч(7ч, (127) и=! сли х(:-У.
Нам кадо доказать, что множество Ах компзктио. Ограиичеииость миожестза следует из иеразепсгза [А,с,')( пай Остается доказать [92], что если зыполиеио (127), то при любом заданном ,)0 существует такое целое положительное т„что ~~г~ [ а „[а Л' ( г'. а В силу Л„-ь0 при п-ьсю существует такое п„чго [Л„](— при и) п,.
При этом СО [аа[~Лй( —, ~ [а„!Я(-;(ч=гч, ь=л ь=ы г и теорема доказана. 137. Унитарные операторы. Наряду с самосопряжепцыми операторами рассмотрим еще один класс линейных операторов. Определение. Линейный оператор (128) у= Ух называется унггтарны.и, если он не меняепг нормы элементов, т. е. ~] Ух[=~]х[; и преобразует Н на все Н, ии е. для любого УЕ Н суичествует прообраз х, т. е. такой элеменпг х, что имеет место формула (128). Отметим, чго из этого определения следует, что норма уиитарного оператора равна единице. В следующей теореме указаны основиые свойства упигариых операторои. Теорема 7. Унггигарный оператор преобразует Н биоднозначно в Н, имеегп ограниченный обратный оператор, определяемый формулой (129) т.
е. (130) УУ' — У" У= Е, "Ричем У ' — также унитарный оператор, и У не меняет скалярного произведения. условие (130) достаглочно для пгого, чтобы У было унитарным оператором. (137 436 пвоствлнстяо Гильяггтл Если х, и х, — два элемента Н, то, по определению унитарного оператора,,) Ух, — Ух,', = ) У (х, — х,)) —— Дх, — х, 0 а потому, если Ух, = Ух„ то и х, =х, т. е. для различных элементов х формула (128) дает и различные у, т. е. У определяет биоднозначное преобразование Н в себя. Таким образом, существует ограниченный обрат.
ный оператор У ', определенный во всем Н, причем в силу того, что У пе меняет нормы, имеем )' У 'у (=('у (, т. е. оператор У ' также унитарен. Принимая во внимание неизменность нормы, може» написать (Ух, Ух) = (х, х), откуда непосредственно следуег ра. венство (Увих, х)=(х, х), Но равенство квадратичных функционалов равносильно равенству входящих в них операторов, т.
е. У"У=Е, откуда следует, что Ув обратен У слева, и, поскольку для У существует ограниченный обратный оператор, мы имеем также С/Уа =Е, и (129) доказано. Утверждение о том, что У не меняет скалярного произведения, непосредственно следует из равенств (Ух, Уу)=(//*Ух, у)=(, у), (131) Наконец, покаже», что из (130) вьпекает, что У вЂ” унитарный оператор. В силу (130) У имеет ограниченный обратный оператор, определяемый формулой (129). Остается доказать, что У не меняет нормы. Это следует, в силу (130), из (13 1) при у =х. Отметим еще, что если У, и Уя — два унитарных оператора, то и их произведение У Уя есть также унитарн ы й о п е р а т о р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
