1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Это непосредственно следует из того, что если У, и У„преобразуют биодпозначно Н в Н и не меняют нормы, то такие аке свойства имеет, очевидно, и их произведение. Таким образом оператор, обратный унитарному, унитарен, и произведение унитарных операторов есть унитарный оператор, т. е. у н и т а р н ы е операгоры образуют группу. Пус'гь (132) — замкнутая ортогональная и нормированная система. Применяя к пей унитарное преобразование У, получим, в силу доказанных свойств У, ортогональную нор»ированную систему у,=Ухб у,=Ух.,; уз=Ух,; ...
(133) Лля любого вектора х имеем разложение по элементам системы х=а,х, +атхя — ', а,ха-)-... (134) и тем самым для преобразованного элемента Ух имеем разложение по элементам системы (133) с чеми же коэффициентами: Ух=а,у, + а,уя ,'— а,уа-1 (13о) 437 инитлиныв опвелтогы 1371 клемент Ух может быгь любым элементом из Л, и, следовательно, истеча (133) также замкнута. Наоборот, если имеются две замкнуые ортогональные, нормированные системы х, и уь(д = 1, 2, ), и чы определим оператор У для любого элемента х, имеющего предтавление (134), формулой (135), то такой оператор преобразует биоднозначно И в Н и не меняет нарны ( Ух,э=1х~1э= ~ )а !Я, ь=! т. е, ~акой оператор У унитарен.
Таким образом, в с як ни у и н та рный оператор может быть определен при помощи преобразования элементов одной замкнутой ортогональной нормированной системы в элементы другой такой же системы. Пусть А — неко горый линейный оператор и у =: Ах. Возьмем какой-либо унитарный оператор У и положим у'=Уу и х'=Ух. В силу у=Ах мы можем выразить у' через х' по формуле у'=(УАУ ') х', (136) и говорят, что оператор В = УАУ ' унитарно эквивалентен А. Из написанной формулы следует А = У 'ВУ, откуда видно, что если В унитарно эквивалентен А, то и А унитарно эквивалентен В. Если Р— проектор в подпрострапство Ат то УРУ ' есть, очевидно, проектор в надпространство, получаемое применением У к подпространству 7.р.
Если х„— собственный элемент А, соответствующий собственному значению Л„т. е. Ах„=Л,хы то, обозначая х,'= Ух„ имеем, очевидно,(УАУ ')х„'=Л х„', т. е. у ни та р но эк в и в а л ентные операторы имеют одинаковые собственные значения, а собственные элементы этих операторов связаны соответствующим унитарным преобразован и е и. Пользуясь (129), легко проверить, ччо е с л и А с а м о с опряженный оператор, то и В самосопряженный оператор, Теорема 2. Собственные значения унитарного оператора по модулю равны едпнгще, а собсгпвенные элементы, соответствующие Разлнчнылг собственнылг значения.м, взап.нно ортогональны.
Путь У вЂ” унитарный оператор и х, — его собственный элемент, соответствУющий собственноиУ згю ~ению )ы т. е. Уха= Лахы Принимая во внимание, гто У не меняет нормы, можем написать (хм х„) = (Ух,, Ух„) = (Л,х„, Л,х,) = / Л,," (х„, х,), т е. , 'х,~ =! Л,~ ~ х„~, откуда и следует, в силу /х, ~' О, что ,'Л,~=1. Пусть х„и х, — собственные элементы, соотг~егстнуюгпие различным соб ч венныч значенним ьа и Лн т. е. Уха — — Лахч и Ух, = Л1хи [138 438 ггиостиаиство гильанстл Принимая во иниманиеэ что У не меняет скалярного произведения, можем написа гь (х,, х,) = (Уха, Ух,) = (Л„хм )чх,) = Л,)ч (х„, х,). )Гх= у аьхь,.
+!' (137) Очевидно, что )с — липеннын оператор и [!)гх[' =),х„'= ~> !аа(а. а-! Из (137) следует, что )г преобразует Н биоднознзчно в подпространсгво элементов, ортогональных х!. 138. Абсолютная норма оператора. Введем тсисрь новое понятие о норис линейного оператора. Птль А — линсйнын оисратор, а кг, и уь (!! = 1, 2,...)— дае какие-либо замкнтгыс орюнчрмированныс в 77 системы. Составим следующую сумму неотрицательных слагаемых; Ъл м.л У (Акт уч) (уч, Акл) = Э ! (Ахт рч) !л. жч=! ж ч=! (138) Положительное зчачсние корня квалрагного нз этой сумма! обозначим Аг(А! хт уч).
Вча величина можс! равняпся и (+со). Покажем, чго она нс зависит от выбора ортонорчирпванныт систем хя и у,. Принимая во внимание, чго (Ах,„у ) суть коэфР1игиснты Фурье элемента Ахр опюсгпельно системы ус, можем йа!гнсать вместо (!38), в силу уравнения зачкйутосзи, №(А! к, у )= э !Ахи!А л=! (139) Если бы оказалось, что (х,, х,) л-' О, то из написанного равенства следовало бы, то ).,Л,=1. 11о, в силу доказанного выше, [),ч/=1 и, следовательно, Л, = 1: Л,= Л„, т. е.
)и =),а, что нелепо, ибо ).а и ), по условию, различны. Введем еше один класс опера!оров. Определение. Линейный оператор )г называется пзо.метрическим, если он не меняет нормы элементов, т. е. 11х/'=!!!х ' прсс х с Н. Как всякий линейный оператор 1' определен во всем Н, но не требуется, чтобы И преобразовало Н во все Н, и изометрическии оператор может и не быть унитарным, Дадим этому пример. Пусть, как и выше, хь (и=1, 2, ...) — заллкнутая ортонормированная в Н система, так что исакии элемепг х представим своим рядом Фурье (134). Определим )г формулон 439 АБСОЛЮТНЛЯ НОРМА ОПЕРЛТОРЛ 1ЗВ! другой стороны, принимая во внимание, что (Ах „ уд) = (х„ Авуч), получим №(А; хр, уд)=№(А*; у, хр)= у 1)А*ус,".
д=! Нз уравнения (139) следует, что №(А; хр, уд) не зависит от выбора системы уд, а из (140) следует, что эта величина не зависит от выбора си с«ямы х„, и, таким образом, вместо № (А; хр, у ) естественно писать ярос«о )«7«(А) Положительное число Лт(А) назовем а 6 с ол ю т н ой нормой о и ера тора А. Эта нор««а может равняпся (+со). Принил«ая во внимание (139) «Р! (!40) и независим!к гь т«т(А) от выбоРа системы хр и У, полУчим ««т(А) = Лт(Ав). (! 41) Далее формула № (А + В) = У !! Ахр + Вхр (,' р=! и неравенство (107) иэ (59! дают непосрелствеино ««т (А + В) ( «««(А) + ««т (В). (142) Пусть У вЂ” унитарный оператор. При э«ом В 'хр образуют замкнут)ю ортогональную нормированную систему и !! ()Ае !! = !! Ае:, Отсюда следует, в силу (139), 7«т(()А(7- ) = Л (А), (! 43) /!Ах!!()Лт(А) прн (,х,'(=1, откуда следует, что обычная норма оператора(его абсолютной нормы.
Теорема. Вели абсолютная нора«а оператора А конечна, «по А — вполне непрерывный опера«пор, и если, кроме того, А — са.««осопряженный оператор, то имеет место формула №(А)= У Ц, (144) л=! еде Ь« — собственные значения А (кратные входят негколько раз!. Пусть  — какое-либо ограниченное лщожество. Нам надо доказать, по если Ф(А) (+с!э, то множество Ах, тле х с (7, компактно. по условию существует такое положительное число Е, что )! х !(7, если х С К Ограниченность множества А непосрелственно следует из того, что ! Ах !'( и й Вводя какую- либо замкнутую ортонормированную систему ул (7« = 1, 2, ...), преобразуем О в гм н нам остается доказать, что при .«юбон заданном с ) 0 существует такое Пелое положительное число и„ что !(Ах, уа),' — се л я С (145) т.
е. унитарно эквивалентныс операторы имеют одну и ту же абсолютную норму. Положим, что 7«т(А) конечно и пусть х— какой-либо нормированный элемент. Мы можем принять его за первый элемент в ортогональной нормированной системе и при этом из формулы (139) получим № (А) = /! Ах /, т. е. (199 440 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬВЕРТА Мы имеем 1(Ах,у») -'= 7 1(х, А*у<<)1<(1< лт )Алу»,э. » л »=л г< = л Но, в силу дг(Л) (+оо, ряд (110) сходится и существует такое л, (ие зависящее от выбора х( В), что ~(АлУ» )э ~ )а, » л откупа следует (!45), и показано, что А — вполне непрерывный оператор. Если А — самосопряженный оператор, то выберем за у» замкнуту<о ортонормированную систему его собственных элементов, так что Ау» — — ),»уг, и ( Ау»1< = = ( Л*у»,' = 1.)<.
При этом, в силу (140), мы получаем формулу (144), и конечность вели <ины г<г(Л) равносильна сходимости ряда, стоящего в правой часги (144). Ыы покажем в лальнейшем, что если А — самосоприженный положительный оператор, т. е. (Лх, х) та 0 при х( Н, то существует линейный положительный оператор В такой, что В'= А. Обычно обозначают В= РА. Пользуясь этим оператором, мы введем понятие следа линейного положительного вполне непрерывного самосопряженного оператора. №(В) = 7 !' ,Вхр ' — ~ (Вхр, Вхр) = 7 (В'хр, хр)= У (Ахр, х„).
р=< р-< р < р < Отсюда л<ы видим, что для самосопряженного положительного оператора сумма ~) (Ахр, хр) р=< не зависит от выбора системы х . Эту суиму называют следом оператора А и обозначают символом Зр (А). Из предыдущих вычислений слелует, что Зр(А) = №()<'Л) = г (Ахр, .кр). р=< Если А имеет чисто точечный спектр и мы возьмем за хр замкнутую ортогональную нормированную систему собственных элементов А, то получим, в силУ Ахр — — 1<„хгл 139. Операции над подпростраиствами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
