1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Если А — самосопряженнып оператор, определеннып формулой (204), то любой функции у(Л), непрерывнои в промежутке [т, М], мы сопоставим оператор у(А), определяемый формулоп у" (А) = ~ у'(Л) огйм (212) Эго соответствие между непрерывными функциями у(Л) и операторами ДА) дистрибутивно, т. е. непрерывной функции с!у!(Л)+ + с,у; (Л) соответствует оператор с, г! (А) + са гя (А). Это непосредственно вьыекает из дистрибутивности и!пеграла (212) по отношению к функции У(Л), Кроме того, указанное соответствие и мультипликативно, а именно функции у! (Л) 1я (Л) соответствует оператор г! (А) Уа (А) или равнып ему оператор у',(А)у!(А).
Лля того чтобы показать это, составим произведение сумм ч, для функций гг(Л) и уя(Л): л л т у! (та) !Лфт аг уя (чь) бфю ь ! й-! и л л у! (чь) дфт . ~~ ~, (чь) !Лайт =,! у; (ча)~, (ча) Ьфм (213) ь=! й=! /г ! и, переходя к пределу, получим формулу (214) Принимая во внимание (182) и (184), мы можем представить написанное произведение в виде 48) няпгягывныв вэнкции саиосопяяжвнного опаглтогл 4о7 кото торую мы н хотели показать.
Нарялу с формулои (212) мы можем нап , писать соответствующие формулы для билинейного и квадрагнчного функционала: (7'(А) х, у) = 1 г (Л) Ы(б„х, у); (7"(А) х, х) = 1 г"(Л) аг!!В„х/,'. (215) м м Далее, аналогично формуле (211), имеем формулу т 5лр(А) =Р(А)ба — ~ У(Л) гам м (216) Принимая во внимание формулу (2! 4), получаем следующую формулу для целых положительных степеней А: А"= ~ Л"бР, (л = 1, 2, 3, ...) и лля полиномов: а,А" +а,А" '+...
+а„,А+а„= = ~ (аоЛ" + а,Л" ' +... + а„,Л + а„) агфм (2! 8) (у'(А) х, у)=(х, Р(А)у), т. е. оператор Г(А) буде~ сопряженным с Г"(А). Отметим еще некоторые свойства коммутирования. Из формулы (210) следуег, что оператор ф„при любом значении Л коммутнрует с А. Поэтому и оператор Ьф> — — ЛЭ вЂ” Л8„при любых значениях я и р коммутнрует с А. Тем самым сумма о, также коммутнрует с А, и, переходя к пределу, мы получим, что о п е р а т о р 7'(А) к о м м ут и р у е т с А. Докажем теперь следуюнгую теоречу: Теорема 1. Оператор г" (А) ко.и.иуглпруегл с любым оператором В, моммутпруюпсггм с А.
Как мы выше упоминали, если г"(Л) — весцестве>щая функция, го оператор о, есть самосопряакенный оператор, и предел для о„т. е, г"(А), есть также самосопряженный оператор. Если 7"(Л) )0 на промежутке !т, А(], то, в силу формулы (215), опера~ар у(А) положителен. Положим теперь, что г" (Л) есть комплексная функция У(Л)=ф(Л)+ф(Л)!. При этом мы имеем Г"(А)=ф(А)+(ф(А), где у(А), и ф(А) — самосопряженные операторы. Составляя оператор Р(А)=э(А) — (ф(А), мы можем, почьзуясь своцством самосопряженности операторов ф(А) н ф(А), написать 458 ]144 пеостялнство Гильзггтл Пусть е„ вЂ” последовательность положительных чисел, стремящихся к нулю. В силу теоремы Веиерштрасса (И; 154], существует такая последовательносгь полиномов Р„(Л), что ] У(Л) — Ра(Л) ](ал (т(л гИ), Составим разность м У'(А) Рп (А) = ~ (.~(Л) — Рл (Л)] аг$т (219) Принимая во внилгание формулы (203) и (219), мы можем написап ]]]Х(А) — Р„(А)]х' = а„']х], (220) откуда Р„(А) — у(А).
Оператор В, коммутирующий с А, коммутирует и с любым полиномом Р„(А), т. е. ВР„(А) = Р„(А) В. Переходя к пределу, мы получаем В!(А)=У(А)В, и теорема таким образом доказана. В дальнейшем мы покажем ]161], что и спектралы<ая функция ~„ при любом Л коммутирует с любым оператором В, коммутирующими~ с А.
Наоборот, если В коммутирует с фм го В коммутирует с любым оператором ЬРчх и тем самым он коммутирует с суммой (209) и в пределе с оператором А. Таким образом, имеет мес~о следующая теорема: Теорема 2. Для того чтобы оператор яомлгугпггроаал с А, необходимо и достаточно, чтобы ои при люболг Л коммутировал с 5„. Приведем один пример функции от оператора, которым мы пользовались вьпне [138].
Пусть А — положительныи оператор, т. е. т )О, и положим !'(Л)=)/) (Л)0), где берется арифметическое значение радикала, Мы можем определить положительныи оператор усА: м ф' А = ~ )г'л г(р или ( А х, у) = ~ фиг!(фьх, у). м В силу (214) мы имеем р' А ]' А = А. 144. Формула для резольвенты и характеристика регулярных значений Л. Пользуясь спектральной фушгциеи, мы можем дать формулу для резольиенгы ]130] и указать новую характеристику регулярных значении ),. В дальнеишем будем говоригь о резольвенге Кг лишь при регулярных значениях !.
4б9 Фогыулх для Ргзольяип'ы 144) Теорема 1. Если 2 — невещественное число плп веп!сственное, нт лежащее вне про.иежупгка (т, М(, пго резольвента гтгг операра А определив!лен фор.ггуггойг гсг= ~ Л гййл. Л (221) 1 При условиях теоремы функния . непрерыана и промежутке [т — а,, М( при достаточно малом а„. Пользуггсь формулои (214), мы можем написать л:г Фл ~ (Л вЂ” ~) йВл= ! М м м ггоб'г ' ~ Л вЂ” гФг= ~ Фл=Е, (222) но л! ~ (Л вЂ” К) йга,=А (Е не зависит, о геиидно, от значений ь(Л) на промежутке [а, 'р[.
Поль- зуясь формулоп (214), мы можем написать и ~~(Л)йВ, ~(л — ~)Ю,= гп ы .и м л! = ~ (Л вЂ” ~) Вл ~ ; (Л) аг, = ~' (Л вЂ” О ~ (Л) йВга и (222) непосредственно приводит к (221). Теорема 2. Если ( принадлежпяг промежутку (т, М], но находггтся пну!при некоторого промежутка [х, [![, в ко!пора.г! 'ол постоянна, т. е. ф =рч„, пго резольвента гсг сугцествует и выра- а жается фор.иулог1 (221). Разобьем [т — ая, М[ нз три части: (т — аа, и[, [х, Я и [В, М(. Па промежутках [т — ати а[ и [3, М[ фушсция 1:(Л вЂ” -1) непрерывна, а па промежутке [х, И рл постоянна, и для этого промежутка асе опеРагоРы гЛьгчл сУть опеРатоРы аннУлиРоааниЯ. ПРодолжим фУнкцию 1:(Л вЂ” 2) из крайних промегкуткоа и средний [а, р[ так, чгобы она оказалась непрерьпгнои ио всем промежутке [т — ея, М[.
Обозначим построенную таким образом функпию через гь(Л). Значение инте~риля м К,= ~ т(л)Ф, (223) й 460 [144 пеостелнстяо Гильвигта и, принимая во внимание, что р(Л) = 1:(Л вЂ” l) при Л :.а и Л );; и что фт постоянна на промежутке [я, р], получим м М ~ р(Л)(Л вЂ” г) дрь) = ~ (Р,-]- ~ дВ„=В„-]-(Я вЂ” В,) =Е, м 3И откуда и следует, что (223) дает резольвенту. Вместо ингеграла (223) мы можем, очевидно, взять интеграл (221), производя игпе.
грирование от т — аа до и и от р до М. Из доказанной теоремы следуе~, чго значение Л = У, принадлежащее [т, Л], регулярно, если его можно покрыть промежу~ком посгоянства фм В следующеи теореме мы покажем, что это условие не только достаточно для регулярности, но и необходимо. Теорема 3.
Если прп вещественном значения Л= 1 существует резольвента Яп то Е находагпся внутри некоторого промежуглка [а, р], в когпоролс ф, посгпоянно. Пусть [а, 3] — любои промежуток, содержащий ~ внутри себя, и Ьф =5 — Ф„. Согласно определению резольвенты, дф х= =й,(А — гЕ) Ьб,„х.
Но, в силу (216), можем написать (А — й) ЬВ„х= ] (Л вЂ” Е) Я~х, и, таким образом, Ьф„х=Я,~ ~ (Л вЂ” У)с(р х1 (а(1(~), Обозначим через Лг норму оператора й,: а ]]бВ„х1~Л ~! 1 (Л вЂ” К) дв,х]. (224) На промежутке [я, р] мы имеем ] Л вЂ” Е]([1 — а, и, в силу (203), неравенство (224) приводит к неравенству ; Ьф х,( М(р — а)] Ьф,,х']. (225) Выберем промежуток [а, р], содержащий Е внутри себя, настолько малым, чтобы имело место неравенство М(р — я) (1. При атом из неравенства (225) будет непосредственно следовать, что ]гЛВ ~ =О, т. е. ф =5,„, и промежуток [я, 3] оказывается промелгутком по- Р стоянства $,. Сопоставляя теоремы 2 и 3, приходим к следующему следствию: Следствие.
Для регулярности вещественного значении Л необходп.во л дослгагпочно, чтобы Л заключалось внутри негсолюрого промегкугпка поспгоянсгпва фм 146) совстяапиыв знлчвния и совствгншыз элгмвнты 461 Нз этого следствия непосредстг~епио вьнекает, что если некотор .Рое вещественное зн ~чение Л, регулярно, то все вещественные зиз ,ачения Л, к нему достаточно близкие, также регулярны, т. е. Регулярные значения Л образуют открытое множество на вещественной и, и, следовательно, приходим еще к следствию: точки спектра образУют замкнУтое множество.
Напишем формул> билинейного функционала для оператора Яр Я,х,у)= ~ — а(рщх, у). ! (226) В этом интеграле мы можем за промежуток ингегрирования взять промежучок ( — со, [-оо) [108[, и ((ч;х,у) есть функция ограниченная вариации от Л. Полагая Л=а+ст и применяя формулу обращения интеграла Коши — Стилтьеса [30[, мы получим следующее выражение спектральнон функции через резольвенту: 1 — 2-Нй х,У)+(бх. х УН= = 11гп; — —. ~ (()т', „— Й, „) х, у) ага.
(227) на Если >, — точка непрерывности 5т, то левая часть написанной формулы равна ($,х, у). В точках разрыва значение (р,„х, у) определяется по непрерывности справа. Отметим, что резольвента )с, определяется через сам опера~ар А, тем самым из формулы (227) следует, что у заданного самосопряженного оператора А имеется только одна спектральная функпия, через которую ои выражается формулой (204). Отл~етим еще, что в силу теоремы 1, из [143] операторы )сг при Различных У коммутируют.
145. Собственные значения и собственные элементы. Пользуясь спектральная функцие11, можно очень прас~о определить собственные значения и собственные элемегыы самосопряжешюго опеРатора. Теорема. Для гпого чтобы Л = Ль было собственны.и значением самосопрпженного оператора А со сггектральной функцией 5м необходимо и достаточно, чтобы Вч~ имело точкУ Ль точкой РаэРыва непрерывносппб т. е. $.„— В~,„.ь) О. 77рп зтоп В,,— 3ч, ь есть пооекпгор в подпроспгранство М„собственных злеменитов, соотвегпствуюгпгт собственнозгу значению >.ь. Пусть М, есть подпространство, соответствующее проектору 3~,— Вы ь Если >,, есть точка непрерывности р„„, то М, состоиг только из нулевого элемента. 7(оказагельство теоремы сводится к доказательствУ следУюпшх двУх УгвеРжденпп: если ха~ М„, го (А — > ьЕ) хь — — О, и обра ~ но, если (А — >ьЕ) х, = О, то хь (: Мм Йтак, 462 (145 пеостРлнство Гильзевта положим сначала, что хо~Ма, т. е. (Фл,— ба о)ха=хм При эголл тем более Вл,„ха= хо и, следовательно, долл., ахо= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
