1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 98
Текст из файла (страница 98)
149. Общий случай непрерывного спектра.Мы видели, что если элемент у прннздлежит подпространству С„, построенному в [147), то и Аус: С„, т. е. С, приводит А. Если оператор А не имеет точечного спектра, т. е. его спектральная функция ЙА непрерывна при всех значениях Л, и его непрерывный спектр не является простым, то, как мы покажем, пространство Н можно представить в виде ортогонзльной суммы подпространств типа С„. В каждом из этих подпространств индуцированный оператором А оператор будет иметь простой непрерывный спектр, и для элементов, принадлежащих такому подпространству, мы будем иметь формулы, выведенные в (!47]. Соответственные формулы для любых элементов из Н будут получаться при помощи разложения элемента по упомянутым выше подпространстезм, и, в силу (266), эти формулы будут получаться путем сложения соответствующих формул для отдельных подпространств.
Приведем упомянутое представление Н, в виде ортогональной суммы подпространств типа С„, считзя пространство Н сепарабельным. Возьмем какую-нибудь замкнутую ортогональную нормированную систему и1 им ид Положив у, = ин построим С, Элемент и, мы можем представить в виде п,=т,+У,, где о»~С„, и У, 1 ѻРЕсли УдфО, то строим Ст„.
Покажем, что С, ( С, По условию, при любом Л мы имеем (у„Й„у,)=0, ибо Й,у,~:С„,. Получим далее: (Й„у„ф„у,)= =(ум ЙРЙ»у1)=0. Отсюда следует, что любая линейная комбинация элементов Й„У, оРтогональна любой линейной комбинации Й„УП и в пределе любой элемент из С„„ ортогонален любому элементу из Слг »(злее берем элемент ла и представляем его в виде на=од+у„ 474 1149 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬВЗРТА (268) В каждом из подпространств С„мы будем иметь формулы, указан. ные в 1147), и таким образом для любых элементов у и з из Н можем написать м '~~ ~ л (У Вл УА) л (Вл УА.
») (269) яра (л) ) % 1 л(У, Вх УА) л(Вл УА, я) м л (270) (271) "ВТУА '(У = Л Л вЂ” агйтУА (272) Гл(у В„у) ВРУ =,У.,) Лр,, (Л) "Вл УА (273) А ою где рь(Л) ='й алуа'йа, и написанные суммы могут быть как конечными, так и бесконечными. В последнем случае для формул (272) и (273), содержаших элементы Н, сходимость ряда надо понимать как сходимость элементов Н.
Указанный выше прием построения подпространств С, можно записать в виде формул, которые мы сейчас укажем. Если о — любой элемент Н, то его проекдия в С определяется соответствуюшим слагаемым первой из формул (272), т. е. Г л(в ВТУА) лр„(л) и для Влоа получаем, принимая, как всегда, во внимание (180), л ВРА (Р) (274) где О,~С„ЯС»э н у, 1 С»1®С»м и строим С,. Как и выше, дока. зываем, что С„, 1 С», и С», 1 С», и т.
д. Таким образом, мы полу. чнм конечное или счетное число попарно ортогональных подпро. странств Счр и поскольку каждый элемент х из И разлагается по элементам ПА, которые образуют замкнутую систему, то тем самым ортогональная сумма подпространств С„ дает все Н: Н= С„~ С„(Т) С„(-Р)... случай смвш»нного спвктРА 476 1601 Из этого ззмечания непосредственно вытекают следующие формулы, вторые соответствуют указанному выше процессу построения подпространств С „: »-1» йлу»=6» пб Юлу»=6»и» 1 ] л ( и6 у» (276) С» Г Ф(и», $„у,) ла. (и) » 13Й При различном выборе исходной системы и» подпространства С„ получаются, вообще говоря, различными.
Может случиться, что и число этих подпространств окажется различным. Целесообразно с самого начала по возможности расширять эти подпространства. Можно покавзть, что возможно такое построение С„„, при котором выполнено следующее условие: всякое множество меры нуль по отношению р (Л) будет множеством меры нуль и по отношению к ррч ~(Л), рр+з(Л),... Это условие, в силу результатов из [74], равйосильно следующему: всякое р (Л) выражается через предыдущие р»(Л) формулой р„(Л)= ~ ~~»>(Л)6р,(Л) (л = 1, 2,..., р — 1), где интеграл надо понимать в смысле Лебега — Стилтьеса, и ф»>(Л)— я неотрицательные функции, измеримые по отношению р»(Л) и суммируемые. При соблюдении этого условия будем говорить, что разбиение спектральной функции нормзльно. Можно доказать, что в различных нормзльных разбиениях число подпространств одно и то же.
Мы еще вернемся к этому вопросу. 160. Случай смешанного спектра. Как мы уже упоминали, говорят, что самосопряженный оператор имеет смешанный спектр, если имеются собственные элементы оператора, но ортогональная нормированная система собственных элементов (276) ж„х», ж», не замкнута в Н. Пусть, как и выше, 7.» — подпространства собственных элементов, соответствующих собственному значению Л».
Как мы видели в [148], оператор имеет в инваризнтном подпространстве чисто точечный спектр с собственными значениями Л„ и подпространствами собственных элементов Е». Элементы (276) образуют при этом замкнутую систему в Н', состоящую из собственных элементов А. 476 [150 простР»нство гильвеРтл В дополнительном подпространстве Н" оперзтор А имеет лишь чисто непрерывный спектр. Принимая во внимание формулы из [!49[ и из [146[, получаем следующие общие формулы, в которых суммы происходят от точечного спектра в Н', и интегралы от непрерывного спектра в Н": ) — 'У д+ м (Ау «) ч» р» а д +чв» Л (У йлУ») (Й»Уь ) С 1 П(У, йлуй) у= Г»»йхй+ г, [ П (Л) йблуь р» Ау=~ )ййа»х»+ х 1 Л „' ) й6 у, ъ» е(у,ййу») др» (Л) й й т (277) (278) (279) (280) где а„ и Ь» — коэффициенты Фурье элементов у и « опюсительно системы (276) и р„ — собственные значения А, соответствующие собственным элементам х„.
Пользуясь указанным выше разбиением оператора на оператор с чисто точечным спектром в Н' и оператор с непрерывным спектром в Н", мы можем произвести классификацию точек спектра. Определение. Говорят, что Л, принадлежит точечному спектру, если Ль есть собственное значение А. Говорят, что точка Л, принадлежит предельному спектру, если Л, есть предельная точка для точечного спектра, т. е.
в любой ее ь-окрестности находятся собственные значения, отличные от Л,. Наконец, говорят, что Л, принадлежит непрерывному спектру, если Ль входит в спектр оператора А", индуцированного оператором А в Н", т. е. если в любом интервале, содержащем Л, внутри себя, спектральная функция $»' оператооа А непостоянна. Всякая точка спектра оператора А принадлежит по крайней мере одной из указанных трех категорий, но может случиться, например, что точка Ль принадлежит одновременно все»» трем категориям. Иногда вводят еще понятие точки сгущения спектра, а именно точка Лй называется точкой сгущения спектра, если она есть или собственное значение бесконечного ранга, или элемент предельного спектра, или элемент непрерывного спектра.
161. Дифференциальные решения. Рассматриваем оператор с чисто непрерывным спектром. Элементы йлх при любом выборе х удовлетворяют некоторому уравнению, аналогичному уравнению Ах= =Лх в случае точечного спектра. Пусть »Л[Л„ Лй[ — любой промежу- 477 181] ДИФФвррнцилльныи Рзшв!гия ток. Пользуясь свойствои (180), можем написать следующее уравнение, аналогичное уравнению (213): м л, 1 Лг(В дб = У Лага . т ! Введем элемент х(Л)=балх, непрерывно зависящий от параметра Л на промежутке [лг, М[ в том смысле, что [,' х(Л,) — х(Л) [~ -+ 0 при Л -ь Лр для любого Л, из [лг, М[.
Из предыдущего равенства мы видим, что х(Л) удовлетворяет уравнению А [Дх(Л)]= ~ Лвгх(Л). (281) При этом говорят, что х(Л) есть дифференциальное решение уравнения Ах=Лх. Векторыуа(Л)=йлур, построенные в [!49], являются, таким образом, дифференциальными решениями. При разных значениях л они находятся в ортогональных подпространствах С„„, и потому для любых интервалов Д, и Д, мы имеем (дл),(Л), д„у,(Л)) =О (282) (Р ~ 8). Если Д, и Д, не имеют общих внутренних точек, то, в силу (180), (д,у,(л), д,у,(л)) =о (283) (Д, и Д, — без общих внутренних точек). Если Д, и Д, имеют общую часть Дг м то, в силу (180), (ду, (Л), дар, (Л)) = [[ д ь,у, (Л)[[а, Введем понятие полной системы дифференциальных реш е н и й.
Какая-либо система ур (Л) дифференциальных решений, ортогональная в смысле (282), называется полной, если элемент х, ортогональный ко всем ур(Л), т. е. удовлетворяющий при любом р и любом Л условию (28б) (ур (Л), х) = О, есть нулевой элемент. Нетрудно показать, что построенные выше решения ур(Л)=авгур обладают полнотой. Лействительно, из (28б) заключаем, что элемент х ортогонален к тому подпространству С Ур' которое является замкнутой линейной оболочкой ур(Л) =ялур, и это имеет место при любом 7г. Но ортогональная сумма С есть все О, рр и, таким обрззом, элемент х, ортогональный ко всему О, есть, действительно, нулевой элемент.
При построении решений уравнения (281) мы исходили от спектральной функции )Лл. Будем теперь исходить из самого уравнения, Пусть каким-нибудь образом нам удалось построить решение х(Л) 478 [1Б! пеостеанство Гильввета м '[ Лс(гвл ~ Л с(Вл=~4л т в и отсюда для х(Л) получаем уравнение А ~ ~ 1 дх(Л)~=7л.е(Л) Ь или [ -л Ы [Ах (Л) [ = Ьх (Л) (281,) Перелодилэ теперь к доказательству утверждения, которое мы сделали выше. Теорема. Всякое решение уравнения (281), непрерывное в проэселсутке [т, М[ и равное нулевону элементу при Л = т, инеет вид х(Л) = $лх(М).
При условии х(п0= 0 уравнение (281) дает Л И ох(И) = Ах (Л), уравнения (281). В этом уравнении х (),) входит только под знакамп разности и дифференциала, и, вычитая из х (Л) какой-либо элеменг, не зависящий от Л, мы получаем также решение уравнения. В частности, решением будет разность х(Л) — х(т), и можем, таким образом, всегда очи~ать, что х(пг)=0. В дальнейшем покажем, чго любое решение уравнения (281), непрерывно зависящее от Л в промежутке [пй М[ и удовлетворяющее условию х(гл)=0, обязательно имеет иид х(Л)=ф,х. Положим, что нам удалось каким-нибудь образом построить конечное или бесконечное число решений у (Л) уравнения (281), попарно ортогональных в смысле (282). Важдое из них, согласно сказанному выше, имеет вид ур(Л) =артур, где ур — некоторый элемент Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
