1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Замкнутая линейная оболочка каждого ур(Л) есть некоторое подпространство С , причем, в силу (282), эти подпролр странства С, попарно ортогональны. Полнота решений у (Л) сводится уп к тому, что ортогональная сумма С, есть все Н. Если эта полно~а Р имеется, то мы молсем написать формулы из [149], заменяя в них $>у„на у„(Л). Таким образом, при построении этих формул мы можем исходить из какой угодно ортогональной полной системы непрерывных дифференциальных решений.
Полнота построенной каким-либо образом системы попарно ортогональных решений может быть проверена формулой (271) для билинейного функционала или формулой (273), если известна спектральная функция 5 . Отметим еше, что для х(Л)=$„х можно построить уравнения, отличные от (281). Полагая, что промежуток Ь не содержит Л=О, напишем, в силу (180), уравнение 479 1Б11 ди'Рвепвнпиальиый Ришвния причем злссь и в лальнейшем и является переменной интегрирования. Фиксируя КаКИМ-ЛнбО ОбраЗОЛГ Лаа ЧИСЛа р, ( На, ПОЛУЧИМ р. с)(х(Н), х(ит) — х (и,)) =(Ах(Л), х(й,) — х(рч)).
Пользуясь самосопряженностью А и уравнением (281), можем написать (Ах(Л), х(йа) — х(Н,))=(х(Л), Ах(пт) — Ах(йг))= ~ Нт)(х(Л), х(,'.)), и, слеловательно, приходим к равенству нт игу(х(й), х(нт) — х(Н,)) = ~ рт)(х(Л), х(Н)). н! Интеграл, стоящий справа, интегрируем цо частям и к полученному интегралу применяем теорему о среднем а ту (.с (н), х (н а) — х (н,)) = = На (Х (Л), Х(рт)) — рг (Х (Л), Х(рг)) — (Ит — рг) (Х(Л), Х(ив)) (и, принадлежит (йп Иа(), или рг( (х (и), х (и,) — х (рч)) = =(Иэ — р,)(Х(Л), Х (ит)) +рг (Х(Л), Х(рт) — Х (йт)) — (и, — йг)(Х(Л), Х (и„)). и эту формулу лгы можем переписать в виде Л (И вЂ” й,)й- ' =(х(Л), х(нт) — х(Н,)). (х (н), х (р,) — — х (н1)) рт — н Вводя непрерывные функции н(и) ( (~ )' (' т) (~ ')), У'(Л) =(х(Л), х(и„) —.к(н )), (286) ра — йт перепишем это уравнение ( — н )У (и) =У(л), причем лгы счгпаем Л <и, (нэ и, очевилно, н(ж) =О.
Последнее уравнение легко решить относительно ы (р). Для этого достаточно к левой части применить 480 [152 пгостнлнсгво гнльвзгтл интегрирование по частям н ш ложить ~ (Л) =У(Л); (Л. — Ш) + ц (Л), глг и (Л) — новая искомая функции, рзвнзя нулю црн Л = ш; Л (л)= У( ) -~ 1 =Л вЂ” „,,) („— ш)ч ш или, вспоминая обознзчения (286), (х(л), х(лы) — х(ш)) (х(л), х(гы) — х(ш)), 1' (х(й), х(р,) — х(р,,)) — л — ш -1) (, „,). Если Ш вЂ” ни то Ш вЂ” нт.и первое слагаемое спрзвз стремится к нулю. Тч же можно утверждать и об интеграле, нбо ] (х (и), х (гы) — х 1ш) ] ~: (С Кт(й,) — л.(ЛЫ),, где С вЂ” наибольшее значение ] х(й)) в промежуткь [и, М). Мы рассмотрели тот случзй, когдз кч — и, ог меньших знзченнй. Совершенно тзк же мы мотли бы рассмотреть и случай Л С Нл ( Ш и Ш вЂ” И,, Из последней формулы таким образом следует и — — (х(Л), х(й))=0 нри й)Л, Фй и, следовлгельно, 182.
Операция умножения на независимую переменную. Вернемся к результзгзм из [147] и рассмотрим функциональное прострзнство Цю функции у'(Л) с интегрируемым квадратом по отношению к функции р(Л), определенной формулой (245). Класс 1.1"1 есть класс функций у(Л), определенных нв промежутке [ш, М], измеримых по отношению к р(Л) и таких, что '] ]у'(Л) ]'с(р (Л) (+ оо. т (287) Пространство Ц"1 является осуществлением пространства Н. В этом пространстве оператор умножения нз независимую переменную А, [у(л)] = лу(л) (288) является, очевидно, ограниченным сзмосопряженным оператором, ибо ]]лу(л) ]~ [у(л)][, где л — наибольшее нз чисел ] ш] и ] М1, и, в силу вещественности ),, (ЛУ(Л),:(Л))=(У(Л), >, (Л)) = ~ ЛУ(Л).
(Л) г(р(Л). и (х (Л), х (и)) =(х(Л), х(Л)) = [ х(Л)18 при и ) Л. Применяя чту формулу при И=М к решению у(Л)=х(Л) — $лх(М) уравнен ьн (281), которое обращается в нуль при Л =аь и Л = М, получим [у(Л)/,'=О, т. е. х(Л) = йлх(М), и теорема доказана. 182] опаглция хмножвния нт нвзависимюо пвявчвннгю 481 установим теперь связь между пространством С„и функциональ„ым пространством 1.]'Л В силу существования интеграла Хеллингера (249) любому элементу у из С„соогветствует такая функция у(Л) из Ы-", что [82] г г р~ (л) — (у Вт«) — ] у ф) пр (9). (289) При этом различным элементам у и «из С„соответствуют и различные элементы у(Л) н «(Л) из Ц"'. Л(ействительно, если бы элементам у и «соответствовали эквивалентные функции у(Л) и «(Л), то, в силу (289), мы имели бы (у — «, Ргж)=0 при любом Л.
Тем самым разность у — «была бы ортогональной ко всем линейным комбинациям Ртх, и, переходя к пределу, мы видим, что разность у †« должна была бы быгь ортогональной ко всему надпространству С . Но у — «г- С„ и мы получили бы (у — «, у — «) =,']у — «]» = О, т. е. у = «. 11аоборог, для двух неэквивалентных функций из Цм интеграл, входящий в формулу (289), не может при всех значениях Л иметь одно и то же значение [62].
Таким образом, формула (289) устанавливает биоднозначное соответствие между элементами у из С„ и элементами некоторого линеала М из т'.1ю. )(окажем, что М совпадает с Ц*Л Сначала покажем, что М вЂ” замкнутый линеал. Формулу (256) мы можем переписать, пользуясь интегралами Лебега— Стилтьеса в виде [82] (у, «) = ] у(Л) «(Л)~Кр(Л), (290) где «(Л) — элемент Ц"1, соответствуюгций элементу «из С, т. е. (», Йг«) — ] «(1л) г(Р (Р).
(291) Пусть уоо(Л) — последовательность элементов из М и у1ю — соответствующие элементы из С„. Полагая в формуле (290) у=«= =у1ю — у1"", получим ]'у1ю — у1 1]Я=~ Уу11(Л) у1 (Л)]Я (р(Л), (292) Если уы~(Л) стремятся в среднем к некоторому элементу у„(Л) из П,", то при и и лг-ь -[-со пзавая часть (292) стремится к нулю, а потому последовательность элементов уии сходится в себе, и существУет такой элемент и, что Ую=)сс, пРичем се~Си, так как С„ есть подпространство.
Пусгь а(Л) — элемент М, соответствующий элементу и согласно формуле (289). Покажем, что элемент сс(Л) экви- 482 [!52 пвостганство гильвввтд валентен у„(Л), Огсюда будет следовагь, что у„(Л)~~И, т. е. ч~о М вЂ” замкнутый линеал. Из формулы (290) при у = а= и — у" следует формула м ! и — уои ~!ч = ~ ! и (Л) — у!ю (Л) ~ч с(о (Л), й из которой видно, что у'"'(Л) стремятся в среднем к и(Л), а потому функция и (Л) эквивалентна у„(Л), ибо предел в среднем единственен.
Покажем теперь, что замкнутый линеал М совпадает с Ц"'. Если бы это было не так, то существовал бы элемент У„(Л) из Ц"Л не эквивалентный нулевому элементу и ортогональный ко всем элементам из М. Для элемента у= $,х формула (289), в силу 5„$т = Р,, при ч ( Л и ф„1„ = $, при ч ) Л, принимает вмд (5„х, 9„х) =(х, Р„ратх) =,) 5„$,х )Я= ~ с(р(Л) м (Ь„х, Й,х) ~ (р()) при ))ч, при Л(ч, т. е. функция У(Л) из М, соответствующая 5„х, эквивалентна функции, определяемой формулой у"(Л)=! при Л(ч и У(Л)=0 при Л)ч. Значение У(Л) при Л=ч не суцгественно ввиду непрерывности р (Л), Ортогональность уч (Л) к только что определенной функции дает нам при любом ч: ~ У„(Л) (р (Л) = 0, а отсюда, как известно (621, следует, что гч (Л) эквивалентна нулю относительно р(Л), и, таким образом, надпространство М должно совпадать с П Л Предыдущие рассуждения приводяг нас к следующей теореме: Теорелва 1.
Формула (289) устанавливает бподнозначное соответствие между элементами у из С„и элелсентами у().) из Цю. В силу формулы (290) при этом соответствии сохраняется величина скалярного произведения, а следовательно, и нормы соответствующих элементов одинаковы. Кроме того, соответствие, очевидно, дистрибутивно в силу дистрибутивности скалярного произведения (у, 5>х) относительно у и дистрибутнвности шпеграла, входящего в формулу (289). Таким образом, при указанном соответствии функциональное прост раис а во Цо являе гся (831 тнитлгнля зквивллснтность слл>осопгя>кянных опвглтояов 483 м л (Ау б>х)= ~ йс(лВлу Влх)= ~ Ф„(у б х)= и> й> л = ~ ра>„~ ~ у(ч)Ф(ч)~= ~ ! у(й)гйр(!л), >, е. (Ау гялх)= ~ ру(р) г!р(!л), откуда и следует, путем сравнения с формулой (289), что замене у на Ау соответствует умножение у(р) иа р.
Отметим еще, что общая формула (259) для билинейного функционала (Ау, е), где у и «т-С„, может быть написана, в силу (290) и доказанной теоремы, при помощи интеграла Лебега — Стилтьеса так: (Ау, а)= ~ Лу(Л) а(Л)>!р(Л). (293) !53. Унитарная эквивалентность самосопряженных операторов. Пусть $л — разложение единицы для самосопряженного оператора А, У вЂ” некоторый унитарный оператор и В=УАУ '. Оператор 5> = У5> У ', как нетрудно видеть, также является разложением единицы.
Пусть В' — соответствующий самосопряженный оператор, так что В'х определяется как предел суммы: и л .,й, (УР.,У-!) х = У( ~л .,Ы,)У-'х, л-. ! л-.! откуда видно, что В' совпадает с В, т. е. Д = Уел У ' есть спектральная функция оператора В. Отсюда следует, что унитарно эквивалентные самосопряженные операторы должны иметь одинаковый спектр. В случае чисто точечного спектра совпадение собственных значений вместе с их рангом является не только необходимым, но и осуществлением гильбертова прас ! ра истаа С„. В этом пространстве определен оператор А, для которого 5> является спектральной функцией. Локажем следую>цую >еорему: Теорема 2. За.иене у на Ау в С„соответствует у нноженпе у(1л) на !л в Л>„">, >и.
е. оператору А в С соответствует оператор у,иноженпп на незавпсп.иую переменную (288) в Ц">. Пользуясь формулами (206) и (289) и свойством интеграла Лебега — Стилтьеса из (78), можем написать, считая, чго ут--С,: 484 [154 пгостглнство Гильввгта которые мы строили в [149], то множество меры нуль по отношению р'„о(Л) должно быть множестволг меры нуль по отношению рь" (Л) и, наоборот, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
