1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Гели»с>линоя Р(г) положителен в пчо.чежр>яке (О, 1), шо дл» все.г досй>ишочно оольшик .тианский р яы можем »рсдс>нови>пь его в виде 498 ((ЕО псостеьиспюо гююльвя юь получим такое жс разложение и лля ик произвслсния, причем степень р бу,ююю равна сумме степеней отдельных сомюгожителей.
г — а 3 а м е ч а н и е. Прп почюяии замены псрсчспных г, = — мы можсч Ь вЂ” и свести любой конечный промежуток а = Г ( Ь к промежутку О:= Е, ( 1, и длн полиномов, иоложительнык в промежутке (а, Ь), получаем, вместо фор. мулы (3201, слслтющую: Р(ю) = ~ с, П вЂ” и)г(Ь вЂ” ю)ю' '..
(32 'ю .:о Лемма 4. 1 ели т п Л( — границы симосопрнлканногюю оператори,1, лю. е, квадрилтчного функюгююона.ююю (А.г, л) прп,х ,'= 1, и Р(Ю) — неоиюрпцанюельный в юю)юоююезкуюююке (юп, М) полинам, то Р(А) — положтпельнып опералшр, т. е. (Р(А) х, х) ==.О. (323) Достаточно доказать лемму в том случае, котла Р(ю) ) О в пролюежугкс (юп, М). Действительно, положим, что в этом случае лемма доказана и чт 9(г) =-О в промежутке (юп, М(. Полагаи РЯ=(2(г)+ ь, где ю ) О, булсч иметь РП) ) О в промежутке (юп, М) и, слелова тельно, по прелыдуюпсму: ((ю',) (ю() + ю) .с, х) = (() (А) л, х) + ю (х, х) О. 1!срсходн к пределу прq ю — О, тюлучнч неравенство (323) и для () (А) Переходим к доказательству леммы лля полояюительного Р(г). В силу (322) при и = т и Ь = Л( лостагочно доказать ио.юожитсльность оператора (А — тЕ)'(юИŠ— с1)Я ", (324 Ю причем число р мы возьмем нечепюыч (сумма положительных оиерагоров положительна).
Положим, напричер, что л = 2/ — четно, и представим оператор (324) в вилс А(.4, л- зу — ю юле А, =(юИГ -.1); 1ь =(.1 — юююГт)1(МГю — А) причем Аь коммутируст с А„ и А, есть положительный оператор, ибо (А,х, х) = М вЂ” (Ах, х) †.- О при ,л', = 1. В силу леммы 2 мы можем утвержююагь положительность оператора (324). При нсчстноы з надо взню ь А, = (А — тГ). Следствие 1. !.'слп в пРомежУтке Ю,т, М( полино.иы Р,(Г) п Рл(ГЮ удовлеаюворяянп неравенству Рь (ю) =» Р, (г), аю.
е. Р„(г) — Р, (г) ) О, то Рю(А) ) Р, (А). В частности, если ю Р(1) / и.. ю, т. с. — ю ( Р(Г) =. ь, то — сЕ ~ Р(А) ( ьЕ, т. с. — ю — (Р(А) х, х) = ю ирн,, х '= 1, п,следовательно, норма Р(А) не больше ю (126). Следсгпвие 2. Из предыдущего следпивпя выюпекает, тпо сгли последовательность нолиномоа Р„(ю) пююрелюптся ривномерно в пролюежуюнке (юп, М) к полино,иу РЯ, то Р„(А) — Р(А), и даже нор.ин разносюпи Р(А) — Р„(А) ппремится к нулю. 160.
Степенной ряд от оператора. Папомиии еще лемму, доказаннтю в (131), результат которой сводится к след) ющсчу; если ююормы последовательности операторов А„(п = 1, '2, 3, ...) не превышают положительных чисел тт которые образуют сходящийся рял, то ряд А= ч Ан н ю 499 стппинной няд от опш хтонл 169[ скодитси, и норма оператора А не орсвышаег суммы чисел 3„. В частности если имеется сто~>ейной ряд а„г", л=о который абсолютно сходится в промежутке ! г ! >т, и норма оператора А не превышает д, то сходится ряд У а„А". Для дальнейшего нам понадобится следую>цая формула биноиа Ньютона: рг1+х= ~ 2 г", а=о л (325) тле с 2 2 2(2 >(2 ) '''(2 + ) и! (327) и ряд (325) скоди>ся абсолютно и равномерно при 1>! =1 [1! 146.[, Зал>еняя в формуле (291) 1 на га — 1, получим слева абсолютное значение квадратного корни из Г', т.
е. абсолютное значение / С[, н будем иметь для него следующее разложение в абсолютно скодвщийся рнд в промежутке [с)(1: у!) 2 (Ст !)ч л О (328) Именно это разложение мы и применим к самосопрчжеиному оператору. Пусть А — самосопряженный оператор с норл>ой шд. Составим самосопряжен- ! ный оператор С = —; Аа — Е. >Иы имеем л>'л 1 „, 1 (Сх, х) = —.(Аах, х> — ~хР = —,[Ах[" — !'х(а, ш тл л>~д откуда видно, что — 1'==: (Сх, х)(0 при,[х , '=1, а норма С не превышае~ единицы.
Мы имеем возможность составить ряд л =- „д' [т>г = т '(т[( ~' е[ (329) Формула (325) дает арифметическое значение радикала и остается справедливой при Г= ч. 1 [1; 138[. Коэффициенты разложения (326) положительны при нечетном и отрицательны при четном и ) О. Поэтому, полагая в формуле (32о) > = — 1, пол)чим все члены, кроме первого, отрицательными, откуда следует [161 500 >!Ростилнство Гидьвинтз Если Яи(Г) — ОтрезоК РяДа (323), то Зо(Г)-- Го равнол>ерно в промежутке 1 Л ! [ — 1, + 11, и, следовательно, 3;-; ~ — А~ — — „Л', и в пределе сачосонря>кен"> л>д ) ги"д ный оператор В, онрсделисмый формулой (329), удовлетворяет усаовию В" = Л-', Далее, если оператор В коимутнрует с А, то он коммутирусг с огрезкоч рида (329) и, следовательно, в пределе коммутируст с В.
Из зтого следует, в частности, что А коммутирует с В, т, е, АВ = ВА. Покажем еще, что  — положительный оператор. Принимая во анно!ание, по норма С не болщне единицы, получим [(С"х,л.) ( Нг>о н, написав выражение (329) в виде В=т,Е+) 2 С., придем к неравенству (Вх, .г) - т,! (х, л) — у 2 ' [(С"х, х) ! и тд ! — т 2 [х[г, откупа, в силу (327), и следует, что (Вх, х) = О. Таким образом, окончательно получаем следующие свойства: В есть самосопрнженный, положительный оператор, коммутирующий с А и удовлетворяющий равенству В' = Л'! всякий оператор, коммутирующий с А, коммутирует и с В. В следующем параграфе мы, пользуясь оператором В и леимой 1, построим спектральную функцию йл оператора А и докажем основную фор. мулу (204) из [142[.
161. Спектральная функция. Теорема. Всяколгу силгогоиряжгнному оиеригиору А соотасгястлуся! ироектор й, го гледующи.чи глойстаилгиг 1) если оиеритор Е> ко,имутируея! с А, то он коммутирует и с й„; 2) если Аа = О, то йол = г; 3) симосонряженные операторы Ай, и А (Š— й,) удолдеи>воряюгя условиям Айо (0: А (Š— йо) ~ О. (330) Принимаем за й, проектор Р, входящий в лемму !. Если () коммутнрует с А, то он коммутнрует н с В, а потому и с (А + В), и первые два утверждения теоремы вытекают из леммы !. Далее из формулы А =(Š— 2й„) В и того, но й, коимутирует с А и В и й[= й„следует, что АЕо = — Вйо! А (Š— йо) = В(Š— йо) Но произведение положительного оператора В на проекторы йо и (Š— йо), с которымн он коичутирус>, суть положительные операторы, н нз последних формул неиосрелсгвснно следу>от неравенства (330), н теорема доказана.
Пусть ) — любое вещественное чисто. Мы оюжем построюь для сачосоорнженного оператора (Л вЂ” ЛЕ) проектор, о котором говорится в доказанной теореме. Обозначим его через йл. Он обладает следук>щнми свойствами: !) если некоторый оператор () кочмутируе! с (А — ЛЕ) изи, что то ягс, с Л, то он кочл>угируе! с йл. '21 'слн(Л вЂ” ЛЕ): =-О, то й г = л, 3) имеют место неравенства (А — 1Е)йл - 0; (Л вЂ” 1Е)(Е йл) -- 0 (ЗГИ) ($(1 501 спиктпальиля Функция Отметим сшс, что фт нри любом Л коммутирует с (А — ЛЕ), т, е. с А. Покажелй что $; прелставзнет собой разложение единицы.
Всякое $л коммутнрует с А, а потому, в силу сказанного выше, и с любым $т . Пусть Л ( ю. докажем при этом, что $> = О. Если бы это было не так, то мы имели бы такой элел1ент х с порыой единица, что $„х = х, и, следовательно, ( (А — ЛЕ) фтх, х) = ((А — ЛЕ) х, х) = (Ах, х) — Л ) О, ибо Л ( ш, а это противоречит первому из неравенств (33!).
Итак, $л = О при Л (ш. Совершенно так же, пользуясь вторым из неравенств (33!), мы докажем, что $т — — Е при Л) И. Остается доказать, что $л($ при Л(р, т. е. что $ $ =$т при Л(н илн, что то же, надо доказать формулу $ (Š— $)=О. (332) Обозначим левую часть написанного равенства через Д: $,(Š— $,) =(Š— $ч) $,=)2. (ЗЗЗ) Нам надо доказать, что для любого элемента х мы ичеем Рх =О. Обозначим )тх =у.
Из формулы (333) непосредственно следует $Я = $! (Š— $„) = $л (Š— $, ) = Ы и аналогично (Š— $„) )т = гт. (334) В силу (ЗЗ!) имеем ((А — ЛЕ) $ту,у)(0; ((А — нЕ)(Š— $„)у,у)) О. С другой стороны, в силу (334), (33'т) (33!э) ь=$„— $ (н)л)' мы можем написать для любого элемента х: ((А — ИЕ) $„Ьх, Ьх) (О; ((А — ЛЕ)(Š— $т) Ьх, Ьх) ) О.
Принимая во внимание очевидные равенства Ь' = Ь; $„Ь = (Š— $т) Ь = Ь, можем переписать эти неравенства так: ((А — НЕ) Ьх, х) (О; ((А — ЛЕ) Ьх, х) ) 0 мли Л(дх, х)((А Ьх, х) ~Н(дх, х), Взяв любое число ч, удонлетворяющее условию Л ~ ч ~ р, получим отсюда (( (А — тЕ) Ь.г, х) ! ( (р — Л) (Ьх, х) нли, прииил~ая во внимание, жо (Ьх,.к)=')Ьх(а()!х)!т, имеем )((А — чЕ) Ьх, х) ! ч (и — Л)(х )<э, $ту=$Ях=Ах=у; (Š— $ )у=(Š— $„)Рх=Рх=у, и первое из неравенств (333) переписывается в виде ((А — ЛЕ)у,у)(0, и, совершенно аналогично, второе переписывается в виде ((А — НЕ) у, у) ) О, Вычитая последнее неравенство из предыдущего, получим ((р — Л)у, у) ( О, т. Е. (И вЂ” Л) /)у !!' ( О, ОтКуда, В СИЛУ Л (р, И СЛЕдуЕт, ЧтО у =О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
