1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Отметим еще одно необходимое условие, которому должны удовлетворягь элел1енгы матрицы ограниченного преобразования. Из формулы (4) следуец что а,„суть составляющие элене|Рта Аоь. ь"!патону должен сходиться ряд, составленный нз квадрагов модулей элементов любого столбца; Х )о„)'(+ (й= 1, 2,...). (20) Переходя к А*, видилц что то же должно иметь место и по отношению к строкаи )аь )д(+ со и=! (й = 1, 2,...). (2! ) ~аьи)((1 (22) и=! (и=1„2,...) ! а„) =-.- У (гп = 1, 2,,), (23) то матрица а дает ограниченное преобразование.
Достаточно показать, что при ',х)-:-. 1 и /у~~ =1 суима Я=Х Х)а.„.! Г),) (24) ог рапичена. При этом условие (13) и подавно будет выполнено. Отметим одно простое достаточное условие огрзниченности преобразования, соответствующего иатрице а„ . Теорема 2. Если суиьеспьвуегп такое положительное число ( (не зависяидее от т сс и), что выполняются неравеньтпва 1641 3ииглвиь!я аг!тяиц!я и ил!Рицы пвозктияопл|шя 609 11рипимая во внимание, что ( аЬ ( ( —;(! а 1'+ ( Ь !'), можем иаписзтч — г 2 з~, а~, ~ "м (''м' +~ 1" ~) ч=! и--.! т=!1 ч =- ! м —. ! или, в силу (22) и (23), и=! ~!О,о,о,...' 1, О, О, ...
~ А ' О, 1, О, !0,0,1,...'! аь 1, О, О, О, ... ' ам О, 1, О, О, ... !  — !а„0,0,1,0,..." ,"аи0,0,0,1,...~ где аь — последовательность !яких ве!пествеиных чисел, что ряд с общим членом ~аа) сходится. На основании теоремы 2 легко проверить, что матрицам А и В соогнетствуют линейные преобразования. Лалее легко проверить иа основании формулы (9), что ВА = Е при люоом выборе аа (собщодено указанное вьпие условие). Таким образом, линейный опера!ар А имеет бесчисленное мпоакество обратных ограниченных операторов слева и, тем самым, пи одного ограниченного обрагного справа. Если перейдем к сопрягкенным матрицам, т. е., в силу вещестнещюсти а„„ просто к гранспопироваипым матрицам А' и В', го получим АЪ' = Е.
Уравнение Ах =у имеет вид 1! = тй ч,= ч),,;... и при любом !' с Р! оно имеет единственное решение в Р,. Уравнение А'х =у имеет вид 1,= ти; !! = т)!; ..., и оио ииеег бесчисленное множество решений вниду произвольности !и Это связано с тем, что А' не имеет огращиченного обратного оператора слева. 164. Унитвриые матрицы и матрицы проектирования. Напомним основное свойство унитзриого преобрззовзпия И и и=ииа=Е. и теорема доказана.
В случае самосопряжеипой матрицы условия (23) следуют из (22). Отметим, что ие для всякой ограниченной ма~рицы ряд (24) будет сходящимся. В качестве примера рассмогрим следуюнше две бесконечные матрицы: 510 (16д пространство гильгяртл Если и — элементы матрицы, сооп|етствующей унитарному опе. рд ратору (l, то эги условия запишу|ся и виде с~~ прд адд = 8рд, '~г ~прдпдд — Врд, (26) где л =0 при у.-~о и дрр — !. Принимая по внимание, что п,„д.= =и„, можем написать последние равенства и ниде пдрпдд — 0 5 ! (26) ~ пр,п,.=дрю д | (27) ~ (и д'д=!, д=| и, следователыю, для любого элемента к сходятся ряды 159] (л'=Х пчА.
й=| (28) Составим выражение д! л )д и д д д л 'гл ~~ прд(д! = ~ ~ ~ п,ддд„!;',1, = ~ ~, ! ~ п,„пр, | дда, р=! д=! ~ Р=-| 5=| |=| д | |=-|,р=| Беспредельно увеличивая гн, получаем, и силу условия (26), т. е. получается ортогональность матрицы п по столбцам и строкам. 0 |ме|им, чго в слу ше конечных магрйц условия (27) суть следствия (26) ]Ш) 28]. В случае бесконечных магриц эти условия независимы. Теорема 3.
Для того чп|обы комплексные числа прд образовывалп .|сап!)пдцу, соответствую|кую унптауному гдуеобразованпю. необходп.дсы и достаточны условия (26) п (27). Необходимость условий (26) и (27) вытекает из приведенных выше рассуждений. Остается доказать их достаточность, т. е. нам надо доказать, что при наличии этих условии ма|рице пр соответствует линейное (ограниченное) преобразование. После этого унигарность этого преобразования следуе~ из того, что условия (26) и (27) равносильны (25), а эти последние харак|ерны для унитарного преобразояания [137]. Условие (27) показывает.
что 512 ~ 165! ш остилпсгво гильгш гл и мы примем фд за ор!и, то оператору А будет соотвегсгвова!ь матрица с элемен!ами (Ах, у)= ~'Л,(,ч),.; (Ах, х)= ~~ ),, я,!Я д=. ! г=! (33) В общем случае для самосопряжеиной матрицы аг„сущесгвуе! лакее разложение единицы В>, т. е. неубывающая матрицз проектирования Угд(Л), что (0 при 1~юг, 7гд(а)=0; 7гд(Ь)= ~ 1 при 1=)г, (1, 7г = 1, 2,...); (34) и имеют л!есто формулы л л СО хг= Х аг,!,=(Ах,:Р!)= 1 Л((в~х, я!)= 1 Л((Х Ег,(Л) 1,), г ! а г=! я ь аы — — ~ ЛЫ„(Л) ь т.
е. (35) (36) При этом мы, в силу свойств разложения единицы, имеем ~Уг,(Л!)7,д(Л„)= ~;Ег,(Л,) 7,д(Л!)=!гд()ч) при Л, (Л„(37) г- ! и вообще ~,б 7ы(Л) бл7. ()) =!Лг!Л/и(Л) ь ! (38) ( 0 при )!э- г7 ~ Л при )л = г), т. е. мы получим шп о диагональную матрицу с числами Л„ па ! лач. иод диагонали. Вооб!це для того, чтобы самосопряжепиая матриц,> имела чисто точечиыи спектр, необходимо и достаточио, чтобы оиа была унитарно эквивалентна чисто диа!овальной магрице. В указаином выше случае выбора ортов !)д мы имеем 5! 3 )ЕЕ! слчосопгяжн!Ныг мхтвп!Ня ,!ричем в правоп час!и стоиг разность зп!чепин гг! (Л) нз концах промегкутка Ь,Ь!, явлгпощегося пересечением промсжу!ков Ь! и гЛ!.
ясли /(Л) — пепрерьпи!зя функция па и !очежу гке )а, гг), то оператору ЙА) соотнегствуег матрица с эл~ меигачи (У(А) )ы= ~ И)г(~га(Л). и (39) Можем иав!аиь )43! сч ь ь и ~ ~!(Л)л!7м (Л) ~ У,(Л) г(Р,„(Л) = ~ У!(Л)У,(Л)г(!г„(Л). (40) 5=! а й М Принимая во вшшание, что билинейная форм.. (мгх, 1~) = ~", г„(Л) Е!'4, (41) ч .„ь„=учч,; —,-! и( т гыз!!!„1 !. а - ! ь и в!=! "~~ агаЕ„Ег= 5' Л,! Еа!'+ ~ Лг(~ ~ гаг(Л)ЕгК)! па=- ! Ф а !я,г= ! ! (4'2) тле (,г().) непрерывны. Рассмотрим речол ьвепту матрицы А, т. е. л!атрпцу с элементами !)Е().))га, определяемую формулой (К(Л))га — ((А — ЛЕ) ')ив есть фупкцпя ограниченной вариации от Л, можем у!верждзгь, что фуикцип 2„(Л) суть функции ограниченной вариации от Л, При у=.т выражение (41) дает неубывающую функцию от Л, и отсюда непосредственно следует, что фупкции („(Л) ие убывают. Если понимать интегралы (39) как иитегралы Лебега — Стилтьеса, то формула (39) применима для широкого класса функций 2(Л), который был нами указан в )1Бе!.
Лосгаточио предположить, что г'(Л) ограничена и есть В-фупкция )47), При этом оит будет измеримой и относительно л!обой неубывающей функции. В случае чисто непрерывного спектра все фувгцип 7га(Л) непрерывны. Верно и обратное утверакдеиие. В случае смешанного спектра рассматриваем подпространство Е., в котором оператор А имеет чисто точечный спектр, и дополнительное подпространство )т — т'., в котором А имеет чисто иепрерывиый спектр. Вводим в этих подпрострапствах замкнутые ортогоиальпые и нормированные системы.
Обозпачзя через (Е'!, Еа,...) элементы в Л и через (Е!', Еа',...) элементы в гт' — Е., можем написать билинейпун! и квадратичную форму в виде б!14 !16к пяостилнс180 гильягягл Мы имеем Я ( Л ! ! 1 а ( ил ) (4:!) причем считается, ч!о Л пе принадлежи! спектру А. О!метим, ч!о, в силу формулы (39), целые положительные сгепени А имеют прел. стзвление нида л (А"')ы= 1 Л г)!ы(Л). (44! М Если Л=О не принадлежит спектру А. т. е.
все Угь(Л) постояшп,! и некоторой окрестности Л= О, то сущестиуе! ограниченная обратпа:! мж!рнца А ', и для ее степеней мы имеем формулы ,А-м„.„= ~ Л-"Иы(Л). (45) !66. Случай непрерывного спектра. )(ак известно, можно произвести дальнейшее расчленение Н вЂ” 1 на инварианпгые относительно А подпрострапства, в каждом из когорых А имеет простои непрерывный спектр. Пусть Н, — такое подпространство. Виедеа! в нем замкнутую ортогональную систему и положим, чго дальпеншее относится к Ни которое мы можем рассматривать как некоторое пространство Гильберга, в котором введены орты 4!!, грм ..., так что всякип элечепг х определяется своими составляющими (г!, 1!,....). Пусть х — такой элемент Нн что замкнугая линейная оболочка флх есть все Ни причем а == ).-- Ь. Обозначим через ра ().) составляющие элемента ф;х.
Любому элементу у(!)!, т!в,...) из Н, сопосгзвляется функция 'Рх () ) = (у Фл х) = Х ра () ) йм ! (46) О 'Э ц~ р„(л.);грц') рг(л)(г (Ау, а) = У агат!Д = 1 Л м.,! цг (л,) !. я=! где р () ) = ',1 йлх !!!' = ~ ', ~ р, (Л) (47) Принимая во внимание формулу (259) из 11471, можем записать билипеипыи функционал в ниде )бб) слкч»П нвпязяывного спнктвл и, следовзтельно, элементы мзтрипы, определяющей преобразование А з Н,, при припятоя системе ор~ов, будут Л лР»(Л) ДРг(Л) =5' » Далее, любому элементу у из И, соответсгвуег функция у(Л) из Л» по отношению р()) на промежутке )а, Ь) ~акая, ччо Ът фг(Л) = 7 у„(Л) т1з=~ у(р) агр(р), (49) и, наоборот, любоп функции у(Л) из Е» соответствуег определенный элемент у из Нь При эгон соответствии сохраняотся нормы и скалярные произведения.
Если обозначим через»»(Л) функнию у(Л), соответствующую орту у, то получим Р» ( Л ) ~ ф» ( 1р ) Р ( 1р ) а (50) и р»(),) (и=1, 2, ванную систему в нз ). в Л, и для ~))ормчлы .) образуют замкнугую ортогонзльную порчпро- Л» Оператору А в Н, соотиетствует умножение аы — — (А ф», ф;) мы можем нзписать пмесго (48) а;» —— ~ Л ф» (Л) ф,. (Л) г(р (Л), » (б1) Положим, что вместо в»(Л) мы взяли другую полную ортогональную нормированную систему ф»(Л) в Ев причем этим ф»(Л) (й=1, 2,...) соответствует некоторая полная система ор~ов ф в Иь Введем унитарное преобразован»в У в Нь переводя пее орты в орты фм т. е. У»» — — ф». Эгону унчгарному преобразовапшо У в И, будет соответствовагь некоторая матрица, которая сама зависит от выбора ортов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
