1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Если возьмем даа различных таких надпространства В„Р, и то по крайней мере одна из пар чисел (Л, Л'), Ой Р') и (>, ч') состоит из различных чисел, Пусть, например Л ф Л'. При этом, если х ( с«л „ и х' Е )7иэч„ то х и х' суть сабе~ванные элеменлы А, соответствующие различным собственным значениям, а полому оии взаилщо орсосональны, Таким 136. Коммутирующие операторы. Рассмотрим вопрос о коммутирующих самосопряженный операторах. Теорема В Лля пего чтобы деа самосопряженных оператора А и В коммуспироеали, необходилсо и до«глоточка, чтобы их спентральные функции $л и гэ коммутироеали при любых Л и Р. Мы знаем, что спектральнзя функция любого самосопряженного оператора С коммутирует с С и любым оператором, коммутирующим с С [143]. Отсюда следует, что если АВ = ВА, то РР коммутирует с А, а потому $ь коммутнрует с РР, Наоборот, если $„ коммугирустся 7'ю то суммы Римана— Стилтьеса в интегральном представлении операторов А и В коммутируют, а потому и сами эти операторы коммутируют.
Теорема 2. Если самосопряженные операпсоры А, В и С, имеющие чисто точечный спектр, попарно комлсувируют, то илсеется замкнутая ортогональная нормированная система элементоа, являющихся собвпеенными элементами каждого из указанных опералюрое. Пусть $л, Е и 6„— спектральные функции указанных операторов. В силу теоремы 1, оии попарно коммутируют. Пусть Л, Р и ч — какие-либо собственные значения операторов А, В и С, а Ем М„ и ДГ, — надпространства соответствУющих собственных элементов и Д'т = $л — $„; а" = ń— Е а) а„"' = 0„ — б„ а — проекторы в эти надпространства.
Эти проекторы попзрно коммутируют, а потому их произведение (156 простР»нстпо ГильББРТ» обратом, полпространства В;л„ пттарно ортогопальны. Покзжел:, что гж орлогона.шнан слмма есть все Н. Для этого достаточно пока»ахль что нс существ> ет элемента, отличного от н> левого, которыя быз бы ортогоназсп ко всем подпространствам сглл„, т. е. лостаточно доказать, что если элемент .г, отличен от нулевого, то ой не орта>опален по крайней мере одному и~ )тлл„.
Для надпространств Вл, МР и Ф„ это очевидно, ибо по условию А, В и С имеют часто точечные спейтрй, а потому ортогональная сумма, например, Вл есть все Н. Возьмелт элемент хл~~О. Согласно только что сказанноллу, существует такое собственное значенйе 1 оператора А, что д,'хл:юО. Далее, опять по тем же соображениям, с>ществует такое собственное значение Р оператора В, что д",,(д,'х,)п' О, и такое собственное значение ч оператора С, что д,"'(д"д;хл) ~ О, откуда и следует, что х„ не ортогонален )сл „. Таким образом, ортогональная сумма )гл „ есть все Н. Если в каждом )гл „ возьмем замкнутую ортогональн>ю нормированн>ю систему, то получим ортогональную нормированн>ю систему, заллкн>т>ю в Н, н кажлыд элеллент ее, принадлехгашид некоторому )Рлло является собственным элементом каждого из операторов А, В и С. Теорслла совершенно так же доказывается и для любого конечного числа йопарно коммутиртющих саиосопряженных оператороа.
Вьппе мы видели, что разяичные функции одного и того же самосопряженного оператора суть коммутирующие операторы (155). Мы докажем теперь обратное утверждение для того случая, когда заданные операторы имеют чисто точечный спектр. Теорема 8. Если самосопряженные операплоры А, В и С, имеющие чиспго точечныд спектр, попарно кол»мутируют, вю они яаляювлсл функциями одного и того же салгосопряженного оператора О.
Пространство Н предполэгаетсв сепарабельным, Согласно теореме 2 имеется замкнутая ортогональная нормированная система элементов к„к„х„..., являющихся собственными элементами А, В и С, т. е. Ахл = >лх„; Вхл — — Рлхл> СХл = ч»Хл (и=1, 2, ...). 1 Положим ртли —, и пусть х — любой элемент. Он разлагается по вле- т ментам х»: х= ~~) а„х», » =-1 и мы определим самосопряженный оператор О, налагав 0х= ~Э а»р»х».
Ряд, стоящий справа, очевилно, сходится, ибо раз числа (а»)' образуют схолящипся рял, то числа (а»р»р и подавно образуют сходнщийся ряд. Из этого определения непосредственно следует, что х» суть собственные элементы О, соответствующие собственным значениям р», т. е. 0 имеет чисто точечный спектр. Мы можем построить ограниченн>ю функцию гл(Х), которая в ~очках 1 = р» ранна 1„ и непрерывна везде, кроме, может быть, точки 1 = О.
Точно так же л>ожем построить ул(>) с аналогичными свойствами так, Чта Ул(Р»>=Р», И Уз[1) таК, Чта гл(Р»)=Ч». ДЛЯ фУНКЦИД Г»(>) МЫ МОЖЕМ, согласно рез>льтатам предылушего парю рафа, построить соответствующие онсРалоРы Ул (0), /„(0) и гл(0). ОпеРатоР Н(0) имеет собственные элементы 1571 воэмгшгпнв спгктпз самосопгяжшнгого опвгатогз 491 и собственные значения Л (р,) = )ь, прнчел~ хь образуют замкнустю систему. Такие же собс~яенные значения н собственные элементы имеет оператор А Но есяи два операгора с чисто точечными спектраьнт имеют одинаковые собственные значения и соответствщоитие им собственные элементы, то из их интегразьных представаений через спектральную функцию саедтет, что они совпадают, е..4 =У, (ь)). Совершенно аналогично 17 =уь (Е>) и С =за (17); теорема доказана.
Отметим, что она совершенно так же доказывается дзя случая любого конечного числа самосопряженных операторов. Теорему ьгожно доказать и дзя того случая, когда спектры оператороя и не чисто точечные, но мы на этом не останавливаемся (1. Неошапп, Аппа)з о1 Маг(щ т. 32, 1031 г.). 157. Воэмувгевие спектра самосопряженного оператора. Напомним, но то шами сгущения спектра самосопряженного оператора называются те знзчения Х, которые являются иаи предельными точками точечного спектра, ияи собственными значениями бесконечного ранга, ити точками непрерывного спектра. Мы докажем ниже следующую теорему; 7еорема 1.
Гели к сазгосопрпженнолту оператору А добавипгь вполне непрерывный самогопряженный оператор С, то при этом множетпво тггочек сгущения спектра огтанегпся прежним. Но оказывается, что добаваение вполне непрерывного оператора может существенно изменить характер спектра, а именно имеет место следующая теорема: Теорема 2. УТ любо.чу заданно.чу самосопряженному оператору А можно прибавшпь такой самосопряженный ьполне непчерывный оператор С с абсолютной нормой, не превышающей любого задпнного положительного числа а, что А+ С будет илтеть чисто пгочечный спектр. Пользуясь этой теоремой, можно доказать следующее предложение: Теорема 3.
Если у самосппряженных операторов А, и А, одно и то же лгножество точек сгущения спектра, то суигестеует такой унитарный операягор И и такой самосопряженный вполне неирерывный операпгор С, что А, =(7А,)т '+ С. Мы докажем лишь теорему 1. Предварительно докажем дзе аеммы. Лемма 1. Гели 1г р есть точка сгугиения спектра самосопряженного оператори А, то гущетпаует такая последовательностпь нормированных элементов х„, слабо сходящихся к нулю, чгпо (307) )' А ха — рхп ,'! — О.
Если Гь — предельная точка точечного спектра изи собственное значение бесконечного ранга, то существует бесконечная последовательность попарно ортогонавьных нормированных элементов х„, дзя которых соглветствуюгцие собственные значения Хп стремятся к р. Если г — любой эаечент, то его коэффициенты Фурье с„ = (г, х„) стремятся к нулю и, стетоватетьно, х„ "' О, и утверждение леммы дзя рассматриваецого случая вытекает нз фчрмуты )! А хл — 1 ха ' = ' ( 4 — "п Е) Ел + () и — М) хл ( =, Д л — 1' ' ~ ха ! = ' " и — 1" '. Положим теперь, что и есть точка непрерывного спектра и В,' — непрерывная часть спектральной фучгкции.
Разность Р,'„х а — $', ь при любом мазом положительном 3 есть проектор в некоторое надпространство 1ь Возьмем последовательность потожитеаьных чнсеа Ьч такую, что Ь„ — О, и посзедовзтезьносгь нормированных элементов х„ из бз, Покажем, что йри этом также выполняется "л' утверждение леммы. По определению З„имеем ($'4 а — $' ь )х„=х и лая 'и и 'л яюбого эзенента г "п) = (г (ьчн4-з Вэ — ьп) хп) = ((Вз 1 зл — Ви - ьп) г, хп) 492 ! 157 пРОстРзнство ГнльББРта )(г хл) ~ (~„(ВР+ ьл Вл — тл) г)~ Но мы имеем В, „ь — В,„ь — О, и слабаЯ сходимость х„сл'0 доказана З+л Р л Для докззательствз (307) надо воспользовзться следующей очевидной формулон М /) Ах„— Рх„с ' = ~ (Л вЂ” гс)' с((В,'х„, х„) = т — с (Л вЂ” и)'д(В„(В„+„— В,, г ).к„, х„)= т — 'о в 1 тл (Л вЂ” Р)*д! (В„' — В„' а )х„')г~в",'(В,'+, — В.', )х„Р=Зт — О.
в — т л Лемма 2. Если Л=и не есспь точка сгущения слектрл, гло для любой последовательности норлгироавнных элементов хл, слобо сходящейся к нулю, суцесгявует такое положительное число и, чгпо для всех достлточно больаих и имеем (303) ~) Ахл — Рхл ')~и ) О. По условию леммы существует таное положительное число д, что в промежутке Р— д к-. л (и+д спектральная функция Вл или постоянна, или ее изменение сводится к скачку в точке Л =и, причем подпространство собственных элементов ут соответствующих атому скачку, имеет конечную размерность.
Мы имеем М в — и ))Ахл — Рх„)г = ~ (Л вЂ” Р)тд)' Втх„(а ~ ~ (Л вЂ” Р)аб~) Втх„';т+ "' — 'ь м + ~ (Л вЂ” Р)д~Вл ('~«'(ЕВ„РГ,)У+д" (1х.~Р— В, ет.())лл а+и = ов — дт (г 'Взьехл),т —,",ВР ех„,"), нлн т Ахл — Рхл ~т дт — дт ((Взье — В,г) хл, хл). (309) Если В ьч — В с=О, то получим (308), положив и=д. Положим теперь, что В„ имеет скачок пРи Л = и, и пУсть гп гт, ..., ㄠ— познал оРтоноРмированная система в Е . При этом (Ввел — В„е) ха= (.т„, г„) гю У с=1 в силу х„" О, имеем (Вл.„е — В.
е) хл =) О, и нз формулы (309) следует, что (303) выполнено для достаточно больгппх и, сслн, например, положить 1 и = — д. Из доказанных аечм непосредственно слелует, что, л л я т о г о, чтобы Л=Р было точкой сгущения спектра, необходимо и 493 нога!алиные опиплтощл 1$83 158. Нормальные операторы.
Укажем еще на один частный тип линейных операторов. Это тая называелоые нормальные операторы. Линейный оператор А называется нормальным, если он коммутирует со своим сопряженным оператором (ср. 1Ч, 41), т. е. (310) ААо = А*А. Частным случаем нормальных операторов явлнются самосопряженный н унитарный операторы. Если положить А, ~ — (А + Ао), Ао — лг (А — А*), 1 1 (311) то мы можем выразить А и А" через самосопряженные операторы А, и А, А = Ао + 1Ао! А* = Ао — 1Ао. (31г) Из последних формул непосредственно следует, что д л я т о г о ч т о б ы оператор был нормальным, необходимо и достаточно, чтобы самосопряженные операторы А, и А,коммутировали. Если зто так, то спектральные функции $(о и $"' этих операторов коммутируют для любых Л и и. Определим семейство йроекторов $„, зависящее от комплекснооо переменного а = Л + и1, полагая (3!3) $$ло$п(аЛ+Р1) Этот проектор $, будет переменныч лишь на некотором промежутке Ьо плосности комплексного переменного а, и лоы будем иметь для оператора А формулы, соверщенно аналооичные формулам для самосопряжеиного оператора; А = ~ ~ «ото($а! (Ах, у) = ~ ~ ооИ($ох', у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
