1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 97
Текст из файла (страница 97)
При этом неравенство (255,), в силу (251,), запишется в виде я+!, !!!у [! — ~а — ' ъз ! а,,' р, (л) !' а,р (л) т. е. Р-!- ! У [а'тр(Л)!' ! ля я ,— — ) 'у! — а, а,'р (л) Таким образом, линейная комбинация й, х, входящая в (255), может быть предсгавлена в виде линейной комбинапии б,йлх, и формула (255) может быль переписана в виде 468 [147 пгос1РанстВО Гнльввгта Сравнивая это неравенство с (253) и учитывая произвольность е, видим, что точная верхняя граница сумм, входящих в неравенство (252), равна 1 у(', т. е. имеет место формула (2о4).
Пользуясь этои формулой и формулой 2 "У+ ' + 2 ~у+ ~ 2 ('У~~ +" мы получим для у и а, принадлежащих С„, более общую формулу (у,з)= ~ — — —- 1' аул(Л)аэ,() ар (л) (2об) где ~~,(Л) = (., В,х). (257) Для вывода аналогичных формул для билинейного функционала докажем теорему. Теоролса 2. Если уг--С„, то 5„у и Ау также принадлежат С„. Раз у(:С„то или у есть коггечная линейная комбинация элементов ф, х: у= )сйтх, (258) 5 ! или у есть предел таких линейных комбинаций.
В первом случае В.У = ,2 с,алВл х ч ! Но, в силу (180), фф, =й„при Л = Л, и В,фт =йт при Л)Л„ т. е. 5„у есть также конечная линейная комбинация элементов из С„и В„у~С,. Если у есть предел конечных линейных комбинаций элементов из С„: га Ъ~ гю у=Ил| г с, 8чтт'х, л со то Ъ~ (ю )Л у=1пп х с, ВЯт,т'х, Л ОЭ 5=! т. е. ф,у есть также предел конечных линейных комбинации иа Сл, а потому и в эчом случае Вту~Сл. Элемент Ау, в силу (205), есть предел конечных линеиных комбинащяй ф,у. Любое В„у~С„по доказанному, а по~оку всякая конечная линеиная комбинация Р„у и предел таких линейных комбинаций также принадлежат С„, т, е.
Ау(: С„, и теорема доказана, НЕПРЕРЫВНЫЙ ПРОСТОЙ СПЕКТР 469 147! я, принимая во внимание (180), получим рл,(Л)= ~ 1 1,7,(р), я формула (256) даст нам м л ! л!' и! 1 Ри,т,(Р) !,,(л> (Ау, а)— «! или, принимая во внимание свойство интегралов Хеллннгера (83), получим формулу (259) 1)злее, в силу (254), при беспредельном измельчании частичных промежутков Ье выражение, стоящее в правой части формулы (2б1), стремится к нулю, и, следовательно, (Л) Х'„" а*ту (л) ь=! Слагаемые написанной суммы суть элементы 11, и предел этой суммы естественно записать в виде интеграла Хеллннгера, как это мы делали для обычных сумм: у = ! — — !(Ялх.
(УеСе) р лт,(л) ,) хр (л) е! (260) Если применить эту формулу к элементу Ау вместо у, то, рассуждая аналогично, получим формулу Ау= ~ Л вЂ” Р~ — !1йлх лг (л) (261) Таким образом, л!ы можем написать формулу (256), заменив у на АУ. Прн этом е! (Л) заменится функцией м м 1л (л) = (4У 8л-т) = ~ Йс!ФРУ 8л х) = ~ 1е !Р (У, ВР8лм)> 1148 470 пространство гильвяртл или, кзк предел суммы, л 2. Ла — !Ль8лх =) АУ. аарл (л) а„р (л) а ! (262) Отметим, что, пользуясь аналогичными суммзми и предельным переходом в Н, мы можем вообще определить интеграл Хеллингера для элементов Н.
Применим теперь формулы (256) и (260) не к эле. менту Ау, а к элементу Р у, который также принадлежит С„, где р — фиксированное число из промежутка <т, М]. Мы имеем !' (у, балх) при Л(р, (Л)=(Вау, В„х)=(у, | В,х)= ~ т. е. !р (Л) при Л(р, р, (л) = ср (р) при Л)р, и упомянутые выше формулы дают нам непосредственно ~9т( ) Ч'г( ) др (л) (263) Р др (л) (264) Отметим, что формула (256) равносильна обобщенному уравнению замкнутости, а формулы (259) и (261) — формулам (241) и (240) предыдущего параграфа. Упомянутые формулы настоящего параграфа выведены в предположении, что у и г~ С„.
Говорят, что самосопряженный оператор А имеет простой непрерывный спектр, если существует такой элемент х из Н, что С„совпадает с Н. Если это имеет место, и мы возьмем за х только что указанный элемент, то упомянутые формулы спрзведливы для любых элементов у и г из Н. 148. Инвариантные подпространства. Для исследовзния непростого непрерывного спектрз и смешзнного спектра, т. е.
того случая, когда собственные элементы существуют, но не образуют замкнутой системы элементов, нам надо предварительно ввести новое понятие н докззать некоторые факты. Определение. 77одпространство 7. называется внвариантныж подпространством для оператора А при соблюдении следующего условия: если х~ 1., то и Ах~5. Иначе в атолл случае говорят, что 5 приводит А. 471 146[ ннВАРнантныв подпРостРьнства Смысл этого определения состоит в следуюшем. Если Е привонт А, то оператор А можно рассматривать отдельно как оператор, определенный в 7, причем 7 или конечномерно, нли его можно читать гнльбертовым пространством. Иначе говоря, оператор А, пределенный во всем Н, индуцирует оператор, определенный в 1., вторый для элементов из Е совпадает с А.
Рассмотрение А на отдельных инвариантных подпространствах облегчает изучение А. Отметим, что если А — самосопряженный оператор в Н, то он булет, очевидно, самосопряженным оператором и в любом инвариантном для него подпространстве. В дальнейшем мы будем изучать инвариантные подпространства лишь для самосопряженных операторов. Теорема 7. Если надпространство Е приводит самосопряженный оператор А, то и дополнительное надпространство Н ~ Ь приводит А.
Для того чтобы Е приводило самосопряженный оператор А, необходимо и достаточно, чтобы проектор Рс коммутировал с А, т. е. (265) РсА=АРР Если Е приводит А, то при г(:Е и Аг(-Е. Нам надо доказать, что если х 1 Е, то и Ах 1 Е. Пусть г — любой элемент из Ь. При этом Агт-Ц и мы имеем (Ах, л) = (х, Аг) = О, и высказанное выше утверждение доказано. Переходим к доказательству условия (265).
Пишем очевидное равенство Ах= АРсх+ А (Š— Рь) х. Если Е приводит А, то А(Рсх)т-Е и, в силу только что дока- ванного, А [(Š— Рс)х'1 ~ Н 9 Е, и, следовательно, первое слагаемое правой части есть проекция Ах в Е, т. е. РсАх=АРсх при любом х, и необходимость (265) докззана. Пусть, наоборот, выполнено (265) и хт--Е.
При этом Ах=А(Рсх)=Рс(Ах), т. е. Ах(:-ь, и теорема полностью доказана. Пользуясь теоремой 2 из [143[, получаем следуюшее непосредственное следствие доказанной теоремы: Следствие. Для того чтобы надпространство Ь приводило А, необходимо и достаточно, чтобы оно приводило фь при любом Х. Теорема Е. Если попарно ортогональные надпространства ьь(и=1, 2,...) приводят А, то и их ортогональная сумма Е=Е!ЕЕЯЕЕЭЕ приводит А. По условию теоремы А коммутирует со всеми Рь„, и тем самым оно коммутирует с ик суммой Рс = Рь, .[- Рс„+ Рь, +..., 472 1148 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬВВРТА что и доказывает теорему.
Теорема 2 справедлива и в том случае когда А несамосопряженный оператор. Отметим некоторые простые факты, связанные с понятием инва. риаитного подпространства самосопряженного оператора. Если проек. тор Рм коммутирует с проектором Ры то 7. приводит Рм, и опера. тор Рм индуцирует в 7. проектор Рсм в подпространство 7.Л1, Пусть далее 7. приводит А и тем самым приводит его спектральную функцию Вы Обозначим через Аго и 5т" те операторы, которы; индуцируются в 7. операторзми А и 5,. Нетрудно проверить, что В1" есть разложение единицы для Ач'. Если в формуле (205) х ~ 1, то мы можем заменить А на Аын и Вт на 5т", и 5(ы есть спектральная функция оператора А'", определенного в 7.. В силу (223), 1 приводит и резольвенту 1»( оператора А, причем Я, индуцирует в 7, резольвенту оператора А" .
Пусть А'", А'", $(" и К' — операторы, индуцированные самосопряженным операторои А и Вт в инвариантном подпространстве 7. и дополнительном подпространстве Н ~ 7., а х= =х, + хя и у=у, +уя — разложение х и у В 7. и Н 6) 7.. Имее ~ очевидные равенства: АХ=А"'Х,+А'"Х,; ВТХ=$1РХ,+$(РХя; (Ах, у) = (А' "хн у) + (А Оп х„у). (266) А'х= ~~~~А(Вт — Вт„я)х, В,,х= 7 й„(йла — Вла-о)х= (Вл* — Юла-я) х с (267) Х„ Аналогичные формулы имеют место при разложении Н на конечное или счетное число попарно ортогональных подпространств, приводящих А.
Все пространство Н и нулевое подпространство, т. е. подпространство„ содержащее один нулевой элемент, являются тривиальными инвариантными подпространствами для любого оператора. Если оператор не имеет других инвариантнык подпространств, то он называется непри водимым оператором. Всякое подпространство собственных элементов, соответствующих некоторому собственному значению Ха оператора А, есть инвариантное подпространство для А, и в этом подпространстве оператор А сводится к умножению элемента на число Хя, Если х, — какой-либо собственный элемент, соответствующий собственному значению )гм то совокупность элементов вида ахм где а — любое комплексное число, есть также подпространство, приводящее А.
Если 7.А(7г = 1, 2,...) су|ь все подпространства собственных элементов самосопряженного оператора А, то их ортогональная сумма Н' приводит А. Пусть А' и Вт — операторы, индуцированные в Н' операторами А и $„.Мы имеем, согласно (234) и (236), 473 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ НЕПРЕРЫЯНОГО СПЕКТРА 1491 е, ЙА сводитса к сУмме скачков фУнкции Йд в точках Лд, Удовлетворяющих условию Л»м.Л. Оператор ЙА", индуцированный Й„в подпространстве Н", дополнительном для Н', представляет собой проектор в подпространство Н"М„, где М» — подпрострзнство, соответствующее проектору Й,. Любой элемент Н" ортогонален во всем 7.», т, е. (Й,д — Й»д-»)х=О, если х~Н", и для любого х, принадлежащего Н", мы можем представить ЙА" в виде разности Й» = Йд ~~~ (Йдд Йтд-») А ям и, следовательно, Й'„' непрерывно при всех Л.
Таким образом, если спектр А не чисто точечный, то подпространство Н" содержит элементы, отличные от нулевого, спектральная функция непрерывна в нем, и оператор не имеет вовсе собственных значений в Н". В Н собственные элементы образуют замкнутую систему, и оператор А' ииеет чисто точечный спектр в Н'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
