1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Дли того чтобы разность Рс — Рм была и!гоегстором, необходалго и достапгочно, чтобы М было часгиью Е. Егли вто условие выполнено, то Рс — Рм есгиь ироенпгор в Е ~ М. Если Рс — Рм есть проектор, то лгы должны иметь г Рг — Рм) (Рс — Рм) = Рс — Рм, (168) или, раскрывая скобки, получим Рс Рм + Рм Рс = 2 Рлг (169) Умножая сначала слева, а затем справа на Ры приходим к двум равенствам РсРм+ Рс)мРс=2РсРм и РгРмРс+ РмРс = 2РмРы из когорых следует, что РсРм=РмРг, и, в силу (!69), г.ы имеем РаРм =РмРс= Рм, т. е. соблюдено условие (164), и М есть часть Е. Наоборо~, если М есть час~ь Л, т. е.
соблюдены условия (!64) и (165), то из них следует формула (169), и тем самым формула (168), а потомУ, согласно теоРеме 1, Рс — Рм есть пРоектоР. Соответствующее ему надпространство определяется формулой у = (Рс — Рм) х = Ргх — Рмх, (170) пРичем х пРобегаег все Н. Элементы Ргх и Рмх пРинадлежат Е, ибо по условию М есть часть Е. Таким образом, формула (1701 дает элементы, принадлежащие 7. Покажем, что элементы у, кроме того, ортогональны М. Пусть е — любой элемент из М.
Мы имеем Рма=д и можем написать (Р х — Рмх, е) =(Рсх — Рмх, Рма) 446 !140 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬВГРТА Переводя Рм справа налево и пользуясь услояиеч (165), получим (Рсх — Рмх, г)=(Рмх — Рмх, в)=0, т. е. действительно Рсх — Рмх 1 М. Таким образом, формула (170) даег элементы у, принадлежащие Е 8 М. Если и есть любой элемент, принадлежащий У.13М, т. е. сс(--7. и и 1 М, то у=ран — Ржи= = Рси = и, и, таким образом, окончательно можно угверждать, что формула (170) определяет подпрос~ранство В 9 М, и теорема доказана.
Теорема 8. Для того чтобы произведение РАРы было проектором, необходимо и досптаточно, чтобы Рс и Рм комлгутировали, т. е. (171) Рсрм = Рлгрс. Если эпьо условие выполнено, то РАРм есть проектор в надпространство У.М. Необходимость условия (171) вьпекает из того, что для самосопряженности РАРм необходимо и достаточно (17!). Проверим геперьч что при наличии условия (171) оператор РАРм удовлетворяег условию (157)г (Рсрм) (Рсрм) = Рсрм = РАРм.
Таким образом, первая часть теоремы доказана. Если х — любой элемент из Н, то элемент у= (Рсрм) х= Рг. (Рмх) =" Рм (Рсх) (172) очевидно, принадлежи~ как Е, так и М, т. е. принадлежи~ ВМ. Наоборо~, если мы Возьмем любой элемент х„принадлежащий ЕМ, то формула (172) при х=х, даст нам у=х,. Таким образом, формула (172) определяет подпространство ВМ, и теорема полностью доказана.
Теорема 7. 77иедел сходящейся последовательности проекторов есть проектор. Мы имеем Р„ — ь Р, причем Р„ суть проекторы и Р есть самосопряженный оператор 1131). Переходя в равенстве Р„' = Р„ к пределу, получаем равенство Р'= Р, из которого, в силу теоремы 1, следует, что Р есть проектор. Теорема 8. Всякая монотонная последовательность проекпгоров имеет предел. Рассмотрим сначала неубывающую последовательность проекторов: Р, ( Р,(Р,(...
(173) Лля доказательства существования предела у последовательности (173) пам надо показать, что Р„х имеет предел при любом выборе х, т. е. для любого заданного положительного а должно существовать такое 111, что '1Р„х — Р„х1(а при п ) гп) Л'. Рлзг!Оживив вди!И1пьь интвгета сти!1гьвсл 141! гз силу (173) и теоремы 4 ~, Ргх) (', Рчх 1 ~~, Рак|=..., причем для любого п мы имеем (г' ,Р„х',()х~'.
Таким образом, неубывжощая послеловательность неотрицательных чисел,, Р„х ) имеет преел, и для любого заданного ноложигелыюго а существует такое й, что 1Р„х:,ч — 'ЛР х!;ч(чч при п)т)?г?. Со~ласно (157) мы можем записать эго неравенство в виде ((Є— Р ) х, х) ( ач при и ) т ) 7тг. (175) есть проектор в надпространство Л=йг®l,®... Это утвержление непосредственно следует из сказанного в 1139). (1 76) 141. Разложение единицы. Интеграл Стилтьеса. )Лальнейшее развитие ~сории самосопряженных операторов основано на общей формуле, дающей предсгавление любого самосопряженного оператора. Для построения этой формулы надо предварителыю ввести одно новое важное понятие. Определение.
Назовелг разложение гг едггнггцы семейство проекторов $м зависящее от вещесгпвенного параметра Л и удовлетворяющее следующилс условиям: 1) проектор фт не убывает при возрастании Л, гп. е. если 1ь) Л, то й =-ф~; 2) сущеппвуют такие конечные значения Л= а и Л= К что $,= 0 и ба = Е; 3) проегстор Вт непрерывен справа по оигногиению к паралгетру Л, т. е.
11ш ф, = фм. х-и;.О (1? 7) Отметим, что, в силу теоремы 7 [140), прн любом значении Л' сущесгвуег предел ф„при стремлении Л к Л' как слева, так и справа, Так как Р есть часть Р„, то Є— Рт есть проектор, и последнее неравенство, в силу (157), приводит к неравенству (174); теорема доказана. Отметим, что, в силу теоремы 7, предельный оператор Р для последовательности 1173) есть проектор и, переходя в неравенстве ((Рч — Р,„) х, х) рв 0 к прелелу при п -~. сю, мы получаем ((Р— Р ) х, х)-' О, т.
е. Р Р . Совершенно аналогично показывается, что и убываюгцая последовательность проекторов имеет предел, и этот предел есть также проектор. Теорема й. Если Ль (?г = 1, 2, ...) — счетное число попарно ортогональных подпространств, то су.има ]141 пяосГР.>нгтво Гильвветл Эгн прелелы суть проекторы, которые естественно обозначить символами В> а и В>, .в. В силу (177) мы должны ичегь В» в= В>,. Будем говорить, что В, непрерывен в точке л, если В> =В> м Условие (177) т,>ебует для проектора В> в каждой точке непрерывнос>и справа. Это условие добавлено лишь для того, чтобы фиксировать зна>ение В, в каждой его точке разрыва по отношению к Л. Отметим некоторые свойства разложения единины В,. Пусть >и— точная верхняя гранина тех значений Л, для которых В =О, т.
е. В> — — 0 при Л(л> и В>)0 при Л) лв (178) В самой точке Л = ьч проектор В, будет отличным от нулевого оператора, если в этой точке В> имев~ скачок. Через М обозначим точную нижнюю границу тех значений Л, для которых В> — — Е. В силу непрерывности В„ справа мы должны имегь Вм =Е, и, таким образом, значение М определяется следующими условиями: В„ ( Е при Л (М и В> = Е при Л =.- М.
(179) >Л'В~ ' >Л»В> = 0 (Ь' и Ь" без общих внутренних точек). (182) Пользуясь теоремой 2 [140], мы люжем утверждать, что последнее равенство равносильно следующему: при любом выборе элементов х и у мы имеем >Л'В>.е ! Ь»В> у (ж и у любые) (! 83) (>Л' и Ь" без общих внутренних точек). Если >Л, — общая часть промежутков Ь' и Ь", то, в силу (!80), мы имеем б'(8, 5"В»ь=б»>5, (184) Если ໠— любое фиксированное положительное число, то мы можем скззать, что при изменении Л в промежутке ]т — а„ М] проектор В> меняется от 0 до Е. Далее, в силу теоремы 5, можно утверждать, что при !» ) Л разность  — В, есть проектор, и имеет место формула В»>В, = ВяВ> = Вм (й~л) Устремляя в разности „— В, число Л к )» слева, увидим, что  — В, есть проектор.
Точно так же можно показать, что В„ — В , прн т ) !» есть проектор. Введем новое обозначение, которым в дальнейшем будем часто пользоваться. Пусть >Л вЂ” некоторый промежуток ]а, р]. Обозначим ЛВ>. — —  — В» (181) Если Ь' и Ь» — два промежутка, не имеющие общих внутренних точек, то, в силу (180), мы имеем яьзложвцив единицы. иитггялл стилтьвсл 449 141! Мы умеем складывагь операторы и совершать переход к пределу я последовательности операгоров. Это даст иам сейчас возмож„ость построичь, пользуясь разложением единицы Д,, «иитеграл Стилтьеса» для любой непрерывной Функции. Пусгь иа промежутке (т а„ М~, где з, — фиксированное положительное число, задана иепрерывиая функция г(Л), нагорая может быть и комплексной.
делим указанный промежуток ца части; а«=Л«(Л!(Л«(. (Лл г(Л«=М (188) и для этого подразделения 6-проьгежутка ~т — г,, М! составляем соответствующую ему «сумму Римзиа — Стилтьесагс и л вь = У У(яь) гЛьбт =,~ .г'(чь) (бл — бхь,) (186) ь-! ь ! л '(ах — 1! ааль )~ 3 ~!!х(!, ь-! (187) где Ь вЂ” наибольшее из чисел ! а — зь ~г Можем написать л ь ах — у аьхь — " (а — аь) хь ь=! ь-! откуда, в силу теоремы Пифагора, следует (1'ах — ~~! аьхь.'1'= ~ (и — а,!'!хь!1'(8«,т (хь(я. (188) ь-! Теорема Пифагора даег также где чь — какое-либо значение из промежутка (Ль г, Ль). Сумма аь есть некоторый линейный оператор. Обозначим через тм наибольшую из разностей Л„ — Ль и Имеет место следуюшая основная теорема: Теорема. Дли любой иоследовательносгпи подразделений 3„ при условии »1 -» 0 последовательность операторов вь, в слгысл ь' ле сильной сходимости операторов, и.иеет определенный предел.
Предварительно докажем две леммы. Лемма 7. Если а и аь (и=1, 2., . п) — но,иплексные числа и х=х, -, 'хз+...+х„, причем элементы хь попарно ортогоналъны, то илгеет место неравенство ]141 пеостгапство Гильвегтв неравенство (188) непосредственно приводит к (187), и лемма до! азана. Лемма 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
