1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Если Ь вЂ” разбиение (185) про.яежутка ]т — а», М! и 8' — какое-либо другое разбиение т — »„= Ла ( Л ! ( Л', (,, ч" Л'„! ( Л'„= М того же промежутка, то для любого элелгенпга х пмееп! .кесто неравенсгпво ' в;х — емх (2м1х,", (1891 где ы — нанболыиес колебание функции у" (Л) в промежутках (Л» и >»] и ]Лг, и Л»], и!.
е, !» есть такое число, что ~У(а) — У(!3) ] ==-", (190) » а х= 7 у(ч») Ьф»х »-! (191) заменится суммой »! ,ту'(ч„"!) гЛ„"ф,х, » — — ! где ч» — некогорое значение из промежутка Ь». Тем самым зиачеса ел (я ния ч» и ч» принадлежат одному и гому же промежутку Л» под- разделения 8, и мы имеем, в силу (190), ] Г (ч») — ) (ч» ) ] ( !в (192) (3 = 1, 2, ..., т»). Составим разность л Л3! .,х —.ьчх = 5' [у(ч») д,р„х — ~~~'у(чг,'!) !Лй,х].
»=! »=! В силу (183) элементы Ь»Г»тх, !Л~»~'(агх для различных значениИ Гг взаимно ортогональны, и, пользуясь теоремой Пифагора, мы можем написать ~!вьх — вьмх(]а= У ]/у(ч») !Л»р„х — ~) у(ч~»") Ь'„"В»х]]!. (193) » ! еглн а и 'р' прггнадлежагп одному и то.иу же промежутку ]Л» и Л»] нлп одно.иу и тому же про,иежутку 1)г, !, Л»]. Составим произведение подразделении 36'. При переходе от подразделения 8 к подразделению 86' каждый частичный промежуток Л» подразделения 6 разобьется на конечное число промежутков гЛ', Ь (в=1, 2, ..., иг»).
При эгом каждое слагаемое у(ч»)гЛ»гь»х суммы влзложенив единицы. интеграл стилтьвсл 1411 а Кроме того, имеем Ьф!х= ~ Ь!г,' бгх, гп и элементы Ьь (щх (э=1, 2, ..., ш„) также попарно ортогопальны. !5! Пользуясь леммой 1 н принимая во внимание неравенсгво (192), получаем опенку !!у(эь) Ьфтх — ) у(ть ) й!Ь б>х ) =а~ Ьфтх',) и, следовательно, в силу (193), л )! ах — азрх!1'-= газ яь ('Ьф„х(~'.
й=! (194) Принимая во внимание, что $ ы=О и флг=Е, можем написать ъч х=, ЬДтх, (195) и неравенство (!94) можно переписать в виде ~, 'аах — агрх ~', — а!; х !. Совершенно так же мо!кно показать, чго ,!'арх — азрх (! ~ а! 1х 1, и утвержление леммы непосредственно вытекает из неравенства ('агх — арх )~!а х — ам х,", +'1 аз х — азрх ',. Переходим теперь к доказательству теоремы.
Нам пало показать, что при любом выборе элемента х последовагельность элементов аз х ~~ест предел, т. е. а. х=)у, Если мы это дока>кем, то нетрудно га ~вдеть, что предельныи элеменг у не зависит от выбора последовательности а„, дедствительг!о, если 3„и ь.„--две последовзтелы<ости подразделенип, удовлетворяющие указанному в теореме условию, причем если а =~у и а 'х=)у', то послеловательность пол~а й разлелениИ 6„а;, бм ат,,, танапе удовлетворяет условию теореь!и, а п потому последовательность элементов а„.,х, а';,,х, аг,х, а',х причем элементы, стоящие справа, попарно оргогональны. Теорема Пифагора дает а !';х(!'= ч ~(Ьф,х)', (19б) й=! 452 (14! пгоствлнство гильвгвтл должна иметь предел.
Огсюда и вытекает непосредстве~иго, ч~о У =У Предварительно установим одно неравенство. Элементы Ьфах, входящие в сумму ям попарно ортогональны, и и по теореме Пифагора ('а,х<.я= ~ (~(ч,)/а,гЬф,х!'. й=! (197) Далее, непрерывная функция г" (Л) ограничена по модулю, т. е. 1у(Л) ) =-р, где р — некоторое положительное число. Формула (197) приводит нас к перавенсгву л (в, ~ ==р'-,'>!~ Л,й,. ~', (19?,) из которого, в силу (196), следуе~, что,",а,х)(р(,'х~, т. е. прн любом разбиении норма оператора аз не превышает р.
Докаже» теперь, что последовательность элементов аз х имеет предел прн ~л любом выборе х. В силу условия теоремы о равномерной непрерьяь ности у'(Л) на промежутке [гн — ам И) для лгобого заданного полгжительного а существует такое М, что ~У(Л') — У(Л") ~ -= а, если Л' и )," принадлежат одному и тому же частичному промежутку подразделения 8„при п)М. Применяя лемму 2, мы можем утверждать, что имеет место неравенство 1'аа х — Я, х(' ( 2Я'~х~ пРи л и лг) Дг, т. е. последовательность а„ х сходится в себе, а потому стремится л к некоторому предельному элементу, и теорема доказана полностью, Для обозначения предела последовательности опера~оров при беспредельном измельчании частичных промежутков (в смысле сильной сходимости операторов) естественно воспользоваться обычным обозначением интеграла Стилтьеса: Вгп 5' У(э„) Аф„ = ~ У (Л) (ф„.
(198) 1)ш ~ У(ть) Лабтх = ~ Х(Л) ьФл х. ь-1 и ~я (199) Для обозначения предельного элемеитз последовзтельности элементов (191) при беспредельном измельчзнии частичных промежутков используем следующее обозначе><ие: 142] спвктвлльнля егнкция слмосопгяжянного опвелтоел 453 Совершенно аналогично мо;кно доказать существование соответствующик интегралов ~ 7(Л) ар, и ~ 7'(Л)в(балх в в (200) по любой части [з, р] промежутка [пв — в,, М]. Отме~им, что вне промежутка [ьч — в,, М] оператор ф, и элемент 5„х сохраняют постоянные значения, и, в связи с этим, часто интеграл по конечповву промежутку [лв — в„ М] записывают в ниле интеграла по бесконечному промежутку м ОЭ м + ов ~(Л)авил= ~ ДЛ) Фл' ~ у(Л)в($,х= ~ у'(Л)с(йвх.
(201) и вв ОЭ вв — в — вв Выделяя скачок $ оператора й„ в точке Л= лв, если этот скачок существует, можем привести написанные интегралы к интегралам по промежутку [лв, М]: м м [ лв)вв,=п )в.-в [пвм,: «в $0 гл м м 7" (Л) с(сз,х =7" (лв) 13 х+ '] 7"(Л) абаях. (202) вв во Отметим элементарную оценку интеграла, аналогичную (197в), а именно, если на промежутке [я, р] мы имеем ] г"(Л)] =р„то у(Л) ~(Влх]~ р, [(В, — В„) х[].
(203) В дальнейшем мы будем вместо нижнего предела (лв — в,) писать просто т. Написанный таким образом интеграл по промежутку [и, М] будет равносилен интегралу по указанному промежутку, сложенному с выражением 7'(лв) $ или 7'(т) $ х. А= ~ ЛАЯЛ м (204) 142. Спектральная функция самосопряженного оператора. Если значения 7"(Л) вещественны, то оператор ав как линейная комбинация проекторов с вещественными коэффициентами есть самосопряженный оператор, и предел чв при беспределыюм измельчании частичных промежутков есть таквке самосопряженный оператор. Полагая У(Л) =Л, получаем некоторый самосопряженный оператор А: м 454 1142 пРОстРАнстВО Гильаяятл илн м Ах= ~ Лс(балх. лл (205) Формула (204) и является основноп формулой всей теории сачо. сопряженных операторов.
Мы пришли к неп, исходя из некоторого разложения единицы Р,л. Всякому разложению единицы фл соотпеь ствует определеннын сал1осопряженнып оператор А согласно формуле (204). Можно доказать и обратную теорему. Теорема. Длн л огюго заданного салгосопрпженного оператора А существует разложение едннпцы Вл такое, что А выражаетсл формулой (204). Доказательсгво этой теоремы довольно сложно, и, чтобы не прерывать изложения, ыы приведем его в конце настоящего параграфа, В дальнейшем мы докажелг формулу, согласно которой можно определить Рл по заданному самосопряженному оператору А. Из э~он формулы будет следовать, что различным разложениям единицы соответствуют и разли шые операторы А. В силу теоремы формула (204) представляе~ собой общую форму ограниченных самосопряженных операторов.
Если мы умножим сумму (191) при г"(Л)=Л на какопн либо элемент у и перейдем к пределу, то получим выражение скалярного произведения (Ах, у) в виде интеграла Стилтьеса м (Ах, у) = ~ Ы(балх, у). (206) Напомним, что если й отлично от нуля, то правую часть надо понимагь как следующую сумму: м т (В ., у) + ~ > а4йлх, у), (2071 зл (Ах, х) = ~ Лагфлх, х). (208) где последний интеграл есть обычыый интеграл Стилтьеса. Мы могли бы прилить формулу (206) за основную вместо формулы (204), так как оператор А вполне определяется заданием билинейного функционала. Напомним, что скалярное произведение Щлх, у) выражается лпнеяно через четыре скалярных произведения вида (фл», ») = ,~ фл» /Я[ 125). В силу В„'=: 5л при 1л ) Л, 15л%' не убывает при возрастании Л, и, таким образом, функция (Рлх, у), стоящая под знаком дифференциала (вообще говоря, комплексная), представляет собон функпгяо ограниченной вариации от Л.
Если положим у = х, то получим выражение квадратичного функционала в виде интеграла Сгпл1ьеса спькм зльнля фкнкция слмосопяяжглпюго опвгз гоял 455 142 Б данном случае под знаком дифференциала стоит возрастающая ф икция (Вьх х) ='„Втх ~ . г емейство проекторов В„называют обычно с и е к т р а л ь и о й функцией самосопряженного оператора А, определяемого формулой (204). Покажем, чго числа т и М, определенные выш „,пе, совпадают с границами оператора А, которые мы определили ]120], Напишем квадратичный функционал (Ах, х) в виде (Ах, х) =т]В х ~Я-]- ~ Лг)]В„х Под знаком дифференпиала стоиг неубывающая функция Л.
Заменяя Л сначала па т и затем на М, приходим к перавенсзвам ш / Вмх ~ » ( (Ах, х) и-- лг ] В х,я + М ( / В,х ]я — ~ В х (], или, в силу Вмх =х, к неравенствам гл '] х ~Я ( (Ах, х) ~ М ' х,']'. Остается показать, что ш и М суть точные границы для (Ах, х) при ]1х]=1. Покажем, например, что М есть точная верхняя граница. Разность Вм — Вм, =Š— Вм „где а — любое заданное положительное число, есть проектор, отличный от нулевого оператора. Положим, что нормированный элемент х принадлежит подпространству, соответствующему эгому проектору. При этом (Š— Вм,) х = х, т. е. Вм,х= О, и тем более В„х = 0 при Л (М вЂ” а.
Мы можем, таким образом, написать, заменяя в (208) множитель Л на (М вЂ” а) и считая ~,',х )=1: (Ах, х))(М вЂ” а),",(Š— Вм,) х!,Я=(М вЂ” а), откуда, ввиду произвольности а, и следуе~, что М есть точная верхняя грзницз (Ах, х) при",х ~=1. Выведем еще одну формулу. Умножим обе части равенства (209) Вю считая, что Л есть одна из точек деления Л„. При этом, силу (180), будем иметь В„баВт=ЬаВ, В„=О при Л(Ла и Вл даВт=ба Вт ° В„=АД„при Л)Лы и, таким образом, получим Втаа — — аЯ =, тьдаВм У, х, л [143 пеостглнство Гнльвггтл и, переходя к пределу, будем иметь формулу ВлА = АВт = ~ Ла!Вл (Л ) л!) (2101 и аналогичную формулу для билинейного функционала (5„Ах, у) = ~ Л!г'(га ж, у). (211) 143. Непрерывные функции самосопряженного оператора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
