1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Принимая ао внимание, ~то (алл не убывает при возрастании Л, мы можем утверждап, что Влха=ха при Л Ла и Ьлха=О при Л(Ла. Применим к элс. менту х, формулу (20б): Ахо= ~ ЛФл.ха (228) и при составлении сумм аа будем считать, что Ла есть точка деления. В силу предыдущего все разности Ьафлха обратятся в нуль, кроме одноя, соответствующей частичному промежутку с правым концом Л,, т. е. Ахо=11гп "о(йл — 1а ) ха Ло "а — о где Л, — а (»а ( Ла. Переходя к пределу, мы получим Ахо=Ла(бл, лаан — *) хо но по условило ха(--М„и, следователыю, правая час~ь последнея формулы равна ),,ха, т. е.
х, удовлеплоряет уравнению (А — ЛаЕ) х,= О. Положим теперь наоборот, что х, удовлепюряет этому уравненного, и покажем, что хо~Ма. Из (А — )аЯ)х,= 0 следует: ((А — ЛоЕ)'хо хо) =0 (229) (Л Ло) г(.'!В хо! л. ° .1- . (231) Интегрируемая фущиция (Л вЂ” ).о)' на промежутке интегрирования )а', и из формулы (231) тем более следуе~, чго м аа ~ л(/артха)'=О, "а+' а' ( ~~ х, 1, '-' — 1 Вл „о хо! '1 = О. т. е.
или, выражая билинейный функционал через интеграл Стилтьеса: м ~ (Л вЂ” Л,)а г( р х, ) а = О, (230) Интегрируемая функция (Л вЂ” Ло)' неотрицательна, и функция, стоящая под знаком дифференциала, есть неубывающая функция Л. Отсюда следуе~, что все элементы интеграла (230) неотрицательны, н величина этого интеграла по любои части промежутка интегрирования также должна равняться нулю. Взяв некоторое положительное число а, мы мо.кем написать 463 чисто точачнын спвктР 146] изиду произвольности а отслода вытекает, что Клх»=х„при Л~Л.
СовеРшенно аналошлчно можно показать, что Счллх»=0 пРи Л(Л,, Отсюла непосредственно вытекает, что х» =1нп (8,,„,— О йл,,)х»=Ф,,— Ьл»-»)хо и теорема таким образом доказана. Если оператор А имеет собспленные значения, то, вводя в каждом подпространстве собственных элементов, соответствующих фиксироаиному собственному значению, замкнутую ортонормированную систему, мы придем к ортонормировакнои системе собспленных элементов Оператора А ]128]: (232) хн хь ха, ..., и к последовательности соответствующих собственных значении йл 1»» Рл (233) Если г — рзнг некоторого собственного значения, то оно фигурирует г раз в последовательности (233). Число г люжет равняться и бесконечное~и. Обозначая через Л» (Уг = 1, 2, ...) точки разрыва 4»лл и через !.» соответствующие подпространства собственных элементов, мы можем написать Рс» лял» Вл» вЂ » (234) Составим ортогональную сумму подпространств Е»: Н'=(л9!.ТЯ(-з9 ..
(235) Оператор проектирования в подпространство Н' выражаешься, как мы знаем, формулой Ры = Рс, - ~- Рс„+ Рл»+ (236) Надпространство Н' есть подпросгранство, состоящее из элементов х, которые мокнут быть выражены через элементы ортогональной и нормированной системы (232) при помощи сходящегося ряда (237) х = а,х, + а,хт + а,х, + 146. Чисто точечный спектр. ! оворят, что самосопряженныи Оператор А имеет ч и с т о т о ч е ч н ы И с и е к т р, если ортогональная нормированная система (232) замкнута в пространстве Н (сепаРабельном) (ср. 1281, Эго равносильно тому, что надпространство Н', определяемое форчулон (233), совпадает с Н, или тол~у, что проектор Рн, определяемый формулой (236), есть тои»дественное преобразование, т. е. (238) 464 !)47 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬВВРТЛ Умножая обе части этой формулы на Вл н принимая во внимание что (Вл — Вл 5)Вл,— — 0 пРи Л(ЛА и Равно Вл — Вл„, пРи Л=- ) ' мы получим выражение для Вл через скачки этого проектора: Вл= ~ 7'л,= ~я (Вл„— Вл, о).
— ч' "Ч (239) л„- л В рассматриваемом случае лобов элемент х представляется рядол~ (237), причем аа суть коэффициенты Фурье х относительно системы (232). Применяя к обеим частям формулы (237) оператор А и при. нимая во внимание, что Ахл =(л„хл, мы получим Ах= Э а (л,х,. 5 (240] Умножая скалярпо на у и обозначая через Ь, коэффициенты Фурье элеллента у, т. е.
Ь, — (у, хт), Ьа — (х„у), получаем выражение для билииепного функционала: (Ах, у) =~~55а,Ь,. (241) При у=х получаел5 формулу для квадратичного функционала 5~~ (Ах, х) = ~~ И, ~ а, )', (242) 147. Непрерывный простой спектр. Говорят, что самосопряжен- ныИ Опералор А инее~ чисто непрерывный спектр, если спектральная функция Вл непрерывна при всех значениях ),. Нашей задачей является построение для случая чисто непрерывного спектра формул, аналогичных формулам предыдущего параграфа.
Предварительно нам надо будет ввести одно новое понятие. Пусть е — неко|орое ллновгество элементов из О и хь х, , х„— какие-либо элементы Н, принадлежащие е. Образуем их линепные комбинации с,х, ы- сяхя + ... + с„х„ с произвольными коэффициенгами сл. Множество элементов И, которое можно, таким образом, представи~ь в виде конечных линейных комбинациИ элементов, при- которая вполне аналогична формуле представления квадратичноп формы (формы Эрмита) в виде сумлльг квадратов.
Таким образом, в случае чисто точе шаго спектра имеем очень простое представление для сальзго операгора А, билинеппого и квадратичного функционалов при помощи ортогональной нормированной системы (232). Переходим к рассмотрению так называемого чисто непрерывного спектра. непРЕРывнып пРОстОЙ спектР 465 147) ~ х — (с>х, + с,ха+ ц частности, упомянутому надпространству принадлежат, очевидно, все конечные линейные комбинации элементов из е. Пусть ц> — спектральная функция оператора с чисто непрерывным спектром.
Отметим, что в этом случае ф = О. Берем некоторый элемент х, о~личныи от нулевого, и образуем множество эле- ментов (243) а>лх где Л пробегает все значения от и до М. Обозначим через С замкнутую линейную оболочку элементов (243). Лля любого элемента у из Н мы можем составить соответствующую ему непрерывпую функцию от Л ~,(л)=(у, ц,. ), (244) Эта функция, очевидно, дистрибутивна по отношению к значкуу, т.
е. ~а>»»» (Л) = а ту (Л) + й>т, (Л). Составил>, кроме того, следующие две непрерывные функции от Л: р(Л)=(Ц>х, х)=1Ц>х)т; Ь„(Л)=(фьу> у)=1Ц>у~/Я (246) Они, как мы знаем, не убывают при возрастании Л. Если й есть любой промежуток [а, Я, то введем для любой функции ДЛ) обычное обовначение йУ(Л) =У(3) — У(.). (246) Мы имеем, например: Ьр (Л) = (ЬО>х, х) =((й — гч„) х, х), Ьр (Л) =/ ЬЦ>х/ ', т. е, (247) и зналогично д)>„(л) = ( йц„у,' )(ля функции с> (Л) имеем а'~"'т (Л) = (у йб>х) = (у (а(>») х) = (>Лт>>у аоч»х) (248) над лежащих е, представляет собои, очевидно, некоторый линеал Е.
ЦвЕДЕМ НОВОЕ ПО>иа>ИЕ. Определение. За и>саун>ой линейной оболочкой иножества Е лс,кентов Н называе>исн за.ныканое указанного лонеала Замкнутая линейная оболочка есть надпространство, и характерное свойсгво принадлежащих ему элене>пое х состоит в следук>щем: ля любого заданного положительного в существует такое конечное „о,ожество элементов х,, хя, х„, принадлежащих в, и такие числа с», что 466 1147 пространство Гильввртл и, следовательно: !>Лр„(Л)!' -"!>>Лф,х!!' ° 1>Л8>у,",', т. е / Ьр (Л) / Я ( >Лр (Л) >Л)> (Л), Отсюда видно, что существует интеграл !81) м м лр (л) лр„(л) (' , 'лр (л); ар (л),) лр (л) (249) Если на интервале Ьа функция р(Л) постоя>ша, то н !Ла)Л,х=О, и соответствующее выражение (250) не имеет смысла. Мы условимся такие не имеющие смысла члены выбрасывать из дальнейших формул. В силу (183) и (247) остальные элементы (250) попарно ортогональны и нормированы.
Коэффициенты Фурье элемента у относительно системы (250) имеют вид (у ая8>х) д чл 04 У Д,р(Л) Лса,р(Л) ' Квадрат нормы разности элемента у и его ряда Фурье выражается, как известно 1121), формулой л л Ь 2 ь'„р<л> 5а8>х!~'=~~у~~' ~.! а",,рр>"' й-! ь=! (251) что приводит к неравенству Бесселя ' Ь (Л) ' ' ~,р (Л) й=! (252) и в пределе: (253) Теорема 1. Если уг--С„л>о и.неегл лгесгло формула >>У(а,) ~р (Л) я> (254) Мы покажем дальше, что если у~С, то этот интеграл равен ))у)1'. Разобьем прол>ежуток 1л>, М) на частичные проме>куп<н Ьа(и=1, 2 ..., л) и составим следующие элементы пространства Еб аяйлх (250) у'д,р(л) ' непРерыаный простоп спектР 46"! 14У[ Если у(--С, то, в силу того, что С„есть замкнутая линеиная б лочка й,х, для любого заданного положительного а существует та кое конечное множество элементов йл х(в=1, 2 ..., р) из й,х Я и такие числа с„что с йл х+г и [!г[(а.
(255) 5 ! 11римем точки Л,(а=1, 2, ..., р) за точки деления промежутка [лл, л(4[, добавив еще точки Л,=т и Лрь, — Л4, если ик не было среди прежних Л„и введел» полученные таким образом часгичные промежутки [Л,, Л,[ (а=1, 2,, р+1), обозначая их через 5,', Мы имеем йл =0 и й, =Е и можем написать, вводя обычное о Р+! обозначение д,йл=йл,— йл,-л: йл,=ЛЛлйлр йл,=ййл+Мл' йл.=лЛлйл+б
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
