1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Этот н следующий параграфы посвящены излолгенню операций нзд подпространствами и свойств операции проэ<гтирования. Это будет нам необходимо в дальнейшем при изложении теории самосопряженнык операторов. 441 199) опаглцип над подпаостюлнствлми Пусть 7.а (й=-!, 2, ..., гл) — попарно ортогональные подпространства. Введем понятие об их сумме [ср.
!22!: 1.=7.)(э 7.я® ... Я 7.. (146) Через 7. мы обозначаем множество элементов х вида (147) х=х,-,-х,+ ....)-х, где ха е 7.ю Из ортогональности 7.а следуе~, что хь = Рс х ()г = 1, 2, , гл), и имеет место равенство ))х)'=~гх) (я+),'х,,:'+ ... +',)~х (,'. Нетрудно показать, что 7. — подпространство. Оно называется ортогональной суммой подпространства 7.„.
Рассмотрим теп рь бесконечную сумму попарно ортогональных подпространств: Л = 7.г® 7.,Я 7.а® (148) Через 7. обозначаем множество элементов х, представимых в виде суммы сходящегося ряда х=х, +ха+ха+ (! 49) где ха е 7.д. Написанное равенство равносильно следующему 11221: ,,'х),'= х,'1Я+~)х,')Я+1ха))'+ ..., (150) и при его выполнении х =Рс х. Если х — любой элемен~ Л, ха= л = Рс х и ащ(х) =х, +х,+ ... + х, то (151) Равенство (1оО) равносильно ) х — ащ(х)1 — 0 при л) — сс).
Нетрудно видеть, что 7.— линеал. Покажем, что 7.— подпространство. Пусть хом Е 7. и хнн =)х при л — сю. Надо доказать, что и х Е С. Имеем очевидное неравенство ! х — Ящ (х), ~- () х — х 1 + ! х — ащ (х " ) ') + ! Ящ (х — х) /. Но а (хью — х) есть проекция хью — х в подпространсгво ).г®Ея® ... ЯУ., так что /'ащ(х(") — х),!(/)х(") — х:(, и можем написать (л) ~'+ ) (л) ( .(л))1 (152) Пусть задано а)0. Фиксируем такое и, что 1х — х(")')» —,'. 3' Но '1х(") — а (.с("') ~ =.—; при всех достаточно больших )и, ибо 442 [139 пгоствлнсгво Гильзвг!'л хоо Я Е, и из (152) следует !х — а (х),", =.- а, т. е.х Я !', и докатя. но, что г-полпространство.
Элеменг Рту при л!обом у е- )т' представим в виде (153) Ргу=аг-г вя —;— где г„= Рс (Рту). Но, поскольку !'ь входит в Е, мы имеем Рс(Рс у)=Рс у, т. е. РсРс =Рс, и, переходя к сопряженным ь и й й' операторам Рс Рс=Рс, откуда гь=Р! у, и формула (153) переписывается в виде (154) Рту= Рс,у+ Рс!у+ Р.„у+ т. е Рс = Рс, + Рс„+ Рг, + (155) причем сходимосгь ряда надо понимать в смысле сильной сходимости последовательности операторов. Отметим, что если хн хм ... — попарно оргогональные и нормированные элементы, то, считая, что каакдый из них х„ порождает одномерное подпространство !'.ь элементов ахы где а — любое комплексное число, мы имеем ортогональную сумму этих подпространств, образованную элементами вида ~~~ сьхы где ряд, сосгавляемый из чисел [сь[', сходится, и проектор в подпространство 1 имеет вид Ргу= ~1 алхы ь где аьхь=Рс у и аь — — (у, хь). Говорят, что полпространство М есть часть подпрост ра истаа 1.
(Мс- !'.), если все элементы М входят в Е. При этом разностью подпространств! Я М называют множество элементов !., ортогональных М[122[. Еслиобозначить Е(ЭЛ4=Мь то Е=МЯМо и подпространства М и М, взаимно дополнительны по отношению к !. [122[. Произведением полпространств !' !1я называется множество элементов, обв!их 1.! и уп Нетрудно показать, что это множество есть полпространство. Это определение произведения применимо и к любому конечному или бесконечному числу подпространств. 140.
Операторы проектирования. Мы видели, что оператор проектирования Рс в подпространство 1 есть самосопряженный оператор с нормой единица (исключая случай, когда Рс — оператор аннулирования [124[). Из его определения непосредственно следует Р!" = Р (156) 443 140! опвеатоеы пеовктиеовлиия и потому (Рсх, х)=(Рсьх, х) =(Рсх, Рсх) =' Рсх") О, Рс — положительный оператор. Локан<ем некоторые теоремы о проекторах. Теорема 1. Еслгг А есть са.иосопряженный оператор, удовлетворяющий соотношению (! 57) то А есгпь проекигор Рс в подпространство 7., образованное элементами у=Ах, когда х пробегает все Н. Множество 7.
элементов у=Ах, когда х пробегает Н, в силу дистрибутивности оператора Л, есть линеал, Локажем, что 7. есть надпространство, Пусть у„ — последовательность элементов из 7 и у„ =)у. Надо доказать, что у С й. Принимая во внимание, что у„ ~ ь, можем утверждать, что су~пествуют ~якие элементы х„, что у„=Ах„, или, в силу (157), у„=А(Ах„), т. е. у„=Ау„, откуда, переходя к пределу и пользуясь непрерывностью оператора А, получим у= Ау и, следовательно, у С 7..
Лля доказательства теоремы нам остается показать, что элемент (х — Лх) ортогоналеп любому элементу из 7., т. е. ортогонален элементу Аг, где г — любой эле. мент из Н. Мы имеем (х — Ах, Аг)=(х, Аг) — (Ах, Ае). В силу самосопряженности А мы можем перекинуть А с первого элемента х на второй элемент г. Таким образом, получим (х — Ах, Аг)=(х, Аг) — (х, Ага) и из (157) следует, чго правая часть равна нулю, т.
е. (х — Ах, Аг) = О, и аеорема доказана. Назовем два проектора Рс и Рм взаимно ортогональными, если выполнено условие (158) РсРы=о, причем символ О, стоящий справа, обозначает оператор аннулирования. Переходя в формуле (158) к сопряженным операторам и принимая во внимание самосопряженносгь проектора, получим, наряду с (158), формулу (159) РмРс = О Теорема 2. Для того чтобы проекторы Рс и Рм были взаимно ортогональны, необходилго и достаточно, чгпобы надпространства 7. и М были взаимно ортогональны. Локазываем необходил~осчь.
Если бы 7. и М не были взаимно ортогональными, то существовал бы элемент х„, принадлежащий М и неоргогональпый Е. Лла гакого элеменга мы полУчили бы Рих=х и, [140 пгостелнстзо Гильзвятл следовательно, Рс(Рмх) = Рсх =,.' О, что прогиворечит (158). Дока. зываем достаточность. Если Е 1 М, то Рмх ортогонально к Е для любого элемента х, и, следовательно, Рс(Рмх) = О, т. е. формула (158) справедлива. Теорема 3. Для того чтобы су.има Рс+Рм была проектором, необходи,ио и достапгочно, чтобы надпространства Е и М были взаимно ортогональны. Если зто условие выполнено, то Рс+ Ри есть проектор в Е ЯМ.
!(оказываем необходимость. Пусть Рс+ Рм есть проектор. При этом мы должны иметь, в силу (156), (Рс+ Рм) (Рс+ Рм) = Рс + Рль (160) и, раскрывая скобки и принимая во внимание, что Рс = Рс и Рм =Р,и, получим Рсрм + Рмр, = О, (161) Умножаем слева на Рс. ),Р +РсрьгР,=О. (162) Умножая это равенство справа на Рг, получаем формулу РсРмРс = О, которая, в силу (162), привалит нас к формуле Рс Рм = О, из которой, в силу теоремы 1, и слелует, что Е и М взаимно ортогональны.
Локазываем достаточность. Если Е и М взаимно ортогональны, то, в силу (158) и (159), выполняется равенство (161), а тем самым и равенство (Рс + Р,л)' = — Рс -[- Рьь и, в силу теоремы 1, Рс + Рм есть проектор. Полпространство, соответствуюнгее этому проектору, определяется формулой у = (Р, + Рм) х = Р„х + Рмх, (163) где х пробегает Н. Слагаемое Рсх~: Е и слагаемое Рмх( — М. Такилг образом, любой элемент у, опрелеляемый формулой (163), принадлежит ЕЯМ.
Наоборог, если мы возьмем любой элемент и+о, принадлежащий ! ЯМ, причем и(-!. и в(-М, то, подставляя в формулу (163) х=и+о, получим у=гг-Г-гю. Таким образом, формула (163) определяет действительно подпространство Е Я М, и теорема таким образом доказана. Говорят, по оператор Рь, есгь часть оператора Ры если выполнено условие (164) Рсрм = Рм. Перехоля в этой формуле к сопряженным операторам, получим слелующую формулу: (165) Рлг Рс = Рм Теорема 4. Для того чгпобы Рм было частью Рс, необходи.ио и досчпапьоьно, чтобы подпросльранство М было частью под- 445 опавлтоиы пеовктиеовлния 140) проспгрансгггва Е.
Зггго условие равносильно то.иу, чпго лри вслмо.и х :,, Рмх '! -. ~ Рсх 1, (166) или тому, что Рм«= р, (167) Если выполнено условие (!64) и мы возьмем элемент хь, принадлежащий М, то Рмхь =ха и из (164) следует, 'ио Рсх,=х,, т. е. х,~ Е и М есть часть 7.. Наоборот, если М есть часть 7, то при любом выборе х элемент Рмх принадлежит М, а следовательно, и 7, а потому Рс(Рмх)=Рмх, т.
е. условие (164) выполнено. г!ри этом, согласно формуле (!65), мы можем написать для любого элемента х: !! Рм х!!'= ),' Рм (Рс х),' (( Рс х (, опгуда вытекает неравенство (93). Покажем теперь, наоборот, что из неравенсгва (93) следует, что М есть часть Е. Если бы это было не так, то сущесгвовал бы элемент х,, принадлежащий М и не принадлежащий Е. 1(ля этого элемента мы имели бы ( Рм хьг=)хь(! и (~ Рсх, !(~х„(, что противоречит(166). 11аконеп, неравенство (166), в силу (!57), мы люжем записать в виде (Ргх, х))(Рмх, х) или ((Рс — Рм)х, х))0, откуда и следует, что (167) равносильно (166); теорема полностью доказана. Теорема 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
