1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 88
Текст из файла (страница 88)
У.)!:==-!(х уд) — (х. у.)! + !(х.. уд) — (х., у.)! или !(х, уй) — (х„, у.)!~!(хй. уд) — (х.. И!+!(х., уд — у.) !. 419 В««олнз ««впггть«в««ь«а опаглтоаы 1зз[ Пришивая во внимание, что из х„— 'хо следуег существование ол. якого числа т)0, что 1[х„[~т и используя неравенство Буняковского, получим 1(х,, уо) — (х., у.)1~ т 1'уо — у„[1+1(хы уо) — (х, уо)1 Первое слагаемое справа — О, ибо у„=)у,, а второе — О, ибо х "-' хы Таким образом, (х„, у„) — (х,, у,), и теорема доказана. Теорема 2. Если х„— '"' х, и ',1 х„1, '— 1 х, 11, то х„=)х,.
Мы имеем [1х,— х„Р=11х„1 +«х„'1' — (х„, х,) — (х,, х„). Из Условий теоРел«ы следУет, что (х„, хо) — 11х '[«, (хо, х„) — 11хо[1о и 1х„,о — 11хо11«, и, следовательно, 1,'х,— х„11о — О, что и требовалось доказать.
Эта теорема, как указано в [1011, имеет место и для некоторых пространств типа В. 133. Вполне непрерывные операторы. Мы имели определение вполне непрерывного оператора для пространства типа В и гем самым для Н. Вполне непрерывный опера гор в Н есть такой линейный оператор, который преобразует всякое ограниченное в Н множество в компактное, Мы знаем, что всякий линейный оператор преобразует компактное множество в компактное.
Отметим, что оператор тождественного преобразования ««е вполне непрерывен. Он преобразует сферу 11х ,'! ( 1 (ограниченное множество) биоднозначно в себя, а такая сфера некол«- пактна. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять какую-нибудь бесконечную ортонормированную последовательность элементов ао (й= 1, 2,...).
Она ограничена, ибо 1,'ео11= 1, но некомпактна, так как 1 а — а 11 = )/2 при р ~ о. Мы дадйм ниже два новых определения вполне непрерывного оператора и докажем их равносильность указанному выше основному определению. Предварительно сделаем одно простое замечание. Если из двух последовательностей х„ и у, одна сходится слабо, а другая сильно соответственно к х, и у„ а А — ограниченный линейный оператор, то 11ш (Ах„, у„) =(Ахо, уо). (69) Эго вытекает непосредственно из теоремы 1 [132] и того факга, что если х„— "'х„, то Ах„— '"' Ах, и если х„=)х,, то Ахч ==)Ах,. ««ад««««теперь два новых определения вполне непрерывного оператора. Определение 1. Говоря«п, что линейный оператор А вполне непрерывен, если формула (69) имеет место для любых последовательностей х„п у„, слабо сходя«П««хся к х„п у„.
Определение 2. Говорят, что линейный опе1«ап«ор А вполне непрерь«вен, если из х„— "' хо следуе«п Ах„=)Ах„. 420 (166 пгостгаиство Гильввгтл Покажем, что эти определения равноспльпьь Пусть А удовле. творяет условию (69) для слабо сходящихся последовательностеи х„ и у„. Мы можем написать 1~ ~Ах Ахв ~~~ = (Ах, Ах — Лха) (Ахя, Ахл Лхв) Если х„.жх,, то Ах„— Ах, ~. О, и оба члена второи части, в силу (69), стремятся к нулю, т. е. )Ах„— Ах,1'-и 0 или Ах„= — )Ах,. Таким образом, из первого определения выгекаег второе. Положим теперь, что из х„-ь х, следует Ах„=)Ахь.
При эгом формула (69) непосредственно следует из теоремы 1. 1!мея равносильность указанных двух определений, для доказательства рзвносильности иа основному определению достаточно доказать, что основное определение равносильно определению 2. Полоаким, ччо Л удовлетворяет определению 2 и х„ — ограниченная последовательность элементов. Мы можем выбрать подпоследовательность х„, гак, что х„в -'~;х, и тем самым, в силу определения 2, Ах„~ — )Ах, т. е. множество Ах„ компактно, и из определения 2 следует основное определение.
Положим наоборот, что А удовлетворяе~ основночу определению, и пусть х„-'-' х,. Надо доказать, что Ах„ =)Ах„. 1оказываем от обратного. Пусть Ах„ не = Ах,, т. е. су~иествует такая подпоследовательность значков, что 1!Ах„— Ах,'!~а)0. В силу основного определения пв множество Ах„компзктно, и можно считать, что Ах„„сильно сходится к некоторому элементу х', который, в силу 1Ахп — Ахя,",~ = а) О, должен быть о~личен от Ах,. Но х„"' хя и, следовзсл, пв в тельно, Ах„,.'Ах„а по предыдущему Ах„, =)х' ~ Ах, и тем более Ах„„-ж х' и- 'Ах,. Мы получили противоречие. Тзким образом, докзззно, что новые определения вполне непрерывного оператора равносильны основному определен но.
В дальнейшем мы выясним понятие слабой сходимостн в 1а и Теорема. Еелп А -+ линейный оператор и АвА вполне непрерывен, гпо и А вполне непрерывен. Пусть х„(п = 1, 2, ...) — ограниченная последовательность элементов ((х„(а), По условию теоремы А* Ах„компактна, т. е. имеется сходящаяся подпоследовательность АвАх„. Покажем, что и Ах„— сходягпаяся подпоследовательностач о~куда и буде~ следовать теорема.
Мы имеем (~Ах„~ — Ах„,~!'=(АзА(х„„— х„,), х„— х„,) ( Ввиду скодимости последовательности А*Ах„правая часть — ьО при пь и пг-ьсо, а, следовательно, и ((Ах„~ — Ах„,!-+ О, т. е. Ах„— сходящаяся последовательность. пяостглнствт Н и 7я 421 134) Следствие. Еслгг А вполне непрерывен, то и Аь вполне непрерывен. Если А вполне непрерывен, то вполне непрерывен оператор ААь = (А')в А"", но, тогда, соглзсно теореме 2, примененной к А*, „ А* — вполне непрерывный оперзтор. Напомним следующее свойсгво последовательностей операторов: если последовательность А„вполне непрерывных оперзторов сходится по норме к линейному оперзтору А, то А — также вполне непрерывный оператор (103) Отметим специальный класс вполне непрерывных операторов. Определение.
Лггнейный операгггор Р называется конечиомерпым, если ои может быть представлен в виде (70) Рх= ~ (х, оь)пь, ь-г где гг„п ггь (/А = 1, 2,..., гп) — фиксированные элементы Н. Нетрудно видеть, что конечномерный оператор вполне н е п р е р ы в е н. Лействительно, из х„— '- хь следует (х„, пь) -г -г. (хгг, и„) и, в силу (70), Рх„='~Рхд.
Из сказанного выше непосредственно следуег, что если А„— последовательность конечномерных операторов, стремящаяся по норме к линейному оператору А, то А — вполне непрерывный оператор. Мы покажем в следующем параграфе, что всякий вполне непрерывный оператор может быть представлен как предел по норме последовательности конечномерных операторов. 134. Пространства Н и Гя. Пусть ея, (7 1) какая-либо полная ортонормированная система в Н.
Пользуясь ею, мы можем отобразить Н биоднозначпо в пространство (а, элементами которого являются бесконечные последовательносги комплексных чисел ((г, 1„...) при условии, что ряд У!( ~я (72) ь-г сходится 1121]. Любой элемент я (:-Н харзктеризуется своими коэффициентами Фурье: чь = (х, «ь), и имеет место предсгзвление х = Еаеь. У (73) ь=г Наоборот, если дан элемент ((ь (я ,) из 7„ то ряд (73) сходится в Н и дает соответствующий элемент из Н.
Соответствие это 422 [124 пгоствлнство гильвввтл биоднозначно, причем скалярное произведение в Н равно скалярному произведению соответствующих элементов 7, (60, 121]: ъч (х, у)= т Еьт,я ь=! (1, О, О, О, ...); (О, 1, О, О, ...); (О, О, 1, О, ...); ... ПУсть Е (Ен Е„...) — некотоРый элемент 7я и Еоо (Ен Е„..., Е„, О,...)— урезанный элемент, у которого первые л-составляющих равны соответствующим составляющим Е, а остальные равны нулю. Мы имеем и, в силу сходилгости ряда (72), Е'"1 =)Е в (я. Пусть А — некоторый линейный оператор в Н. Принимая во внимание его непрерывность и формулу (73), можем написать у=Ах= г ЕьА«„. (74) Составляющие (ч)и тн, ...) элемента 7я, соответствующего элементу у, определятся формулой т1,=(у, «,)= ~ Еь(А»„, «,). и=~ (75) Мы использовали при этом непрерывносгь скалярного произведения.
Вводя числа аы=(А ы «), (76) видим, что линейному оператору А в Н соответствуег в У, оператор ,' аы,ы ь=! (77) где х соответствует (Ен Е,, ...) и у — (тп тн, ...). Тем самым,:~х~ равна норме соответствующего элемента в (я и скодимосги в Н и 7ч равносильны. Мы имеем, таким образом, изоморфное отображение Н в /я Элеменгааг «ь ортонормировашюй системы (71) соответствуют следующие элементы 7я: пяостялнствл Н и 423 134) кот торып опрелеляется бесконечной матрипей с элементами а„ = (А „, «,), Сопрггкеппому оператору А" будет соогветствовагь матрипа с элементами (А'«ю «!)=(«и А«,) — (А« т.
е. я ам=а н (78) Самосопряженный оператор характеризуется равенством а„, = апь (79) Введем множество Е элементов Н, представимых в виде где 1» — любые комплексные числа и т — фиксированное пелое положительное число. Мы имеем : "=(х, «„), и нетрудно показать, что Š— подпространство. Ортогональное к нему подпространство А4 есть, очевидно, множество элементов х, представимых в виде х= /г чг+1 тле .'л †~ак комплексные числа, что ряд ~1ь! а =и+! (80) сходится.
Пространство Н предсгавимо в виде [122]: Н=Е®А4. Обозначая через Рг и Рм проекторы в Л и А4, имеем Е= Рс+ Рм (81) (82) В силу (82): А = А, + Ая. Поскольку Р«Ах ~ Е при любом хЕН: Р«Ах= ~~~ ая«я, где а„=(Р«Ах, «л)=(Ах, Рс«я)=(Ах, «„)=(х, А*«я), Пусть А — некоторый линейныи оператор.
Введем следующие два оператора: Аг — — РсА; А, = РжА. (83) 1134 424 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬВБРТА т. е. Р»Ах=А,х= У (х, Ав«»)«», »=! откуда следует, гго Р»А=А! есть конечномерныд оператор. Совершенно аналогично имеем А,х= У (Ах, «»)«»= 5 (х, Ав«») «,. (85) »=~+! »=»г+! Таким образом, элементу Аах будет соответствовать элемент ч„ 1м ...), составляющие которого определяются формулами с» = 0 при й ( т и 6» = (Ах, «„) = (х, А*«„) при я ) т. (86) Положим теперь, что А — вполне непрерывныи оператор, и У есть множество нормированных элементов (!~х(=!). При этом, если х~ У, то Ах — компактное множество, и тем самым будет компактным и соответствующее множество в /ч. Составляющие элементов этого множествз определяются формулой $» — — (Ах, «»), и, в силу компактности, мы можем утверждать, что при любом нормированном х существует такое положительное число С, что ~~ ~ (Ах, «„) )Я =.
С »=! и что при лгобом задзнном а)0 существует такое целое положительное число т„что 192) ~Р )(Ах, «»)(ч(ач. » »!+! Но из (85) следует, что ()А,х()"= ~К )(Ах, «„) !Я, »=»г+! и потому при любом заданном а)0 существует такое т=т„что )~А»х1(а при 1х1=1, т. е. 1А,!((а. Мы пришли к следующей теореме. Теорема 1. Еслц А — вполне непрерывный опера!пор и а)0— любое заданное число, гпо сугцествует такое целое положительное число т, что для определенного выше оператора А„лгы нлгеелг '1А,ф(а. линвйныв твав«гния со вполнв нвпеашявными опяелтовлми 42б Взяв последовательность положительных чисел и„, стремящуюся нулю, получим последовательность конечномерных операторов А; оы ,ю что ~А — А~,:а~1 стремится к нулю, т, е.
всякий в полне н прерывный оператор есть предел по норме конечномерных операторов. Принимая во внимание сказанное в 1133~, мы можем утверждать, что следуюнтее определение вполне непрерывного оператора равно„льно исходному (линейный оператор, преобразующий всякое ограниченное множество в компактное). Определение. Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он является пределом по норме последовательности яояечномерных операторов. 135. Линейные уравнения со вполне непрерывными операторами. Рассмотрим в пространстве Н вопрос о разрешимости уравнений вида х — Ах=у, (87) х — А*х=у, (88) ~,А,~,'=1~А;~~(1 (89) и уравнения (87) и (88) можно переписать в виде (Š— А,) х — А,х=у, (Š— А*ь) х — А,*х =у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
