1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 85
Текст из файла (страница 85)
В дальнеИшем мы увидим, что могут осущесгвляться все указанные случаи. Сейчас мы дадим простой теорегическиИ критерий, при помощи которого мо.кно различигь эти случаи. Рассмотрим сзмосопряженные положительные (неотрицательные) операторы АнА н АА':". Нижние границы эгих операторов, которые мы обозначим через гп(А-'А) и т(ААв), больше нуля или равны нулю [126). Положим, чго существует по крайней мере один обратный слева: ВА=Е, и пусть 7г) О есть норма В. Мы имеем [, ВАх,[=1х, и, с другой стороны, [[ВАх'=-7г [[Ах,", откудз следует (а[[Ах [- [х, и [Лх, '=- — [[х[.
1 л При этом (АгАх, х)гм —,"х[', и, следовательно, т(АлА) ~ — „т.е. лг ' т(А"А))0. Покзжем теперь, что и наоборог, если т(АвА))О, то А имеег ограниченный обратныи слева. В дзльнейшеч покажем, что если ни княя граница самосопряженного оперзторз Е положительна, то Е имеет ограниченныи обратный оператор [129).
Применяя эго к Е=АаА, видим, что существует такой огрзниченныИ опера- тоР О, что г).4лЛ=Е, т. е. (Еч4а)А=Е, откуда и следует, что ггЛл есть ограпиченныи обратный слева для А. Точно так же, для того, чтобы существовал по крзйнеи мере один огрзпиченшяй обрат- ныИ справа, необходимо и достаточно, чтобы нг(ААл)) О. [128 408 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬББРТА Из этих рзссуждении непосредственно следует, что для осуществления указанных выше четырех случаев необходимы и достаточны условия: !. лг(АаА))0 и т(ААв))0; !!.
ш(А "А)=0 и т(АА*)=0; 1!!. т(АРА)) 0 и т(ААв)=0; !Н. т(А*А)=0 и лг(АА*)) О. Отметим, что если А коммутирует с АЯ (например, А=А"', т. е. А — самосопряженный оператор), то случаи Ш и 1Н не могут иметь места. Принимая во внимание формулы (б!) и (62), можем сформулировать результат в первом случае следующим образом: д л я т о г о чтобы существовал обратный оператор слева и справа, необходимо и достаточно супгествование такого положительного числа Е, что для любого элемента имеют место неравенства: [(Ах!, «Е[х(! и !!Ачх~[« «г'[х[!. Во всем сказанном выше мы нигде не использовали дистрибутивности операторов В и С.
Важно лишь, что они определены во всем Н и ограничены. В случае ! единственный обратный слева и справа оператор есть, как мы видели выше, обязательно линепныи оператор. В случае !!1 имеется линейный оператор В = ВА*, обратный слева и аналогично в случае !Н. В дальнейшем мы будем иметь дело с обрагным дистрибутивным оператором А ', определенным на гс (А).
Отме~им еще, что если ВА=Е, то А*В* =Е и, следовзтельно, если для А имеет место случай 1П, то для А* имеет место случай !Н. Обратные операторы играют основную роль при решении уравнения Ах=у, где у — заданный и х — искомый элементы. Если существует обратный операгор В слева, то, умножая обе части уравнения на В, получим обязательное равенство х= Ву, т. е. при наличии обратно~о оператора слева решение, если оно есть, представимо в виде х= Ву и потому единственно. Если же существует обратныя оператор С справз, то, подставляя х=Су в урзвнение Ах =у, очевидно, удовлетворим ему, т.
е. существовзние обратного оператора справа гарантирует существование решения х= Су. 128. Спектр оператора. Основной задачей в приложениях теории операторов к математическому анализу является решение однородного уравнения Ах=Лх (60), т. е. (А — ЛЕ)х=0, (60,) и неоднородного уравнения Ах=Лх+у, (61), т. е.
(А — ЛЕ)х=у, (61,) где х — искомый элемент, у — заданный элемент, Л вЂ” численный параметр. Число Л называется собственным значением оператора А, если однородное уравнение (60) имеет решения, отличные от нулевого элемента; эти решения называются собственными 409 спвкГР опвентовл 128! ~лементами оператора А, соответствующими ука зз иному собственному значению. Если Л есть собственное значение А, и мы присоединив к соответствующим собственным элементам нулевой элемент, который удовлетворяет однородному уравнению (60) при любом Л, то, в силу линейности и однородности уравнения (61) и непрерывносги опера тора А, можем утверждать, что упомянутое множество собственных элементов с пРисоединенным к нечУ нулевым элементом образует надпространство.
Мьг будем называть его подпространством собственных элем е н т о в, соответствующих указанному собственному значению. Если это подпространство собственных элементов имеег конечную размерность г, т. е. если максимальное число линейно независимых элементов, принадлежащих указанному водпространству, равно конечному числу г, то говорят, что соответствующее собственное значение Л имеет ранг или кратность г. Если упомянутое полпространство собственных элементов бесконечномерно, то говорят, что р а н г соответствующего собственного значения равен бе с к о не ч ности.
В случае самосопряженного оператора А имеет место следующая теорема: Теорема 1. Собственные значения са.иосоггряженного оператора вещественны и собственные элементы, соответствующие различным собственным значения.н, взаи,ино ортогональньи Пусть Л вЂ” собственное значение самосопряженного оператора А и х — соответствующий собственный элемент (отличный от нулевого).
Умножая обе части (60,) справа на х, получим (Ах, х) = Л )! х ~/Я. В силу самосопряженности А, левая часть написанного равенства вещественна, а следовательно, и число Л вещественно. Пусть Л' и Л' — два различных собственных значения, а х' и х" — соответствующие собственные элементы: Ах' = Л'х', Ах" = Л'х'. Умножаем скалярно первое из равенств справа на х', второе— слева на х' и почлеггно вычитаем полученные равенс~ва: (Ах', х') — (х', Ах')=(Л' — Л")(х', х'). Левая часть равна нулю, в силу самосопряженности А, и Л'— — Л ~'= О. Таким образом, (х', х )= О, и теорема доказана. Решение неоднородного уравнения (61,) сводится к нахождению оператора (А — ЛЕ) ', обратного оператору А — ЛЕ.
Если Л есть собственное значение оператора А, то однородное уравнение (60,) имеет решения, отличные от нулевого элемента, и, в силу сказанного [127), обратный оператор (А — ЛЕ) ', наверное, не существует. Если Л не есть собственное значение оператора А, то обратный 1128 410 пгостелнстио Гильвветь оператор (А — Л,Е) ' существует, но он может быть ограниченныч обратным оператором или просто обратным оператороч. Отметим, что параметр Л при этом может быть любым комплексным числом.
Введем следующее определение. Определение. Значение л или точка Л (плоскости ко.иплексного пере.пенного) называетсн регулярной точкой оператора А, если операпгор А — ЛЕ и,веет ограниченный обратный операпгор )ел=(А ЛЕ) ' (62) и этот линейный операигор )сь, определенньгй для всех регулярных точек )., называется резольвентой оператора А.
Спектром операигора А называется лгножесгпво гпочтс Л, копгорые не являются регулярнылгп точка.ии оператора А. В силу сказанного выше, всякое собственное значение оператора А приналлежит его спектру. В дальнейшем мы увидим, что спектру могут принадлежать и такие значения л, которые не являются собственными значениями.
Если ) есть точка регулярности, то при любом заданном элементе у неоднородное уравнение (61,) имеет единственное решение, определяемое формулой х=(А — ЛЕ) 'у. Если Л не есть точка регулярности и не совпадает с собственным значением оператора А, то уравнение (61,) имеет также единственное решение, если у принадлежит линеалу )с(А — ЛЕ). Эгот линеал состои~ из элементов у, определяемых формулой у=(А — ЛЕ)х (х Е И), (64) когда х пробегает все Н. Таким образом, на линеале )с(А — ЛЕ), если Л вЂ” не собственное значение, определен обратный опера~ар (А — ЛЕ) '. Если при этом Л не есть точка регулярности А, то и в этом случае о и е р а т о р (А — ЛЕ) ' называют резоль вен той А.
Теорема 2. Элементы )с(А — ЛЕ) ортогональны ко все.я решениям уравнения (Аь — ЛЕ) а= О. Утверждение теоремы непосредственно вытекает из очевидного равенства ((А — ЛЕ) х, е) = (х, (А* — ЛЕ) г). Отметим, что если А — самосопряженный оператор и Л вЂ” его собственное значение (оно вещественно), то из теоремы 2 следует, что элементы )с(А - — ЛЕ) ортогональны собственным элементам А, соответствующим собственному значению Л. В следующем параграфе мы докажем некоторые теоремы, которые характеризуют спектр самосопряженпого оператора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
