1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 89
Текст из файла (страница 89)
(90) (91) В силу (89) операторы (Š— А,) и (Š— А",) имеют ограниченные обратные. [131) Введем следующие обозначения: х=(Š— А,)х; у =(Š— А*,) 'у. (92) Уравнение (90) переписываем, вводя х вместо частям (91) применяем оператор (Š— А„') '. Таким чаем уравнения х — Вх=у, х — В"х= у, х, и к обеим образом, полу- (93) (94) где А — вполне непрерывный оператор, Аь — сопряженный с ним, у — заданный элемент Н и х — искомый. Как показал Ф. Рисе, основные теоремы теории интегральных уравнений (теоремы Фредгольма) остаются справедливыми для уравнений (87) и (88) не только в пространстве Н, но, как иы указали в (107), и в пространствах типа В.
Исследуем эти уравнения в Н. Фиксируем число т, входящее в построение операторов А, и Ая предыдущего параграфа так, чтобы иметь (Ая)(1. Тем самым и ~А,*)~(1. Итак, 426 !135 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬВВРГА где у, — заданный элемент и В= Аг(Š— А,) ', Вз =(Š— А2) ' А1", причем В* — операгор, сопряженный с В. Уравнение (94) равносильно (91), и решение уравнения (90) сводится к решению уравнения (93) и формуле х=(Š— Аз) 'х.
Таким образом, решение уравнений (90) и (91) сводится к решению уравнений (93) и (94). !.!апишем еще соответсгвуюпгие однородные уравнения: х — Вх=О, ) х — Вх'=О. ~ (95) Оп.ра1ор В=РАА(Š— А1) ' — конеп1омерный, иВх выражается формулой (84), в которой А надо заменить на А (Š— А») '. Матрица, соответствующая оператору В в ~„будет иметь элементы: а»1=(РАА(Š— А») гз1 а»)=(А(Š— А») 1аг Рга») (96) Но Ргг»=0 при гг)и, и, следовагельно, а»1 — — 0 при 12)ш. Пусть (1 и тп — составляющие элементов !2, соотвегствующих элеменгам х и у из Н.
Уравнение (93) в Ея принимает вид :.» — 7 а»1 11 =ТН„ 1=1 1»=1, 2...,, т1 1»=т+1, т Р2, „,~, (9 ) (98) где 1» — искомые и ч» — заданные числа. Таким образом, все $» при л) т известны, и решение уравнения (93) сводигся в !2 к решению системы и уравнений с гм неизвестными 1»(!1=1, 2,..., Гл): 1» — т а»1»г= 2)»+ 7 а», )Р (99) 1 =- т 4 ! 1» — я, аг»., —— 2)», у (100) 1»= — 1,2,...1 где 1, и 11, — составляющие элемепгов 12, соогвегсгву ощик элементам х и у из Н.
Опера1ору В" соответствует матрица а,"» = а,» 1134), так что уравнение (94) в Ря имеет вид 185) лингйныв гштвнгння со вполпв нгпязгывныии опв лтоглмп 427 Каждому Решению (С!", та °, с'" ) первых т уравнений написанной системы т т„— ~ ан и — — ты г=1 м=ьа,„., м! (10 !) .'ь = т!а+ ~ агД г=~ ю=т+ Ь ~и+2...А Отметим, что $т получаемые из (98) и (99) и (а из (!01) и (!02), таковы, что ряды с общим членом (~„'Я и ! с„!Я сходятся. Для 1» это непосредственно следует из (98), а для $а — из (102), если приня~ь во внимание сходимость рядов пой с общим членом (т)„! и )ага!'.
Последнее следует из того, что, в силу (96), аы — — ((Š— Аа) 'АвРган г,). (102) В однородном случае надо положить у„=уа = О. Однородная система (99) переписывается в виде (,— '5" а„Д=О г =-! и - ь г,..., пч и та=0 при й) т; сисгема (101) — в виде (103) $„ — ~г а,асг = 0 (104) г ! т=кг,...,м~ ~~ аЩ при Й) т. г 1 (! 05) Отметим, чго линейно независимые решения конечной однородной системы (104) порождают, в силу (105), линейно независимые решения всей однородной системы бесконечного числа уравнений, соответствующей однородному уравнению (94) в Н. Линейно зависимые Решения системы (104) порождают линейно зависимые решения всей системы.
Принимая во внимание основные результаты, касающиеся решения систем уравнений, и тот факс, что таблицы коэффициентов соответствует одно определенное решение (с!"', !'й ° °, 1 ", 1~'!. ь...) всей системы (100), каковы бы ни были остальные уа(а =т+ 1, т+ 2, ...), в котором остальные неизвестные( (А =т+ 1, т+ 2„..) определяются по формулам 428 [136 пяоствлнство Гильввгт» сиссем (103) и (104) имеют одинаковый ранг, мы получаем следуя, шую теорему: Теорема 1. Неоднородные уравнения (87) и (88) разреши, си при любых правых частях у тогда и только тогда, когда соот ветствующие однородные уравнения (у= 0) и.иеют только нуле. вое решение.
В етом случае решен»се уравнений (87) и (88) при любом у единственно. Однородные уравнения х — Ах= 0 и х— — Аьх= 0 илсеют одинаковое конечное число линейно независимых решенссй. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (87) в том случась когда однородное уравнение имеет решения, отличные от нулевого, и докажем для этого случая теорему.
Теорема 2. Для того чтобы в рассматриваемом случае неоднородное уравнение (87) имело решения, необходимо и достаточно следующее: свободный член у должен быть ортогонален ко всем решенинлс однородного уравнен»си х — А*х = О. (106) Необходимость. Проводим доказательство, не прибегая к 7». Пусть уравнение (87) имеет решение х,, т. е. хо — Ах„=у и пусть г — какое-либо решение уравнения (106), т. е. г — Аьг = О. Надо доказать, что (у, г)=0.
Имеем (у, г) = (хо — Ахо «) = (хо, г — А г) = (хо 0) = 0 Ло с тат о ч ность. Дано, что у ортогонально ко всем решениям (106), и надо доказать, что уравнение (87) имеет решения. Переходя в 7„мы имеем по условию 1» ),(„=о, »=с (107) где ($с, оо, ..., о„) — любое решение системы (104) и 1» при й) т определяются формулами (105). Подставляя эти выражения т» при й ) т, переписываем (!07) в виде ы ьь Ос (с)»+ ~ а»ст)с) Г» — — О. »=с с=ы С-с х — 1 Ах=у, (108) Принимая во внимание, что суммы, стоящие в круглых скобках, суть правые части уравнений (99), а ((и ч„..., о ) — любое решение системы (104), мы можем утверждать, что система (99) имеет решения [Ш»1 15], тем самым и уравнение (87) имеет решения, и теорема доказана. Рассмотрим теперь уравнение !88] линяиньш ге»знания со вполна нвпвягывными опаялтоилми 429 е А — вполне непРеРывный опеРатоР и !» — комплексныи пзРаметР.
где Оператор РА также вполне непрерывен, и к уравнению (108) применим и„,а доказанные выше чеоремы. В частности, уравнение (108) разшимо при лк1боч у (п притом однозначно), если однородное урав- нение х — рАх=О или Ах=Лх[) = — -! ! 1 и (109) А = .4, + А, = Р»А + РмА, причем фиксируем ог настолько большим, чтобы иметь неравенство 1 — ]]А,]]=д(1.
При этом операгор (Š— рА») имеет ограниченныб г обратный при р, ( †, и он представим рядом г ' (Š— ОА») ~ = Е+ 1»А»+ 1ьчАа+..., (110 ) 1 сходящимся по норме равномерно относительно р при ] 1»] щ. — + а [!31], где ь — достзточно чалое положительное число. Значения р, при которых уравнение имеет ненулевые решения, мы получим, если приравняем нулю определитель системы (103), т. е. определитель Ь с элементами 8»н — а„о где 3ьн — — 0 пРи й ~ 1 и 8»н — 1 пРи й = 1, и аьг=(Р»рА(Š— ОА») '«г аь) Принимая во внимание сходимость ряда (1!0), сказанное выше о предельном переходе для последовательности операторов и непреРывность скалярного произведения, можем угверждать, что аь,— 1 Регулярные функции в круге ]1»]( —.
Тем же свойством обладает, г очевидно, и определитель Ь, а потому уравнение Ь=О может иметь лишь конечное число корней, удовлетворяющих условию ] !»] ( — > что и требовалось доказать. имеет только нулевое решение (при 1» = О это очевидно). Если урав- нение (109) имеет решения, отличные от нулевого, то соответствую- шее значение 1, есть собственное значение оператора А. Локажем теперь теорему.
'Теорема 3. Может существовать лишь конечное число соб- ственных значенггй, удовлетворяющих условию ]) ] — г, где г— любое заданное положительное число. Иначе говоря, нам надо до- казать, что может существовать лишь конечное число значений !», 1 удовлетворяющих условию ]9] =. —, при которых уравнение (109) г ' имеет ненулевые значения.
»»оказагельство этого утверждения непо- средственно связано с той конструкцией, которую мы использовали при доказательстве теоремы 1. Положим, как и там, 430 1136 пРостРлнство гильвгРтл Доказанную теорему иначе можно формулировать так: собс Р венные значения Л вполне непрерывного оператора могут иметь предельной точкой только точку Л=О. Нз сказанного выше следует, что ранг всякого собственного значения Л, удовлетворяющего условию !Л,~ —,не превышает числат, ! г ! входящего в систему (103) при условии — !] А,]]=д(1. Если А— г ' несамосопряженный оператор, то он может и не иметь собственных значениИ ]1Ч; 13].
Ах=,5 (Ах, х,) х=,5 (х, х.)Льх,. (1! !) Сумма (111) может содержать как конечное, так и бесконе щое число слагаемых. Напомним еше, что собственные значения Л„и собственные элементы х„, образующие ортогональную нормированную систему, получаются в результате решения последовательных экстремальных задач для квадратичной формы (Ах, х). На этом и основано доказательсгво основной теоремы в !Ч томе. Положим, что сумма (111) содержит бесконечное число слагаемых. Пусть х — любой элемент Н. Составим разностгс Ъ~ г=х — (х, х„)хь.
л=! (112) 136. Вполне непрерывные самосопряженные операторы. Мы исследовали свойства спекчра и разложение по собсгвенным функпиям вполне непрерывного самосопряженного оператора в ]1Ч! 38, 39]. Все доказательства переносятся без всяких изменений и для пространства Н. Но в Н мы постулировзли полноту пространства, которой не пользовались в доказательствах ВУ тома.
Тем самым для Н мы получим новые реаультаты. Сначала сформулируем теорему, которая получается из результатов !Ч тома: напомним, что все собственные значения самосопряженного оператора вещественны. Теорема г. Всякий самосопряженный вполне непрерывньгй оператор А, отличный от оператора аннулирования, имеет по крайней мере одно собственное значение, отличное от нуля. Все собственные значения А имеют конечный ранг и вне любого промежутка ] — а, .+ а], где ч) О, льожет находиться лгьшь конечное число собственных значений. Всякий элемент вида Ах (х( — Н) разлагается в ряд Фурье по ортогональной норлтрованной слете,че собственньвх элементов х„, соответствуюи)их собственны.и значениям, отличным от нуля: 38] вполне нвпгвиывныв слмосопвяжюшыв опвелтогы 431 Иаписанпый ряд сходится [121].
В силу (111) ч~ А [х — У (х, хь)х„]=О. ь=! Отсюда видим, что «удовлетворяет уравнению А«=О, или А«=О«, (! 13) , е. г илн есть нулевой элемент или собственный элемент А, соответствуюпгий собственному значению ). = О. Пусть «н «м ... — полная оргонормированная система собственных элементов, соответствуюших собственному значению Л = О. Если ) = О не есгь собственное значение, то таких элементов не будет. Если Х = О собственное значение, то оно может быть как конечного, так и бесконечного ран~а. Принимая во внимание, что « есть решение уравнения (113), можем утверждать, что х — "5' (х, х,) ха=~'с!«„ ь=! (114) где сь=(х — (х, х„) х„, «,), — У ь ! х= ~~~ (х, х„)хь. (115) Замечание. Как и в случае интегральных уравнений [1Ч! 29], имеем длв самосопряженного вполне непрерывного оператора А или, принимая во внимание, что (х„, «,)=О [128], получим сь= =(х, «,), и из (114) следует, что любой элемент х разлагается в ряд Фурье по собственным элементам А, если принять во внимание собственные элементы, соответствующие собственному значению ) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
