1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Отсюда непосредственно следует, что если операторы А и В таковы, что при любом х имеем (Ах, х)=(Вх, х), то А=В. 126. Границы свмосопряженного оператора. Пусть А — само- сопряженный оператор. Принимая во внимание (5) и (33), мы можем написать ((Ах, х)((пд(х(', или, если принять, что )х',=1, то получил~ ! (Ах, х) ! ( пд. Таким образом, если взять всевозможные нормированные элементы х, т, е. такие элементы, что 1х.
'= 1, то множество вещественных чисел (Ах, х) ограничено снизу и сверху. Обозначим через т точную нижнюю грзницу и через М точную верхшою грзницу этого множества: т=1п1 (Ах, х); М=ьир(Ах, х). 1х„= ~ ,'~д1= ~ Числа т и М называются обычно границами самосопряже нногоо оператора А. Согласно определению точных границ, мы можем написать неравенства т((Ах, х)(М при )х~=1. (49) Принимая во внимание возможность вынесения постоянных множителей из скалярного произведения, можем написать для элемента х с любой нормой следующие неравенства: т1х[ч((Ах, х) (М [х['. (50) Оказывается, что норма оператора пд чрезвычайно просто выражается через его границы т и М, а именно имеет место следующая теорема: Теорема 1.
Норма пд равна паибольшелсу из двух чисел [т! и [М/, Доказательство этого утверждения является буквальным повторением доказательства теоремы 3 из [1Ч; 36 и 39[, в которой доказывается, что пд — — аир[(Ах, х) /, а это и совпадает с утверждением /.ь!= ~ формулированной теоремы. Отметим еще, что теорема 2 из [1Ч; 36[ совпадает с утверждением п, = пд, которое было докзззно в предыдущем параграфе. Введем некоторые новые понятия. Определение.
Садсосопряжениый оператор А называется положательяылс (неотрицательным), если соответствующий ему квадРапытиый функционал (Ах, х) гмО. Для положительного оператора характерным является неравенство т .= О, т. е. тот факт, что его нижняя граница неотрицательна. далее мы говорим, что сзмосопря- 404 [127 пгогтглнстио Гилъввгтл л У а;ьх; х„ ь ь=! (ат —— агь) принимает лишь неотрипательные значения. Положительность матрицы равносильна тому, что среди ее собственных значений нет отрипательных. Если (Ах, х) меняет знак при различном выборе х, то самосопряженныи оперзтор А нельзя, конечно, назвать ни положительным, ни отрипательным.
В случае конечномерного пространства вто будут те самосопряженные матрины, у которыя имеются собственные значения разных знаков. Теорема 2. Если А — самосопрлженный оператор, то А'— положительный оператор. Если А — любой линейный оператор, то операторы ААь и АьА — самосопрнженньье и положительные.
Первое утверждение непосредственно следует из формулы (Атх, х) =(Ах, Ах) =~~, Ах!)Я) О, и второе утверждение из формул (АА*х, х) =(Авх, Аех) ='~ Аьх(!я) О, (А'Ах,х) =(Ах, Ах) =1Ах(т) О. (51) (52) 127. Обратный оператор. Важным в теории операторов является понятие обратного оператора (ср.
понятие обратной матрицы в 1П,). Это понятие может быть определено различным образом. Бель настоящего параграфа — дать различные определения обратного оператора. В этом параграфе, как и выше, линейным оператором мы будем называть дистрибутивный, ограниченныи оператор, заданный на всем Н. Определение. Говорнт, что линейный оператор А имеет ограниченный обратный оператор В, если  — ограниченный оператор, определенный во все.м Н, и АВ=ВА=Е, (53) где Š— оператор тождественного преобразования. Ограниченность оператора В определяется обычным неравенством !!~Вх ~ (Лг )х!(.
Нетрудно видегь, что ограниченныи обратный оператор может быть только один. Действительно, если мы имеем АС=Е, то, умножая слева на В, пользуясь (оЗ) и принимая во внимание, что ВЕ=В и женныи оператор А больше самосопряжеьшого оператора В, и пишем А ) В, если А и В не совпадают и разность А — В есть положи. тельнып оператор.
Совершенно аналогично определяется отрипательныи оператор. Нзпомним, что в случае и-мерного пространства самосопряженная матрица называется положительной, если соответствующая ей форма Эрмита ОВРАТНЫИ ОПЕРАТОР 405 а71 ЕС= С, полу ~иы Е = С.
Определенпыи выше оператор В обозначается обычно символом А ', и мы имеем АА '=А' гА=Е. (54) Напишем формулу у=Ах (хЕН). (55) Поскольку А ' определен во всем Н, мы можем применить к обеим частям оператора А ' и получим х=А 'у. (56) Отсюда видно, что если А имеет ограниченный обратный оперзтор А ', то А производит биоднозначное преобразование пространства Н в себя, т. е. любому элементу х Е Н соответствует, согласно (55), определенный элемент у, и, наоборот, любому элементу у ~ Н соответствует определеннын элемент х, который определяегся формулои (56). Точно так же и А ' преобразует Н биоднозначно в себя.
Из дистрибутивности А вытекает, ыо и А ' — дистрибутивный оператор, т. е. А ' линейный оперзтор. Из (54) непосредственно следует, что (А ') '=А. (57) Можно дать более общее определение обратного оператора. Отметим прежде всего, что, в силу дистрибутивности линейного оператора, множество элементов у, определяемык формулой (55), есть некоторый линеал, который мы обозначали гт(А).
Укажем теперь то свойство, которым должен обладать оператор А для того, чтобы соответствие между элементами х из Н и элементами у из Й (А) было биоднозначным. В силу формулы (55), любому х из Н соответствует определенный элемент у из 77(А). Нам нздо, чтобы и, наоборот, любому элементу у из й (А) соответствовал определенный элемент х из Н.
Пусть х, и х, — два различные элемента из Н, а у, и у,— соответствующие элементы из й(А): у,=Ахб уз =Ахя Вычитая, получим уа — у, = А (ха — х,). Если бы оказалось, что у,=уь т. е. что рззличным элементам хг и х, из Н соответствует один и тот же элемент из 74(А), то мы получим А (х, — х,) = О, т. е. урзвнение Ах=О (58) должно иметь решения, отличные от нулевого элемента. Наоборот, если уравнение (58) имеег решение ха, очличное от нулевого, то различныл| элеменгам х=х, и х=б соответствует один и тот же )! 27 406 пгостглнство Гггльвгггтл элемент у=О. Таким образом, для того чтобы, согласно формуле (55), имелось биоднозначное соогветсгвие между элементами х из Н и элементами у из К(А), необходимо и достаточно, чтобы уравнение (58) имело только нулевое решение.
При этом я линеале К(А) определен оператор В, обратный А. Он переводи~ элемегп у из Я(А) в элементы х из Н так, что у выражается через х формулой (55), Этот оператор мы будем называть просто обратным оператору А в отличие от ограниченного обратного, который мы определим выше, Оператор В определен только на линеале К (А), когорый можег и не совпадать с Н, и мы ничего не можем утверждпь относггтельно ограниченности В. Но, в силу дистрибутивносги А, можем утверждзггь что В есть дистрибутивный оператор на линеале К(А). Обозначая В прежним символом А ', можем написать А '(Ах)=х, если х ч= Н и А(А 'х)=х, если х ~д В(А). Мы докажем дальше, что если уравнение (56) имеет только нулевое решение и Я(А) есть все Н, то вышеуказанный оператор В = А' ограничен, т.
е. А имеет ограниченный обратный )ср. 97). Положим, что оператор А имеет ограниченный обратный оператор, и в равенствах (53) перейдем к сопряженным операторам (А ')в ° А"'=Ам (А ')"'=Ем = Е. Отсюда следует формула (А ')" =(Ав) '. (59) формула (53) требует, чтобы ограниченный оператор В был обратным для А как слева, так и справа, и в этом случае мы его называли просто ограниченным обратным оператором, Рассмотрим теперь вопрос об ограниченных обратных операторах только слева или только справа. Мы говорим, что оперзтор А имеет о г р а н и ч е н н ы й обрати ы й с л е в а, или просто обратный слева, если существует такой, линейный оператор В, что ВА=Е. Точно так же, если АС=Е, то С называется ограниченным обратным справа.
Теорема 1. Если А имеет ло крайней лш(ге один обратный В слева и ло крайней лгере один обратный С справа, то имеется только один обратный слева, только один обратный справа и они совладают, т. е. сугйествуеггг ограниченный обратный оператор А '. По условию ВА = Е и АС=Е, откуда следует, что (ВА) С=С н В(АС)=В, Вевые части написанных равенств совпадают, а потому В= С, т. е. всякий левый обратный совпадает со всяким правым образным, а потому может иметься ~олька один левый обраюгый и толыго один правый обратный. Теорема 2.
Если существует единственный левый обратный, то сугцесгггвует и правый обрапгный. Если сугйеспгвует единстаен- 407 овглтныи опяглтоя 127[ „,н" правый обратный, то суагеснгвуст и левый обратный. В ,бапх случанх оба обратных едпнственнлг и совладаюиг (но глеореже 1). !окзжегг первое угверждение теоремы. Пусть имеегся единствен,гый обрашпгя оператор В слева, т. е. ВА=Е. Умножая слева па А, получим АВА=А или (А — Е) А =О, причем нуль в правоИ части обозначает оператор аннулирования, Лобаггляя к обеим частяч ВА =Е, лгожем написать (А — Е+ В) А =Е.
Но по условию В является единщвенным обратным слева, з потому АВ- — Е '-В=В, откуда АВ=Е, т. е. В является обрагныч и справа. Отметим еще, что если А имеет два рззличных обратных оператора В и С слева (или справа), то имеегся бесчисленное множество обратных операторов слева. 7(ействительно если ВА =Е и СА =Е, то негрудно проверитгь что оператор  — , 'а(С вЂ” В) при любом выборе числа а будет обратным слева: (В + аС вЂ” аВ) А =ВА+ аСА — аВА =Е+ аŠ— аЕ=Е. Из предыдущих результатов следует, что мыслимы следующие четыре случая: 1) существует единственный обратный слева и справа; И) не сущесгвует обратных ни слева, ни справа; П!) существует бесконечное множес~во обратных слева и ни одного спрзва; !Н) существует бесконечное множество оорзтньгх спрзвз и ни одного слева.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
