1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Пх — у)1 ыр (, 'х — » 1) = —; У. (( Р Р где Подставив в (220) вместо у (х) функцию (22!), получим 0=(т, ы (', х — у!) — ы, () х — у !)). (222) Согласно обозначению (200) это равенство люжно переписать в виде т (у) =т (у) длл у, расстокние которых до границы В больше (пах(рь р,). Рассмотрим совокупность Ра всех у (х) из С"( " (В), равных нулю вне некоторой области л)л, отстоищей от гранины В на расстоиние З, большее 2 шах(рь р,). Для таких Р (х) ил(еем т)л у(у)т (у)((у=((й, (р)= ~ Р(у)т (у)((у=(т, Р).
Ьл С другой стороны, было доказано, что ()и, З)) — ()и, Р) при р, О. СлеР)' о довательно, для всех р„( — и взятых нами Р(х)( 2 (и, Р) = Ой , у) = у (у)т (у) о(у (й = 1, 2), ( .,)-(,(С) (.)(. — [ .() ()(' Ол (223) т. е. функционал и задается ядром 0 при хс л) — В т (х)= [ и (х) пРИ хс л)р . Ра р(,' Покажем, что )и (х) есть гармоннческзя в гул функции. Действительно, лая Р(х) С )га из (220) следует 0 — (т, й,у)= и (х)й„р(х) (Хх ~ у(х)й,т (х)((х, л Ьл и, так как 1'л плочено в ьл(1)л), то для хС Вл( й„т (х) = О. Так как число ч ~ 0 было взято произвольно и тзк как тл,(х) = тл(х) при ч' ( Ь дли хс Вл, то мы можем утвери(дать, что семейство гармонических функций та(х) определяет гармоническую в В функцию т (х), совпадающую с тл(х) для хс ьта. Эта гармоническая функция и порождает исследуемый нами функционал т, ибо если мы возьмем произвольную у (х) из С'('(с)), то она равна нулю вне некоторой области Вл и потому длн нее, в силу изложенного, будем иметь пгостгюэство С (В) п1 385 1191 Поведение ю (х) при приближении х к границе В оцрелеляется тем, что интеграл (223) долэкси скалиться для любой функции т(х) иэ Со'(О).
Укажем на одно следствие полученного результата. Положим, что ф (х)— суммирусмая в В функция (Π— конечная область) и ф (х) Ь„у (х) их = 0 Ь для любой у(х) из С"' (0), Функционал (ю, т) = ~ ф (х) т (х) дх удовлетворяет уравнению (219) и, в силу сказанного выше, мы можем утвер- ждать, что ф(х) эквивалентна гармонической в В функции. Аналогично предыдущему можно рассматривать линейные функционалы на различных семейс гвах функций. Приведем один пример.
Пусть К вЂ” семейство вещественных функций р(х), определенных во всем пространстве гс„, финитных и имеющих непрерывные производные всех порядков. Семейство К есть линейное пространство. Оно не нормируемо в обычном смысле этого слова, и мы введем для этого пространства лишь одно следующее определение: Определение. Будем говорить, что последовательность рь(х) (и= 1, 2, ...) функций из К стремится к нулю, если существует гпакая ограниченная область, вне которой все ~рь (х) равны нулю, и если рь(х) и всякая производная этих функций равномерно стремится к нулю прп й -ь со.
Функционал (т, о) на К определяется тем, что каждому у(х) с К сопоставляется некоторое вещественное число (т, о). Такой функционал называется линейным (или линейным и непрерывным), если он дистрибутивен, т. е. (т, с,<э, + сафа) =с,(т,ср,)+ сэ(тэчээ), и обладает тем свойством, что при стремлении последовательности чэь (х) к нулю и (т, уь) -ь О. Функционалы типа функции определяются формулой (205), где Р есть )с„и ф(х) какая-либо суммируемая в любой ограниченной области функция. Умножение функционала на функцию ю(х), имеющую непрерывные производные всех порядков, определяется равенством (мт, р)=(т, ю1э) и дифференцирование функционала равенством (Р~т, о)=( — 1)" (т, Р"ср).
Функционал имеет производные всех порядков. Теория функционалов на пространстве К изложена в указанной выше рабоге И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова. ГЛАВА Ч ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА 9 1. Теория ограниченных операторов 129. Аксиомы пространства. При изучении функционального пространства т'.я и пространства последовательностей Уя мы выяснили тождественносгь их сгруктуры. Они являются осуществлением одного и того же абстрактного пространства, изучению которого и будет посвящена настоящая глава. Оно было впервые введено в виде Е, Гильбертом и называется обычно пространством Н, или пространством Гильберта.
Как мы увидим ниже, пространство Н является частным случаем просгранства типа В, и все, что мы говорили об этих последних пространствах, буде~ приложимо и к пространству Н. Но пространс~во Н обладает сверх того и своими специфическими свойствами. Переходим к перечислению аксиом, определяющих Н. Пространство Н есть линейное пространство, элементы которого удовлетворяют аксиоме А из (95).
Мы при этом счи гаем, что элементы Н можно умножать на комплексные числа (комплексное линейное пространство). Далее мы будем считать, что если не оговорено противное, что для любого целого положительного и существует и линеино независимых элементов (аксиома В из (95)).
Введем теперь новую аксиому, относящуюся к понятию скалярного произведения: Аксиома С. Каждой паре зле,кентов х и у нз Н сопоставляется определенное комплексное число, которое называется скалярным произведение,и х на у. Оно обозначается сн.кволо.и (х, у). Это скалярное поопзведенне обладает следующп.ян свойствамп: (у, х) = (х, у); (х' + х", у) = (х', у) + (х", у); (х, х) ) О, если х ~ О; (ах, у) = а(х, у). (1) Напомним: х:~ О означае~, что х не есть пулевой элемент. Из указанных свойств непосредствешю вытекают следующие следствия: (х, у'+у") =(х, у') .-',-(х, у"); (х, ау) =а(х, у); (2) (х, х) = О, если х = О; (х, у) = О, если х или у = О.
1 387 Аксноьгы ппоствлнствл 1201 Выражение )г (х, х), в котором значение корня считается - О, назовем норжой элелгента х и обозначим, как и в [95), через 11х)', Проверни теперь, что таким образом определенная норма удовлегворяег трем условиям, входящим в аксиоьгу С из [95]. Из ее определения непосредственно вытекает, что '1 х, =- О, причем знак имеет место только для нулевого элеменга. Далее имеем 11 ах 1," = (ах, ах) = 1 а 1' (х, х) = ( а 1' 1х ", т. е. ~,,'~ ах,'1 = 1 а 1,", х 1;.
Отсюда следует '1 — х'[='1х[ [95). Остаегся проверить неравенство [х+у,/('1х'[+[1у['. (4) Предваригельно докажем неравенство [(х, У)[ =[х ! 11У~/, (5) которое в дальнейшем будем называть неравенством Буняковского [ср. ЪЧ; 35). Пусть х и у — любые элементы Н и а и Ь вЂ” любые комплексные числа. Мы имеем [, 'ах + Ьу,,а = (ах+ Ьу, ах + Ьу) = аа (х, х) + аЬ (х, у) +- + аЬ (у, х) + ЬЬ (у, у) = О.
У написанной положительной формы Эрмита (относительно переменных а и Ь) дискриминант должен быть неотрицательным, т. е. (х, х) (у, у) — (х, у) (у, х) ) О или [' х [,' ° [у 11' — ) (х, у) 1') О, откуда и следует (5). Переходим к доказательству (4). Принимая во внимание очевидное равенство (6) (х,у)+(у, х)=2)т(х, у), где гт' есть обозначение вещественной части, получаем [[х+у'('=(х+у, х+у)=[х[1а+['у' +2Я(х, у), огкуда, в силу ! Й(х,у)( (1(х,у)[ и неравенства (о), слетует [ х — ью у," ( '[ х ['+ [1 у ~)' + 2 ,'1 х ~/ '1у," = (~ х 1 -',.
1у р", и мы приходим к неравенству (4). Из (4), как и в [95], следует неравенство ~',х — у1, ~х[,'— Я [! х — у [ = 11 х — а 1( + [, а — у [[. (7) [121 388 пгостглнстяо гильввгтл Из понятия нормы следует, как и в [95), понятие расстояния между элементами х и у:р(х, у) =",,х — у [ и понягие предела последовательности х„ (сильная сходимость): х„»хь, если [х, — х»1-ь О. (8) Справедливо все то, что мы говорили раньше о пределе.
Мы видели [95~, что если а„-»а„х» =)хь ну» =)уь, то а»х» =)аьхь и х„+У„=)хь+Уь Докажем тепеРь теоРемУ. Теорема. Если х„=)х, и у, =»ум то (х„, у„) -ь(хм у„). Положим сс„=х„— х, и п„=у„— у,. По условию [и„[ и [о„[-ьО. Мы имеем (хь Уь) (х» У,)=(хь Уь) (хо+ гг» У»+с»)= = — (х, о„) — (и„, у ) — (и„, и„) и, применяя (б), можем написать /(хь, уь) — (х„, у„) / ч-./х»1 ° [и„'[+1и„/, '1уь!+ [~гь„[ [о„>[, откуда, в силу [и„[ и [,'п„1 -ь О, и следует (х„, у„) -ь (х„ у). ПРи У„=х„отсюда полУчаетсЯ: еслсс х„=»х„то [х„[-ь[!хь[ [ср.
95). Если последовзтельность х„ имеет предельный элемент, то онз сходится в себе, т. е. [х„ — х [- 0 при и и т -ь со [951. Будем считать пространство Н полным. Аксиома .О. Если последовательность х„сходится в себе, то существует такой элемент х, из Н, что х„=»хь. Кроме того, мы примем следующую аксиому: Аксиома Е. Пространство Н сепарабельно.
Иначе говоря, существует счетное множество элементов из Н, плотное в Н. Из сказзнного выше непосредственно следует, что Н есть пространство типа В. 121. Ортогональность и ортогональные системы элементов. Если (х, у)= О, то, в силу (1), и (у, х) = О, и в этом случае элементы х и у называются взаимно орто гон аль ными, или просто ортогональным и, и пишут х [ у. В силу (2), нулевой элемент ортогонален любому элементу. Пусть хп х,, ..., х — попарно ортогонзльные элементы, т. е.
(хр, хч)=0 при р э-'д. Составляем квадрат нормы суммы этих элементов: [[х, + х, +... + х,„[,' = (х, + х, +... + х, х, + х, +... + х ). Раскрывая скалярное произведение согласно (!) и (2) и пользуясь указанной ортогональносгью, получаем для попарно ортогональных элементов следующую теорему Пифагора; [х, -',.хя-[-... [-х ,'~з=,",х,,~'+~ха'„'+...+[[х [ь. (9) !2!) оетогонлльность и огтогоньльныз системы элз»витав 389 Пользуясь понятие» предела, мы можем, как и 195), ввести поняие о сходимости бесконечных рядов, составленных из элементов ЕЕ и, + и, + иа +...
(10) Такой ряд называется сходящимся, если сумма первых его и членою в„ = и, + и, + ... + и„ стремится к предечу в„ =)и при и -~ сю. Элемент и называется в этом случае суммой ряда (10). Из аксиомы полноты и сказанного выше о сходимости в себе непосредсгвенно следует необходимое и достаточное условие сходимости ряда (10): для любого заданного а)0 существует такое гч', что !!и„И+и„„+...+ и„,р(((в при п)М и р) 1. (10,) Особенно простую форму имеет это условие сходимости в точ случае, когда члены ряда (10) попарно ортогональны, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
