1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Остается напомнить, что 2 (А) с 1„(1З). Э а м е ч а и и е. 11аи~е рассуждение показывает, что в,аюбои области О функции из Й' '(О) и,кеют обобсценные производные всех низ.нпх поэядкоз (т! Р пз 1 (О') Рассмотрим теперь вопрос о перенесении на нашу область О теоремы ! из (117), Предположим, ыо и ( р! и, следовательно, и (х) непрерызцз в О, и Оы Покажем, что и (л) непрерывна н О, для чего достаточно установить непре- рывность и(.г) в точках поверхности Ям В любой внутренней точке О непре- рывность и (.г) вытекаег из теоремы вложения )Тел в С, примененной к доста!и точно малому шару.
Для точек Яю лежащих на границе О, предельное значе- ние и(х), получаемое по любому пути, лежащему в О„в силу непрерывности и (х) в 1>о совпадают с предельным значением, полученным по пути, лежащему в 3, То же сам~с можно сказать и о предельных значениях при приближении из Ое. Отсюда следует, по предельныс значенич функции и (х) по любым пу- тям совпалают, и п(х) непрерывна в О. Полная непрерывность (и, следова- тельно, ограниченность) оператора вложения вытекает из того, что для ограни- ченного в (Тгн'(О) множества можно сначала выделить послсловательность, схол дящуюся в С(О,), а затем из нее выделить подпоследовательность, сходящуюся в С (Ов). Эта подпоследовательность, очевидно, сходится в О равночерно.
Совершенно также доказывается возможность перенесения в рассматрива- емом случае теоремы 3 из (117). Не возникает трудностей и прн распростра- нении теоремы 2 (1!7). Нужно лишь заметитть что л-мерное сечение Ол, во- обще гонора, также разбивается на лве части: О, = О,' + О,", тле О,' = О, Оь О" = Ов. Ое. Применяя теорему 2 (117) в О, и Ое, получим !и!! ~(п', +)и(! „~С(! '! щ +!и! „, )( с э'! ' д !Бж! и'0!о,! 'п«тПоп в е .в 8 (203) ' %'"'~от Таким образом, устанавливаетсн ограниченность оператора вложения из )Б~ (О) в 1, (О,).
Этпчт же путем переносится и утверждение о сгтльной не- прерывности в 1 (О,) функций из )Тт~~'(О) относительно параллельиг)го пере- носа сечения О,. Познан непрерывность оператора вложения из В'~~'(О) в 1. (Оэ) непосредственно вытекает из (203) и сильной непрерывности относительно сдвига. Распространение теоремы 4 из (117) нс требует никаких новых соображе- ний, Остается справслливой и теорема 3 из (114! об эквивалентных нормах в Ют~ (О), так как ее локазатет ство, ланное в (!17), опирал шь зиять на тео- ремы вложения.
Мы можем утверждать теперь, что, если кажлая из составлнющнх 17 ча- стичных областей звездна относительно некоторого шара, то д ~я области О справедливы все теоремы вложения, рассмотренные в (1!4! и [117!. 376 мвтп ичвскив и ногмигованныв пгостиинствл 1119 119. Пространство СП1(О).
Пусть Π— конечная или бесконечная область пространства Я«и С"'(О) — множество всех финитных непрерывных в О функций з(х), имеющих в О непрерывные произволные до порядка 7. Очевидно, что С'и (О) есть линейное пространство. Введем в нем аналогично случаю Сн'(О) (114], следующую норму: /!р/) КП =шах !О<а1р(х)!, (204) «г и о ам~ Замыкание С10 (О) по этой норме приведет нас к пространству типа В, которое мы обозначим через Сьп(О). Элементы этого пространства суть ограниченные функции, непрерывно дифференцируемые в О до порядка У, причем на границе Р сама функция и ее упомянутые производные обращаются в нуль. При различных значениях 7=0, 1, ... пространства Сп'(О) естественно вкладываются одно в другое: Спи(О) с..
С"п(О), если 7, ) 7я, причем множество элементов Сп ~(О) плотно в Сп '(Р). Это легко показать, применяя процесс усреднения. Рассмотрим сопряженное с С'"(Р) пространство и обозначим его через У~" (О) (пространство линейных функционалов для Спл (О)). Легко видеть, что Уаы(О)с: Онп(Р) для 7,)Ея. Примерами элементов УП'(О) могут служить функционалы, определяемые с помощью суммируемого по О ядра ф(х) равенством (т, 9)= ф(х)~я(х)г(х. (205) где ха — фиксированная точка О, не допускает представления (205) с суммируемым по О ядром. Говорят, что соответствующее этому функционалу ядро есть дельта-функция Ь(х — х,), сосредоточенная в точке х„и пишут ~ Ь (х — х,) 9(х) г(х= з(хя).
(207) Их норма удовлетворяет неравенству /!т!!( !ф(х)(с(х. Такие функционалы нередко называют ф у н к ц и о н а л а и и т и п а ф у н к ц и и и отождествляют с ядрами, определяющими эти функционалы. Остальные функционалы называют обобщенными функциями. Функционалы типа функции не исчерпывают всего УП'(О). Так, например, функционал 3(х — х,), определяемый равенством (~ (х — хо) 'Р) = т (хо) (206) пгостяйнстзо С (Р) 377 ))91 По функция 3(х — х,) не является функцией в обычном смысле. Однако, как мы покажем, элементы Ун'(Р), представимыг в форме (20б), с кусочно-непрерывным ядром плотны в Р!'с(Р).
Точнее, имеет место: Теорема. Функционалы типа функции с кусочно-непрерьсвным ядро.и плотны в С!'! (Р) в сясь!еле слабой сходнмости функционалов. Предвари~ельно докажем следующую лемму: Лемма. Лля любого фиксированного элемента ср(х) ЕС!'с(Р) при заданном ь) 0 существует такая область Р,, лежащая строго внутри Р, что псах (Ось!7)(г. . чо — п, а й с В силу определения Ссс! (Р) существует последовательность (х) элементов С!'! (Р), которая стремится к с!с(х) з норме (204), и потому существует такой значок т„что при любом р)0 $7ые ~Ры ! р!Iсцсссрс функция 7,(х) отлична от нуля лишь в некоторой области Р, указанного выше типа, так что для хб Р— Р, из последнего неравенства следует: псах ! Рт~ср„, +р (х) ~ == з «во — и, сс м с и в пределе при р-! счс мы и получаем (208).
Переходим к доказательству формулированной выше теоремы. Пусть пс Е Уы'(Р). Возьмем усредняющее ядро ы,()х — у!). Оче- видно, что для х, принадлежащего какой-либо ограниченной области Рн лежащей внутри Р и отстоящей от границы Р на расстояние, не меньшее 2р, ьс,(/х — у/), как функция у, принадлежит С!О(Р), так что функция т, (х) = (т, ьс, ( ! х — у ! )) (209), т ,(х) при х~ Р,, т,(х)= 0 при х~Р— Р, и возьмем последовательность р=рн рм ..., стремящуюся к нулю, причем будем считать Рр выбранными так, что Рр с:Рр и Рр 'й 'й 'я+1 'й определена для х ~ Р . В силу бесконечной дифференцируемости а' ы,(/х — у !) и непрерывности. функционала т, она также будет иметь непрерывные производные всех порядков по х.
Определим теперь для всех х Я Р кусочно-непрерывную функцию 378 мктвичнскив и нор мировлщрыа прострлнствл [119 (тр, рр) = ~ йрр (х) э (х) лгх = ~ тр (х) з (х) врх, стремятся к взятому функционалу т. Для этого возьмем произвольную функцию ~7(х) — Спр(Р) и докажем, что разность гл — — (т, р~р) — (тр, р) =(т, ~р) — ~ (ли ш., (/ х- — у/ )) 9(х) г(х (210) рл' рл О'р стремится к нулю при 7г -ь ээ, откуда и будег следовзть теоремр.
Согласно лемме прн заданном а ) 0 можно указать такую ограниченную облзсть Р„ лежзпгую сгрого внутри Р, что для 7(л) будет спранедливо нерзвенсгво (208). Будем считать л настолько болыпим, что Р,с: Р, . Обозначим шл (у)= ~ рр(х) шр ( ~ х — у() ррх. О, л Суммы Римана для этого интеграла 1(у) =~~Р р7 (1,) шр ( ), Ер — у /) Ь,х, 5 где Ь,х — — мера частичных областей, а 1, принадлежат этим областям, и их производные до порядка l по у сходятся рав- номерно по у к функции лл(у) и ее соответствующим производным при беспредельном измельчании дрх чзстнчных областей ввиду не- прерывности ш(х) и бесконечной дифферерщнруемости ш, ((х — у ~ ) по у. Ко, в силу дистрибутивности функционала и его непрерыв- ности в норме (204), мы имеем ~(т, '7(1 )ш (~1 у~)Ь х)=(лй, р(р(Е)ш (/1 у~)брх), и в пределе ~ (лр рр (х) ш (1х — у ( )) сгх = (т, ~ рр (х) шр ( ~ ~х — у ~ ) г(х), р)р и Ор л так что выражение (210) для гр можно записать в ниде гл — — (т, ср (у) — ~ рр(х) шр (( х — у ~) врх).
Ор (211) в пределе стремится к Р. Локзжем, что функциоцзлы рлр, опрсрл' делаемые равенством пвоствлнство С (О) 119! Функция р»(х) не есть обычное усреднение р(х) с ядром )т ()х — у)), ибо область интегрированна О может не содержать р» » всего шара ! х — у ~ (р„, если у гш О. Однако если у при)шдлежит канон-либо строго внутренней ограниченной подобласти области О, то шар (х — у ~ ( р» будег принадлежать Ор при всех достаточно больших рг, и р»(у) для таких у есть усреднение )р(х) с ядром мр ()х †у!). » Ясно, что р»(у) ~~ Сн) (О).
Покажем, что )р»(у) сходятся к )р(у) в норме (204). Для этого возьмем а)0 меньше расстояния О, до границы О и обозначим череа О; область, полученную присоединением к О, всех шаров радиуса 6 с центром в О,. Лля у: Оа и всех до статочно больших lг: О, с: Ор и р„(у)= ~ р(х)м, ()х — у))агх. )х — у, р, Поэтому р» (у) сходятся к р (у) при 1» -ь сю равномерно по у С Оа вместе со всеми своими производи)»ми по у до порядка 1 [71). Если же у ŠΠ— Ом то обе функции )р(у) и )р»(у) равномерно малы вместе со своими производными до порядкз !', ибо для р (у) справедливо неравенство (208) при у ~ Π— О,.
Итак, )р»(у) сходятся к р(у) в норме (204), и из (211) следует, что 㻠— + 0 при )г -» со. Теорема доказана. Можно было бы показать, что функционалы типа функции с гладкими ядрами также плотны в У)!)(О). Определим теперь операци)о умножения на функцию а(х) и опед рацию дифференцирования для элементов Уко(О).
дх» Пусть а(х) Е Си)(О). Если Π— бесконечнзя облас~ь, то считаем, что а(х) и ее производные ограничены. Введем линейный оператор: Ар=а(х) )р(х), который переводит р (х) ~ Ссн (О) в а(х) р (х) Е Саа (О), где а = ш1п(! г). Операцию умножения элемента т из У"'(О) на а(х) определ)гм как оператор А", сопряженный с А, т.
е. определим его равенством (212) (т, Ар)=(А*рн, )р), которое должно выполняться для всех р(х) ~ Сон (О). При этом оператор А" применим к элементам из Уол (О) и А "т Е Уы) (О). Если функционал т имеет вид (205) с суммируемым по О ядром, то 330 метРические и нОРмиРОВАнные ОРОстРАнстВА 1119 т. е. функционал А*т также есть функционал типа функции с ядром а(х) ф(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
