1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 79

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 79)

Рассмотрим теперь оператор дифференцирования да (к] дка Он является ограниченныч оператором из Сьн (Р) (7) 1) в СН ы (0). Сопряженный ему оператор В* формально также определяется равенством вида (2 12) (213) (т, Вр) =(Ввт, гр) и переводит элементы т из У" г'(й) в Уип (О). Для функционалов т, представимых в виде (205) с непрерывно дифференцируемым ядром ф(х), это равенство показывает, что функционалу Вьт содф (АО ответствует ядро ~ ' , ибо дх; ~ .

ВЯ= — ~Г( )",~"'Ю = ~ ф'--'ТРЫ =~в . и. и Посмотрим, как вычисляются операторы АЯ и ВЯ от функционала, задаваемого 3 — функцией, т. е. от функционала (206). Пусть ср(х) Е Сгы (В) (1) 1). Тогда (е (х — хя) Аср) = (А" 3 (х — ха), ч) = а (х,) в (х,) д„(к) ~ (214) (3 (х — ха), Вср) =(В" Ь (х — хя), ср) = — ~ — ( дк,!к ..

Можно ввести и последующие дифференцирования, причем, как легко доказать, результат не зависит от порядка дифференцирования. Таким образом, для элементов из Усы (В) можно определить производные до порядка г и различные дифференциальные операчоры.

Для этих операторов можно ставить те же задачи, что и для обычных функций; именно задачу Коши и различные краевые задачи. Впервые обобщенные функции были введены С. Л. Соболевым при решении задачи Коши для линейных гиперболических уравнений (1936 г.). Такое расширение класса объектов, оказывается полезным с двух точек зрения: во-первых, может оказаться, что в классе обычных функций задача не имеет решения, а в классе обобщенных функций (функционалов) решение есть. Во-вторых, иногда летуче доказать существование „плохо~о" решения, являющегося обобщенной функцией, а затем уже исследовать вопрос о том, когда эта обобщенная функция будет обычной. 381 ПРОСТРАНСТВО С ()2) 1 19! Оба эти обстоятельства отчетливо видны на примере задачи Коши для различных систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами АГ М ди;(х, г) чу чГ ь дл (х, т) ~у дт ~.

ч дх, и; (х, 0)= ср; (х). (1= 1, 2, ..., Аг) Применяя преобразование Фурье по х, эту задачу сводят к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, зависящими от числовых параметров кь, Применение обратного преобразования Фурье позволяет перейти от решения этих обыкновенных дифференциальных уравнений к решениям исходной задачи.

Если осгаваться в рамках классических преобразовзний Фурье, то придется ограничиться рассмотрением только убывающих в определенном смысле нзчальных функций и свободных членов ге При этом предположении вопрос исследован И. Г. Петровским. Однзко в его же работах из дополнительных соображений было показано, что существует класс так называемых гиперболических систем, для которых решение в произвольной точке пространства (х,, 1,) определяется значениями начальных функций чь(х) лишь в некоторой ограниченной части пространства х, зависящей от точки (хм 1,). Тем самым было установлено, что задача (215) для гиперболических систем однозначно разрешима при любом поведении ср;(х) при безграничном возрастании )х ). Лалее в работах А.

Н. Тихонова, О. А. Ладыженской и С. 11. Эйдельмана было показано, что для так называемых параболических систем начальные функции также можно брать не только неубывающими при ) х ( — ь сю, но даже неограниченно (экспоненционально) растущими. Однако для сохранения теоремы единственности на этот раз надо накладывать определенные ограничения на порядок роста. Наконец, для обратной задачи Коши для уравнения теплопроводности (т.

е. задачи ди Коши для уравнения — = Ли, решаемой вниз по Т) было известно, дт что она имеет обычное решение лишь при специальных начальных данных. Все эти факты требовали более внимательного изучения задачи (215) и в связи с э~ими преобразования Фурье от функций, произвольным образом ведущих себя на бесконечности. Это изучение было начато в работах Л. Шварца и подробно проведено в работах И.

М. Гельфанда и Г. Е. Шилова. Преобразование Фурье от функций, растущих на бесконечности, есть, вообще говоря, уже не функция, а функционал в некотором Соы (А'„). В классе этих функционалов и приходится в дальнейшем рассматривагь задачу Коши для 382 аггтРичпскив и нонминовлнныв пвоствлистнл ~119 систем обьшноненных дифференциальных уравнении, а затем от них переходить к решениям задачи (2!6), которые в одних случаях оказываются обычными, а в других — обоощенными функциями. Мы не будем приводить здесь результатов всех этих исслелований, проведенных И. М.

Гельфандом, Г, Е. П!иловым и их учениками, а отошлем ~итателя к работам И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова по обобщенным функциям и их приложениям.в) Злесь же мы отметим некоторые факты, касагоцгиеся решений в функционалах лля линейных уравнений второго порялка эллигыичсского, параболического и гиперболического типов с переменными, но гладкими коэффициентатпн.

рассмотрим одно из таких уравнений (. (и) = у (х), (216) в котором у(х) есть функция, имеющая особенность в точке х=ха, Оказывается, что для уравнений эллигнического и параболического типов все решения уравнения (216) булут обычными функпиями, глалкилги всюлч, за исключением может быть точки х„тле они могут имею особенность. Ниже мы покажем на примере оператора Лапласа, что лаже если л'(х) есть лельта-функция, сосрелоточенная в точке х„ то и тогда решении уравнения (216) будут обычными функциями, имеющими лишь полярность в точке х„. Если же уравнения (216) возьмем олноролными, то все их решения булут обычными функциями. Не то имеет место в случае гиперболических уравнений. Для них особенность л"(.х) распространяется на целые области, и регнение моткет оказаться не обычной, а обобщенной функцией.

Привелем пример этому. Возьмем волновое уравнение ии —— ил „ + и „ + и , . Одно из его решений определяется формулой Пуассона (И; 71! и (х, Г) = ~ т (х+ т и) 51п бизиф чя,) (217) о о Известно, что при трижды непрерывно лифференцируемой функции р (х) эта формула дает дважды непрерывно лифференпируемое решение волнового уравнения, удовлетворяющее начальным условиям и (х, 0) = 0; и, (х, 0) = 7(х). Пусть лм(х) суть трижды непрерывно лифференцируемые неотрнцательные 1 ф)нкции, стремящиссн при т — ол к функции р(х) = — „, .

Из формулы х-",+ х', ' (217) видно, что соответствующие им решения и,„(х, г) будут стремиться к +ол лля (х, г), лежащих в области )~ х'-,'+ х'; ( г полупространства г) О. Это говорит за то, по решения волнового уравнении, соответств)чосцего началь- 1 ным условиям и(х, 0) =О, и, =(х, 0) =,, в виде обычной функции не х-', + хт существует. Тем не менее в классе функционалов оно есть и единственно. Аналогично, использ)я формулу Кирхгофа, можно убелимся, что неоднородное волновое уравнение с правой частью у(х), равной В(х — х„), также не имеет решений в классе обычных функций, но имеет их в классе функпионалов. В слеп) ющем томе мы прелполагаем рассмотреть все эти вопросы более подробно.

Как мы упоминали, первыми мюематическнми работами, в которых ставились и решаллсь задачи в классе обобнтенных функций, были работы О, Л. Ообтьтева по залаче Коши лля уравнений гиперболического типа. В заключение приведем показательство утвержлений, высказанных выше относительно решений уравнения Лапласа. в) Только что вышли трн выпуска большой работы И.

М. Гельфанла и Г. Е. Шилова, посвященной обобщенным функциям и их приложенинм. пностнлнстпо С '((л) 383 !19! Пусть (у — огрзниченная трскиернзн область и 1х —.т, ! = г — расстоячне от цеременной точки .т ло точки хю. Считая границу И до паюочно гладкой и ,юрнмсияя флртюулу Грина, получим для о (х) '- С ю'((У); ю д„(х) й или ~ — — ) Ду (х) дх = З (х — хю) у (х), 1 4кг й д'аю д'аю, дюаю дх' ' д.к. '' дх'„-' (218) Тетю самьпю мы показали, что одним из решений уравнения (218) является функционал типа функции.

Для накожчения всех решений уравнении (218) достаточно пай~и все решенян в функцлоналак однородного уравнении Лапласа: дюа дююи дан да =, + — ю+ — =О. (219) Мы покажем, что все функционалы а, удовлетворяющие этому уравнению, прелставимы через ядра, и эти ядра суть гармонические а () функции. Уравнение (219) эквивалентно следующему: (а, д,о) =О (220) для любой функпии у(х) с С'ю' (су). Возьмелю в качестве «(х) следующуюфункцию: (221) где ф (4) есть неотрицательная бесконечно дифференцируемая 1 равная 1 при '; с ~ О, —,- ~ и нулю при : "у и 1.

Если то юка у лежит то р(х) с С'ю' (0) при достаточно малых р, и рм Функцию функция, внутри Ц ~ О при х=у 1 равную нулю при ! х — у ! ( — р и при ! х — у ! = р, можно взить в качестве усредняющего идра, ибо ,(к — у!)дх= ~ д„~, — б у )~дх !" — Х1-Р д 1 — ~ — ~ — ф (г)~ д5 — ~ — ~ — ' (г)~дг = 1, д 1 откуда на основании определении производной от функционала видно, что функ- 1 ционал а„ с ялром ( — †-, удовлетворяет неоднородному травнению Лапласа: 4 г! 384 метрические и ИОРмиРОВлнныг пРОстРлпстил [119 И 1 .

Характеристики

Список файлов книги