1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Сделаем еще одно замечание по поводу сабе~венных элементов самосопрялсенного оператора А. Как мы видели, собственные значе- 411 спГктР слмосопгяжянного опягьтогл 129[ иия соответствующие некоторому собсгвенному значению Л = Л', бразуюг надпространство. В эчом подпространстве мы можем ввести полную ортонормированную систему. Если собственное значение Л =Л' имеет конечный ранг г, то эта ортонормированная система будет содержать г-элементов.
Мы знаем, что собственные элементы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны. таким образом, вводя, как было указано выше, ортопормированпую систему в каждом из подпространств, соответствующих фиксированному собственному значению, мы получим ортогональную систему К Н, Будем говорить, что самосопряженный оператор порождает ортонормированную систему К. Эта система определяется с точностью до выбора полной ортонормированной системы н каждом из упомянутых надпространств.
Может случиться, что А вовсе не имеет собственных значений. В этом случае системы К не будет. Мы аггзем, что если ортонормированная система может содержать лишь когшчное или счетное мноькество элементов. Отсюда непосредственно следует, что если К имеет бесчисленное множество различных собственных значений, то это множес~во счетно. Ортонормнрованная система К может быть как полной, так и неполной в Н. Ее свойство быть полной или неполной не зависит, как нетрудно видеть, от выбора полной нормированной системы в подпространствах собственных элементов, соответствующих фиксированному собственному значению. Если К в полная система, то говорят, что оператор А имеет чисто точечный спектр.
129. Спектр самосопряженного оператора. В этом параграфе мы будем рассматривать самосопряженные операторы. Теорема т. Если Л не есть собственное значение самосопряженного оператора А, то формула (64) оггределяегп лпнеал )г(А — ЛЕ), плотный в Н. )Локазываеы от обрапюго. Положим, что )с(А — ЛЕ) не пло1ен в Н, т. е.
что замыкание )с(А — ЛЕ) приводит к надпространству, о~личному ог Н. При этом, в силу теоремы из [122[, су~ггествует элемент хь, отличный от нулевого и оргогональный к упогюшутому надпространству и тем самым к )с(А — ЛЕ), т. е, ((А — ) Е) х, х„) = 0 для любого х из Н, или, пользуясь самосопряженностью А: (х, (А — ЛЕ) хь)= О. Полагая х=(А — ЛЕ) х,, получим 1(А — ЛЕ) х~!=О, т. е. Ах„=Лхь.
Если Л вЂ” вещественно, т. е. Л=Л, то оказывается, что Л вЂ” собственное значение А, что противоречит предположению. Если Л не вещественно, то равенс~во Ах, =Лх, показьшает, что невегпественное число Л есть собственное значение сачосопряженного оператора А, чего не может быть, и теорема доказана. Если Л вЂ” регулярная точка, то Я (А — ЛЕ) совпадает с Н.
Это следует из определения регулярной точки. Если Л есгь собственное значение, го все элементы гс(А — ЛЕ) ортогональны к соответсгвую- 412 (129 пгостганство Гильяьгтл щим собственным элементам А, и линеал К (А — ЛЕ) не может быть плотным в Н. Дальше мы увидим, что если Л не есть регулярная точка и не есть собственное значение, то линеал К (А — ЛЕ) не есть Н, (он плогеп в Н). Установим теперь необходимое и достаточное условие регулярности Л. Теорема е.
Для того чтобы Л было регулярной точкой само- сопряженного оператора А, необходп.ио и достаточно, чнгобы суацествоаало такое положительное чпсло р, что для любого х из Н выполнялось бы неравенство !!(А — ЛЕ) х!!- р!!х!!. (65) Всякое невещественное значение Л и вещественные значения, лежащие вне яро,иежуяпса (гп, М), где т и М вЂ” границы А, регулярны.
Доказываем необходимость условия (65). Пусть Л вЂ” точка регулярности. При этом существует ограниченный обратный оператор (62). Обозначая через а его норму, имеем !'(А — ЛЕ) 'у!!(11!!у!, или, полагая в этом неравенстве у=(А — ЛЕ)х, приходим к нера- 1 венству (65) при р = --. Доказываем достаточность условия (65). Из этого условия вытекает прежде всего, что Л не есть собственное значение, и, таким образом, линеал Я(А — ЛЕ), определенный в теореме 1, плотен в Н. Мы покажем сейчас, что он замкнут, а потому совпадает с Н. Положим, что элементы у„ = (А — ЛЕ)х„ принадлежат гс(А — ЛЕ) и у„ =гу. Нам надо доказать, что и у Е Я(А — ЛЕ).
В силу (6о), мы имеем ~!у„— у,„!~)р!'х„— х Последовательность у„ сходится в себе, и, в силу последнего неравенствз, можно утверждать, что и последовательность х„ сходится в себе, т. е. существует такой элемент х, что х„ =гх. Из формулы у„=(А — ЛЕ)х„вытекает, что у„=)у=(А — ЛЕ)х, и таким образом у е В(А — ЛЕ). Итак, линеал г((А — ЛЕ) совпадает с Н и оператор (А — ЛЕ) ', обратный А — ЛЕ, определен во всем Н. Для доказательства регулярности точки Л нам остается доказать, что оператор (А — ЛЕ) ' ограничен.
Полагая в условии (65) х =(А — ЛЕ) 'у, получим !'(А — ЛЕУ'у!!( 1 !у !, откуда и следует ограниченность (А — ЛЕ) ', и первая часть теоремы доказана. Положим, что Л=а-!-т(, где -. ~ О. Полагая (А — ЛЕ)х=у, можел1 написать ((А — ЛЕ) х, х) = (у, х) и ((А — ЛЕ) х, х) = (х, (А — ЛЕ) х) = (х, у). 4!3 спГКТР слмосопгяжвнного опгглтогл (201 вычитая из первого равенства второе, получим (Л вЂ” Л)(х, х)=(у, х) — (х, у) или 2 ! т [ [~ х )Я ( ~ ~(у, х) ! + ! (х, у) [, и, пользуясь неравенством (6), приходим к неравенству 2!т![х~! 2~[у'[, т. е. [(А — ЛЕ) х [) [т !!'х~! (Л = а+ ть).
Мы пришли к неравенству (6о) при р=[т!, и, таким образом, всякое невещественное значение Л регулярно. Положим теперь, что Л вещественно, но лежит вне промежутка [т, М). Положим, например, что Л) М, и докажем, что при этом выполняется условие (65). Мы можем написать ((А — ЛЕ) х, х) = (Ах, х) — ) [' х [,', или ((А — ЛЕ)х, х)=[(Ах, х) — М(х~ь] — (Л вЂ” М)['х~ч. Из определения верхней границы М оператора А следует, что разносгь, стоящая в квадратных скобках, неположительна.
Кроме того, по предположению, Л ) М, и последняя формула дает [((А — ЛЕ) х, х) [~ (Л вЂ” МЦ .[ч. С другой стороны, имеем неравенство [((А — ЛЕ) х, х) !(<!(А — ЛЕ) х/! ° [/х/!. Последние два неравенства приводят к следующему неравенству: [!(А — ЛЕ) х!/.= (Л вЂ” М)[~~х[', откуда, при Л) М, следует (65), что и требовалось доказать.
Из теоремы вытекают следующие следствия. Следствие 1. Для того, чтобы Л принадлежало спектру„необходимо и достаточно выполнение следующего условия: гуществует такая последовательность нормированных вле.кентов х„, что ([(А — ЛЕ) х„[[ — О. Действительно, если такая последовательность есть, то условие (65) не может быть выполнено при р ) О, и, тем самыи, Л принадлежит спектру. Наоборот, если Л принадлежит спектру, то условие (65) не выполнено ни при каком р) О, т. е.
существует такая последовательность нормированных элементов х„, что [(А — ЛЕ)х„~[ — О. Отметим, что если Л вЂ” собственное значение, то за х„ мы л1ожем 414 [129 пгостгьнсазо Гнльввгть при любом п ззш ь один и тот же элемент, з именно какой-либо нормирозапныи собственный элемент х„. При этом (А — ЛЕ)х„ = О при любом п. Следствие 2. Если нижняя граница т(А)) О, то Л=О лежит вне [гл, Л], и А и пеегп ограниченный обратный оператор. Мы пользовались этим в [127].
Следствие 3. Совокупность регулярньгх точек вегцественной оси Л есть открыпгое множество. Пусть Л вЂ” точка регулярности. Нам надо доказать, что и все точки Л.+-а при всех достаточно малых положительных а сугь также точки регулярности. По условию существует такое положительное р, что имеет место (65), откуда [(А — (Л -+ а) Ех~]= ](А — ЛЕ) х]] — а ]х]]=-(р — а)]х"„ откуда и следует, что при а(р все точки Л-+-ч суть точки регулярности. Следствие 4.
Точки спектра самосопряженного оператора образуют замкнутое множество. Непосредственно следует из следствия 3 [32]. Теорема 3. Значения Л=т и Л=М принадлежат спектру. Предполагая М)т, докажем утверждение теоремы для Л=М. Введем самосопряженныв оператор В=А — тЕ, имеющий границы О и М,=Л вЂ” т)О. Его норма равна М, [126]. Из определения верхней гранины следует, что существуег такая последовательность х„ нормированных элементов, что (Вх„, х„) =М, — а„, где 3„'=- О и а„— О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
