1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 100
Текст из файла (страница 100)
при всяком Ф Х р2' (Л) = ~ в2' (Л) арьч' (Л) и рьч'(Л) = ~ Я' (Л) арь (Л), где ф'(Л) измерима по отношению р„"'(Л), не отрицательна и суммируема, и аналогично для уя"'(Л). 154. Спектральное разложение унитарных операторов. Пусть А — некоторый самосопряженный оператор и $„ — его спектральная функция, причем Вх =О при Л=О и (Лт=Е при Л=1. (294) Построим оператор У по формуле 1 У= е'"г" Ыу, = е'ы" . Для построения сопряженного оператора достаточно функцию е"ц заменить сопряженной е "' [143[, т. е. ! (295) У* = ~ е "' афм достаточным условием унитарной эквивалентности.
Соответствующий унитарньн1 оператор У ле~ко строится как оператор, преобразующий подпространство собственных элементов В в подпространство собственных элементов А, соответствующих тому же собственному значению. Вопрос об условиях унитарной эквивалентности становится гораздо более сложным при наличии непрерывного спектра. Приведем без доказательства основной относящийся к э~оку случаю результат (пространство считается сепарабельным).
Для унитаоной эквивалентности двух самосопряженных операторов Агн и А "' необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 1) спектры этих операторов принадлежат одному и тому же типу (чисто точечный спектр, чисто непрерывный спектр или смешанный спектр); 2) при наличии точечного спектра он состои~ для обоих операторов из одних и тех же значений с одинаковым для обоих операторов рангом; 3) при наличии непрерывного спектра число инвариангных подпространств в нормальном разбиении непрерывной части спектральной функции для операторов одно и то же, и если ввести для нормальных представлений непрерывного спектра А"1 и Аы1 функции [[5х уь /[Я=ран (Л) и Яь, уяч [[Я=ря (Л), 485 1661 Фл'сскссии слмосопвяжаиного опагатогл в силу формулы (214), приходим к раиенствзм УУв=УвУ=5, т. е.
оператор У, определенный формулой (296) при условии (294), есть унитарный оператор. Приведем без доказательства обратное утверждение. Теорема. Если бралсь всевозможные разложения единицы, удовлетворяющие условиям (294), то формула (295) представляет собой общую форму унитарных оператооов, причем различным разложениям единицы блл соответствуют различные унитарные операторьс У.
В [143) мы определили функции У(А) самосопряженного оператора А, соответствующие непрерывным функциям у(1). В следуюсцем параграфе мы обобщим это определение на широкий класс функций УИ). 7 (А)= ~ 7"(Л) аул или эквивалентной формулой для билинейного функционала (Р(А) х, у) = ~ У(Л) сГ (Р лх, у), (296) причем (балх, у) есть комплексная функция ограниченной вариации от Л. Она, как известно 1126], является линейной комбинацией четырех неубывающих функций вида ,')аале Цч, где а — некоторый элемент из Н.
Таким образом, если 7" (Л) — любая ограниченная функция, измеримая по отношению к неубывающим функциям ~! Влг~!я (297) при любом выборе е, то интеграл (296) существует для любых х и у, и тем самым определен билинейный функционал (У(А)х, у). Дистрибутивность этого функционала очевидна из дистрибутивности (балх, у). )(окажелс ограниченность этого функционала, причем будем считать функцию 7"(Л) вещественной, что, впрочем, несущественно. В силу ограниченности, /у(Л)/ ( С, где С вЂ” некоторое положительное числО. Полагая у = х, приходим к выражению для квадратичного функционала м (У(А) х, х) = ~.У(Л) с1 /! Р,х !!'.
ьс (298) 166. Функции самосопряжениого оператора. Пусть А — некоторый самосопряженный оператор и $л — его спектральная функция. Если 7"(Л) непрерывна в промежутке )т, М1, то оператор 7"(А) мы определили формулой м 486 1188 пвостванство гильвввта Напомним, чго если ф отличгю от нуля, то последний интеграл равносилен сумме у(ьч) !! ф х(!'+ ~ у(Л) И/) ф,ха~, где последний интеграл понимается как обычный предел сумм. Из неравенства )~(Л) / =.Си 11фгих/~=/1х)! получаем для интеграла (298) оценку 1(У(А) х, х) ) ( С !) х 9'. (298,) Далее имеем, обозначая через й вещественную часть: 4й ~ Я.) вг(фтх, у)= М м = ') г(Л) сг($т(х-+у), х+у) — ~ У(Л) Ы(5т(х — у), х — у), или 4Я ~ У(Л) вг (Р„, у) = е лг ж — ~ У(Л) 4 В, (х + уН1 — ~ У(Л) вг ~! Вх (х — у) 1~, и, в силу (298,), м 4 ~й ~ У(),)с((йтх, У)~( С(1х+У'~а+)х — У)т) =2С[~~х3~'+ ~~У'г'3.
т Рассуждая, как и в 1122), можем из этого тождества непосред- ствеюю получить такое же без знака вещественной части: м ~ гр~пь, я( пс~~ гч. ьгг При !х)=,'.у '=1 получаем оценку м ! (У(А) х, у) / = ~ У(Л) г( ®„х, у) «С. Если х ну имеют любую положительную норму, то можем написать ЩА) х, у) = ~ х ! ')у ( ° /(А) —, — ), 165] Функции слмосопРяи(е!и[ОГО ОпеРЛУОРЕ причем элементы †, и †, имеют норму, равную единице, и, в силу х у !у~ оценки (299), [(у(А) х, у) 1 ( С1, 'х] . ~>у [, откуда и следует ограниченность билинейного функционала (7" (А) х, у).
Таким образом, мы приходим к следующему основному результату: еслу г(Л) — ограниченная функция, измеримая относительно неубывающих функций (297) при любом выборе е, то формула (296) определяет линейный оп ератор г"(А). Оглгетим некоторые свойства операторов 7"(А). Если у(Л) веществ е ни а, то из (296) при у=х непосредственно следует, что 7(А) — самосопряженный опера гор. Если 7"(Л) комплексна, то сопряженный оператор 7"(А)Ф получаем по формуле (296) при замене /'(Л) сопряженной функцией. Если 7"(Л) )О, то из (298) следует, что 7"(А) — положительный операгор. Рассмогрнм функцию 7" (Л), определенную следующим образом: Д(Л)=! при Л((л и ~„(Л)=0 при Л)!л, (300) Эта функция есть, очевидгго, В-функ>сия, и мы можем составить интеграл (296).
Разбивая область интегрирования на [т — л,, р] и [[л, А4], получим (У (А) х, у) = ~ й(балх, у) = (Вих, у), отк> дя гл дует (30 !) 5, =~; (А). Мы получим эту формулу, допуская, что всякий самосопряженный оператор А имев~ спектральную функцию 5л, через когорую оц выражается по формуле (204), т. е. при выводе формулы (30!), мы основывались на теореме из [142], которую мы оставили без доказательства. Эго доказательство по существу будет сводиться к тому, что мы определим для любого самосопряженного оператора А функцию Г" (А), не пользуясь спектральной функцией 5л, и, полагая 5Р =7' (А), докажем затем основную формулу (204).
Пользуясь известными свойствами интеграла Лебега — Стилтьеса, мы легко установим свойства функций самосопряженного оператора А. При этом будем, конечно, считать, что все функции г"(Л), о которых мы будем говоригь, принадлежат определенному выше классу, т. е. ограничены и измеримы относительно функций (2!О) при любом выборе ж Теорема 7, Лггнейной но.ибпнацпп фуннцгсй а>уг(Л)+алга(Л)+ +...
+ а„у (Л) соответсплаует оператор а>]г(А) [-алгсл(А)+...+ +а 7"Р(А). 2, 7"(А) ко.и,иуп>прует с 6Р и А. 488 ! 155 пвостглнство гильвггти 3. И.ггеепг место формула м (Л(А)х, Уя(А)У)= 1 Уг (Л)А(Л)с((3лх, У) (302) и 4. ФУнгсг1гггг гл (Л) гя(Л) соответствУет опеРатоР уг (А) гя (А) =и", (А)гг (А). (303) Докажем, например, что Г"(А) коммутирует с Р„: м м (у (А) В„х, у) = ~ у (Л) гг (фл3 х, у) = ~ .г' (Л) аг (балх, Р., в) =- =(и"(А)х, ф„у) =(З„у(А)х, у), откуда и следует, что и"(А)й =3 у(А). Отмегим еще, что из написанных формул, в силу (180), слелует формула (У(А1 |ах, у) = ~ У(Л) гГ (Влх, у).
(304) формула (302) вытекает из следующеи цепи равенств: (Уг (А) х Уя(А)У) = ~ Уг (Л) г((балх, Уя (А)У) = ~ Уг(Л)аг(Уя(А) 3лУ, х) = м л м = 1 ~г (Л) г4 ~ ~ и, ((и) аг ($ у, х) ~ =. ~ Ул (Л) ~; ~Л) гК (балх, у). (305) Наконец, (Уг (А) У, (А) х, у) = ~ Уг (Л) г( (Злая (А) х, у) = м л иг = ~ Ул (Л) 3 ~ У, ((л) аг (Р,х, У) = ~ Уг (Л) У, (Л) г1(3л У) и такая же формула для произведения у,(А)уг(А), Совершенно так же, как и в 1143), мы можем показать, что у(А) комму тир ует с любым оператором В, коммутирующим с А. Верно и обратное предложение, т. е. если ограниченный линейный оператор С коммутирует с любым оператором В, коммутирующим с А, то существует такая функция у'(Л), что С=у(А).
Доказательство этого важного предложения 489 1661 кОммутиРующие ОпвРатОРЫ можно пай~и в статье Ф. Рисса «О функциях эрмитовых операторов в гильбертоиом пространстве» («Успехи математических наук>, 1Х). Если в формуле (305) положим гэ(Л) =у",(Л) ну=х, то получим [[Л (А) х [~э — — ] ] ~~ (Л) ]э а ]] $~х [,э. (306) Отметим еще некоторые простые факты, касающиеся функций самосопряженного оператора. Если ]г"(Л)] = 1, то у(А) — унитарный оператор. Если г"(Л) принимает только значения 0 и 1, то 7"(А)— проектор.
л(окажем, что если Л = Л, есть собственное значение А и х, — соответствующий собственный элемент, то 7"(Лэ) есть собственное значение 7"(А) с тем же собственным элементом х,. Мы знаем, что $,х,=О пРи Л(Л« и $лхэ — — хч пРи Л~Л„И фоРмУла (296) дает нам и ри любом у: (г (А) х„, у) = г(Л«) (х„у) = (У(Лч) хэ, у), откуда, ввиду произвольности у, и следует, что у'(А)хе= У(Л«) х,. Отметим, что если У(Л) имеет конечное число разрывов, то она измерима относительно всех функций (297), и тем самым 7"(А) имеет определенный смысл. То же самое будет и в том случае, когда г"(Л) есть В-функция [47], чем мы уже пользовались выше. д„,„ = а;а„д„'" есть проектор в полпространство 77„»„, которое состоит из элементов, общих ум М„ и лУ, [140[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
