1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 102
Текст из файла (страница 102)
(314) оо Докажем, например, вторую из этих формул. Положим, что промежуток Д, определяетсв неравенствами а ( Л (Ь; с -!о(о1. Мы имеем ~ ~ аоуо((Е„х, у) = ~ ~ Лотлоу„($л' $'„пх, у) + г ~ ~ итулоу ($л' $'т'х, у). оо ло оо В первом из напнсанньж интегралов можно после образования суммы Римана — Сгнлтьеса просуммировать но !о, так как подынтегральная функция достаточно, чтобы существовала талая последовательность нормированных элементов х„, что к„" 0 и имеет место (307) Теперь уже нетрудно доказать теорему 1. Прибавим к оператору А вполне непрерывный самосопряженный оператор С, и пусть А, = А + С. При этом А — Ао + ( — С), где ( — С) — также вполне непрерывный самосопряженооый оператор.
Пусть Л = !о — точка сгущении спектра А и хл — последовательность, удовлетворяющая условию (307). При этом, в силу х„ " О, Схо ††) О, и из неравенства !! А,х„— !ох„!! ( (! Ак„— пхл )! + ! сх„", следует, что !~А,хл — !охо!!-О, т, е. Л = П есть точйа сгушейия спектра и для Аь Точно так же из формулы А =А, +( — С) следует и наоборот, что всякая точка сг>щения спектра А, есть и точка сгущения спектра А; теорема таким образом доказана. 494 [153 пгостняпствп Гильвентз не зависит от и, и при этом надо принять во внимание, что $',э' = 0 и 3;т' =, Точно так же вп втором интеграле можно просуммировать цо а, причем 3„' = и и Ц' = Е. Таким образом, получим а Ф ~ агИ (Вх, у) = ~ >0 ($лх, у) + 1 ~ ПФ(й ах, у) = (А~х, у) + 1(Ах, у) ао а с С другой стороны, (Ах, у) =(Л,х, у) + 1(А ах, у), и, сравнивая, получаем вторую формулу (314).
Дальнейшая общая теория нор. мальнык операторов моткет быть развита по аналогии с теорией самосопряжсн- нык операторов. Пусть в случае нормального оператора А самосонряженные операторы А, и Аа имеют чисто точечный спектр. Мы можем взять замкнутую ортогонаяьнчо нормированную систему элементов ха (й = 1, 2, 3, ...), нвляющихся собствен- ными элсмснтамн А, и А, (156), т.
е. А,х„= мя' х„; А х„= раых При этом очевидно Ах„=(А, + (Аа) х =(Р'„о+ и~э'1) х„, и, таким образом, ха будут собственными элементами А, соответствующими собственным значениям Рвы+ я'„н(. Рассмотрим еще тот случай, когда нормальный оператор А вполне непрерывен. Мы знаем, что при этом и оператор А* вполне непрерывен и, в силу (3!1), операторы А, и А, также вполне непрерывны. Нетрудно распространить на нормальные вполне непрерывные операторы и теорему из (136). Пусть Ра — собственные значения А„ отличные от нуля, и х„ — соответствующие собственные элементы, т. е.
А,ха = маха. Принимая во внимание, что Аа коммутирует с Ан получим, применяя к обеим частим А,: А ~ (А„ха) = РаАах», т, е. Азха есть или нулевой элемент, или собственный элемент Аь соответствующий точу же собственному значению. Положим, что ра есть собственное знзченис Ранга й и па=матч — — ... — — Раэа ь ПРи этом, в силУ Сказанного выше, мы должны иметь а Рл — ~ сйхт А„х = (У=к, 3+1, ..., к+й — 1) сй —— (Ляха х,) = (хг, Аах ) = с,д т. е. с образуют конечную эрмитову матрицу. Совершая над х, унитарное преобразование, что несущественно, мы моя<ем привести эту ма~рину к диагональному виду и таким образом, сохраняя прежнее обозначение элементов, можем написать А,х, = Р,хй А ах) = чает (У = й, й+ 1, ..., й+ й — 1), 495 испомогатйльныв певдложвиия 159! некоторые из ~лчсел те пли лаже все этн чнсча, могут быть равны нулю.
Мы можсм проделать эту ойерачлию для всех собственных значений Аь отличных от нуля. После этого мы можем и не получить всех собственных значений А„отчичных от пула. Если мы возьмем эти ашюлученные собственные значения А„отличные от нуля, и совершим о/ераппю, аналогичную предыдувлей, отправляясь от Ал и переходи к А„ то окончательно получим конечное нли счегное множество элементов ул (Л = 1, 2, ...), ~опартю оргогональнык, нормированных и таких, что АлУа — — члл'Уа; АчУа — — мал'У„, причем из дятх вещественных чисел Чл'л' и р'„л' по крзйней мере одно отлично от нуля, а всякий собственньн! элемент А„ соответствуюгцнй собственному значению, отличноллу от нули, выражается линейно через конечное члю.чо уа и аиалочично для Ал.
Далее имеем, очевидно, Ау, = (ра' ' + гл„л т) у; А*у„= (1л',о — гл„т) Е„ Положим, что х = Ау = Агу + тА,у. Мы имеем (!36): А,у= У алуа и А,у= У блуа, а а и, таним образом, любой элемент х, который выражаегся в виде Ау, может быть разложен по элеменлам у„: х = Ау = (аа+ Ьал1уа.
с а Отметим, что если, например, р„' =О, то в разложении А,у будет отсутствовать член, содержащий уа. Выше мы видели (!55), что если оператор А есть функция самосопряженного оператора В, то и Аэ есть функции от В, а потому А и А* комчутируют, т. е. А есть нормальный оператор, Таким образом, любая функция саиосоцрнженного оператора есть нормальный оператор. Верно и обратное утверждение: всяний нормальный оператор есть функция некоторого самосопряженного оператора. Действительно, пусть имеется нормальный опера~ар А = А, + 1Ал.
Самосонряженные операторы А, н А, коммутируют, а потому, как мы упоминали в!!56), они суть функции одного я того же самосопряженного оператора В: А, = 1',(В) и А, = Р,(В), Строя функцию Р(Л) = В,(Л) + тр,(Л), получим А = Г (В), что мы и котели показать. !59. Вспомогательные предложения.
Задачей это~о и следующих параграфов является доказательсгво основной теоремы из (!42) и того факта, что если некоторый оператор коммутирует с самосоиряженным оператором А, то он комиутнрует и с его спектральной функцией Вл пря аюбом Л, При изложении этого доказательства мы можем пользоваться тел!и резулыатами, которые были получены до /!42).
Предварнтечьно нам надо изложить некоторые вспомогательные лемллы. Лемма 1. Гели А и  — ко.чгмулиируютцие еалтосаттряженные олераттча)ты, удоалеттчаорнютцие гоошнашенню Ах=В', (315) и Р— апераячор праекшнроаания а падпрасшрансшаа 1, образованное злементалти х, колюрыа ч г)тлалеттчворяют > равнению (А+В)х=О, т. е. Ахлш — Вх, (3161 496 ! 169 пгостгапстно Гнльввгта спо илсеют лгссто следующие свои пилат 1) если некоторый оператор 0 ко.плтупшрует с (А+ В), тпо он коч.
мутпирует и с Р; 2) если Ах =О, то х г ь', вь е. Рх= х; 3) оператор А может быть выражен форвтулой А =(Š— 2Р) В. (317) 1. По условию имеем 0 (А+ В) = (А+ В) О. (399 Если хе ь, то, в силу (316), 0(А+ В) х =О, а потому и (А+ В) Ох=О, т. е. и 0хс ь. Если г — любой элемент из Н, то Рг(- ь и по только что доказанному 0Рг б ь', а потому можем написать для любого элемента г из Сч РОРх =0Рх, т. е. РОР= 0Р, (3!9) Переходя в (318) к сопряженным операторам и принимая во внимание, что А и В в самосопряженные, получим (124): (А + В) 0в = О* (А + В], т.
е. и 0* коммутирует с А+ В, и мы можем и для него написать формулу (319), т. е. Р0"Р= 0вР. Переходя в этом равенстве к сопряженным опервторам и принимая во внимание, что Р— самосопряженный оператор, получим РОР= Р0. Сравнивая это рзвенство с (319), будем иметь 0Р= Р0, т. е, 0 действительно коммутирует с Р, что мы и хотели доказать. В частности, операторы А и В по условию коммутируют с (А + В), а потому А и В к о м м у т и р у ю т с Р.
2. Из равенств ((Аг)в =(Аг, Аг) =(А'г, г); )1Вг'„' =(Вг, Вг) =(В'г, г) и условия (315) следует, что (! Аг !'= ! Вг !! для любого элемента г. Если Ах = О, то и Вх= О и, следовательно, х удовлетворяет уравнению (316), т. е. х Е ь' и Рх=х, что мы и хотели доказать. 3. Из того, что А и В коммутируют, и нз условия (315) следует, что (А+В)(А — В)=0, т. е. если г — любой элемент Н, то (А — В)гЕ ь, и следовательно, Р(А — В) г = (А — В) г, т. е.
Р(А — В) = А — В. Далее длв любого элемента г элемент Рг ~ ь, и, следовательно(А+ В) Рг=О, т. е. (А + В) Р = О. Вычитая из этого равенства предыдущее и принимая во внимание, что А и В коммутируют с Р, получим 2РВ = — А + В, откупа и следует (317); лемма доказана. Лемма 2.
Если самосопряженный оператор СтжО и самосопряженный операспор Р коммуишруют с С, п1о Р'С =СРт) О. Принил1ая во внимание условие леыпы, л~ожем написать, обозначая Рх=у: (СРэх, х) =(РСРх, х) =(СРх, Рх) = (Су, у) ) О, что и доназывает лемму. Отме1ии один частный случай леммы. Если проектор Р коммутиртет с С, то, в силу Р" =Р, люжем утверждагть что РС~О. Если Р(С) =а, + а,г+ ... + апта — нск тоРый полаюм н А — опеРатоР, то, нак мы видети, мы можем сопоставить потному РОВ оператор Р(А) = 497 1691 всиомогаткльныР >гяздложниия Р(с) = ~ с С*(1 — С)Р в, (320) э о где вге коэффициенты с положительны. Для нови»омов первой степени это вытекает из форлгулы Р09 = са (1 — г) + с>й где сь =э (0) и с, =/(1).
Расслкжрим положительный котином второй степени, когорый не разлагаетсн на вещественные лгножители первой степени: Р(Г) =а+ 2!С+ )Р (а) О, Т) О, ау — Рг ) 0). Принимая во внимание формулу 5=0 можем написать предыдущий пошшом в виде Р Р Р(С) =а У Свгг (1 — Г)Р '+ 2/М у' Сэ 'Св '(! — ()Р в+ Р е — ! Р +Тгг У С',-,'Сл-'(1 — Г)»-', илп, ириводя подобные члены, (р — ')1 Р(Г) = У,г ',С»(1 — Г)» а(Р(Р— 1) а+ 2з(Р— 1)>9+ з(з — 1) Т!. (32!) =-о 1)ыраженис, стоящее в квадратных скобках, положительно ггри всех вещественных з и нри всех достаточно больших эначснинх р. Действительно, днскриминант этого трехчлсна относительно з 1 р (р — ! ) а( — —. (2рр — 23 — 3)т = 4 = р' (ау — !"') + р (2ва + 2ру + а) — — (23 + Т)т, 1 4 в силу ау — '„.- ) О, полож>гтслен при вссх достаточно б >лшннх р.
Таким образом, форчула (321) и приводит к формуле (320) с ноложитсльнычи с, длн всех достаточно болыних значений р. !)озьмсч теперь любой положительный полинам в промежутке (О, 1!. Его можно представить в виде произведения положительных иолиночов первой степени и положительных полин>м»н второй степени с мнимы>ш корннми. Дэя каждого множителя иь>еем разложение (320). Тсч сачыч с>ьЕ+ о>А + ... + п„А". Если А — сачпсоирч>кснный оператор и коэффи,ренты о„вещественны, то и Р(А) — сам>жанр»манный оператор. Длн выяснения свойств нолиномов от операторов нам и >надобятся с>цс две леммы. Леммсг 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
