1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Если мы выберем з ~ орты ф„или ф„, то получим,одну и ту же матрицу с элементами г㻠— — (Уф», ф;) =(ф», з,), сг» =(Уф», ф,) = (ф„, У'ф;) =(ф„, У 'фг) = (ф», ',!). или с㻠— — ~ ф„(Л) ф, (Л) лгР (Л). » (52) Поскольку переход от Н, к »'.» не меняет скалярного произведения, можем написать 516 [166 пвостР»нство Гильвяит» В новых ортах элементы ма~рицы, соответствующей операгору .1 будуг определяться формулами, аналогичными формулам (51): » 5ы = ~ Лф» (Л) ф,. (Л) (р (Л). (531 Если ";» (Ф = 1, 2,...) — составлякнцие некоторого элемепщ в ортах о», и (» — составляющие того жс элеменга в ор~ах г)».
щ с» — — (х, а») и (» =(х, ф») =(х, Ур») =(У 'х, ~»»), откуда видно, ч~ч (Вп ' и...) выражается через ($и см ...) прн помощи матрицы, обратпои упигарнои магрице с, . Таким образом, если обозначигь через А, й и С матрицы с элелгентами аы, Ьг» и сци то будем иметь матричное равенство В=С 'АС. (541 Пользуясь формулой (263) из [147[, (49) и (50), можем написа~ь [ и [; » 7»»(1»)= [ е»(Л)»~;(Л) Ыр(Л), » (55) Принимая во внимание (39), можем написать выражение для элементов матрицы у(А) (в ортах в„), где У(Л) — любая ограниченная В-функция, определенная на промежутке [а,д[: [ У(А) [,.» — ~ У(Л)~»(Л) (Л) Ур(Л). 1 (об) При г'(Л) = 1:(Л вЂ” 1») получаем резольиенту указанного оператора » [ Й (1») [»» — — ~ ~— " г' г1р (Л).
(о7) Если у(Л) — вещественная функция, то у(А) — самосопряженнын оператор, и, совершенно аналогично (55), можно написать элемеин» для спектральной функции ф„' оператора у(4): [ 5,.' [;»= ~ е»(Л)с~и)г(р(Л), с,„ где С„ — множество значений Л, определяемое неравенством у(Л) == р, На доказательстве этой формулы не останавливаемся.
Спектр у(А) может иметь различный характер в зависимости от свойств у(Л). Выше мы исходили от заданного самосопряженпого в Н, оператора А и определенного элемента х такого, что замкнутая линейная оболочка $„х есть Нн Вводя орты »», мы приходили к У» и бес- 517 1ЕВ! глгчлй паники»!нного спвктил конечным матрицам, причем имели место указанные выше формулы. Можно, наоборот, выбрать произвольную непрерывную, неубывающую на промежутке [а,Ь[, функц!но р(Л), равную нулю при Л = а, и замкнутую ортогональную нормировшгную систе»гу г»»(Л), После этого формулы (51) определяг элементы а;», удовлетворяющие, очевидно, условию и;»=а»!. 1!егрудно показать, чго матрице с элементами аг» соогветствует ограниченный оператор в 7» Действигельно, обозначая через И наибольшую величину абсолютного значения [Л[ на промежутке [а, Ь[, мы имеем, в силу (51), т » ч ! У а!»Щ ! = 7!7 ~ ! ~ с»» (Л)(» / гор (Л), и»=-! г, » =- ! или, принимая во внимание ортогональность и нормированность !у»(Л)! ~ гг а;»$»1! )( И ~ ".» (, г,».= ! »=! откуда и следует ограниченность соответствующего оператора.
Его самосопряженность вытекает из а;»»= а»!. Формулы (55) определяют элементы оператора проектирования, зависящего от параметра 1» и являющегося разложением единицы, причем, очевидно, а!» = ~ Лп[мл[ы а т. е. $, есть спектральная функция оператора А. Если в формулах (50) перейти к сопряженным величинам, то получим составляющие р„(Л) элемента $»х и при ), = Ь вЂ” составляющие самого элемента х. Из (50), в силу уравнения замкнутости, следует, что р(Л) выражается формулой (47).
В общем случае самосопряженного оператора А с непрерывным спектром мы образуем попарно ортогональные инвариантные подпространства Нн Нь,, в каждом из которых А имеет простой спектр. Вводя н каждо»! из А„ свои орты, получаем для каждого Н» формулы указанного выше вида, Затем окончательное выражение, например для билинейной формулы (Ах, у), может быть получено путем сложения билинейных форм в каждом из Н». Можно легко обобщить понятие простого спектра, отказавшись от требования непрерывности спектральной функции сч!;.
По по-прежнему должен существовагь такой элемент х, что 5»х образует все Н. При этом неубыиающая функция р(Л), определяемая формулой (47), не обязательно непрерывна. Мы можем, очевидно, считать х норчированньи элементом и при этом будем иметь, кроме р (а) = О, еще р (Ь) = 1. Если, например, А имеет чисто точечный спектр и все собственные значения имеют ранг, равный единице, то, взяв за х б>1Я (167 пенс!Рлнсгно Гильвввтл л>обои элемент, у ко>орого все коэффициенты Фурье отпосителы>о замкну>ой сис>емы собс>венных элементов отличны от пули, мы ма>кем утверждать, что 6>х образует все Н, и указанный спектр буде> простым.
При наличии кратных собственных значений спектр, как не>рудин пнаеть, не может быть простым. Мы получим об>ций случзй простого спек>ра, если при разбиении всего Н па полпросгрзнсгво собственных элене>цов и подпрострзнстно непрерывно>о спек>ра Г>удем иметь в обоих нодпространсгвах простые спектры. В перво»> поднространстве спектр будет прост»>м тогда и только .>огда, когда все собстненные значения — простые. Если простои спектр не непрерывен, то 6ч„ имеет скачки, и р ()), определенная формулой (47), также должна иметь разрыв непрерывности и точках разрьша 9», /(ействн>ельно, если бы в точке разрыва ), = л' спек>- ральной функции >й» функция р(Л) оказалась бы непрерывной, то мы имели бы (!)> - — $>' „)х= О, и все элементы пространства, образованного 6>х, оказались Г>ы оргогопальными к собственным элемен.>ам, соответстнующим собстве>пюму значени>о Л=Л', и отсюгш следовало бы, что $,х не может образовать всего Н.
167. Матрицы Якоби. Пусть и бе.конечномерноч пространстве Н самосопряже шый оперзтор А имеет простой непрерывный спектр. Ортогоналнзуя степени Л по отношению к р(Л) на проиежугке (а, Ь|. получим в качестве замкнутой системы у»(Л) предыдущего параграфа сис гену вещес гневных полиночов Р (л) (/г = О, 1, 2,...) степени Ь: ! 0 при > ./>, Р (л) Р»(л) г/р(Л) = [ ! при >=/>. й (69) Старший коэффициенг н каждом полиноме Р,(Л) можно считать положительным. В прежних обозначениях мы нумеровали функции »»(Л), начиная с />=1. Теперь нумеруем Р»(Л), начиная с />=0, поскольку /> обозначает степе»ь Р»(Л).
Таким образом, Р»(Л) заменяют 7»,>(Л). При указанном выборе ортов элементы матрицы, соотве>сгву>ошей оператору А, определяются, согласно (51), формуламн а>» = ~ ).Р;(Л) Р»(Л) г/р (л) (/, /> = О, 1, 2,...). (60) Положим, что /г — >) 1. При э>ом произведение ). Р;().) есть полинам степени ниже а; это произведение ныражается линейно через Р,(Л) при з(Ь и, в силу (69), интеграл (60) при этом равен нулю. Совершенно так же он равен нулю и при 1 — /> ) 1, ибо 16!) 61о илп ицы якови ~ Лрд(Л)«к(Л); Ьд= ~ Лр,(Л) р >, а И (Ь=О, 1, 2,,) Число Ьд яходнг и лннешюе представление произведения ЛР,(Л) через Р,(л) (а=О, 1, 2... >г+ 1): лР» (л) = Ьд Р»,, (л) + ~ с,' ' Р, (Л), —.о (62) и из положительносги старших коэффициентов у полиномов Р (Л) следуег, что Ьд) О.
Из (60) и сказанного выше следуею ад»=а»; ад»и =ад . »=Ь„; аы — — 0 при !1 — >г !) 1, (63) и, таким образом, при выбранной системе ортов матрица преобразования нмеег вид >! ад Ьд 0 0 0 ...' " Ь, а, Ь! 0 0 ... О Ь, ая Ь,.О ..., 0 0 Ья ая Ь, ..., (64) причем Ьд) О. Вещественная, самосопряженная, удовлегворяющая условиям (63) магрица называется матрицей Якоби. Таким образом, при подходящем выборе ортов матрица саиосонряженного оператора с простыи непрерывныи спек- гром есть магрица Якоби. Пользуясь формулой (59) и обозначенияии (61), нетрудно вычислить коэффициенты в разложении (62), умножая обе части на Ри (л) сгр (>,) и интегрируя по Л, При т (Ф вЂ” 1 интеграл от ЛР»(Л) Р„(Л) г>р (>,), как мы видели выше, равен нулю, и, отсюда следуед, что с„, = О при щ ( >г — !. При вычислениях ос гальных коэффициентов пользуемся обозначениями (6!) и приходим к следующим соотношениям между полиномами Р (Л): > Рд (л) = Ьдр», (Л) + ад Рд (Л) -1- Ьд, Рд, (л), Р, (л) = 0; Рд (Л) = 1, (65) причем (66) 1йюледнее равенство вьпекает из того, ~го, как мы указывал~ выше, можно считать р (Ь) = 1, а первое иринина гся яа определение аы — — аы, т.
е. аг»=0 нрн 1 — >г1)О, Ввелем следующие обозначения; 620 (167 пгостпацство Гщп вьвгл Можно, как и в предыдугцем параграфе, исходить от непрерывной, неубывающей функции р(Л), строить систему полиномов, ор. тогональных относителыщ р (Л), и элемен гы ма трюма 5! коби по формулам (60).
В силу сказанного в (163!, элементы матрицы (64) должны быть ограничены по абсолютной величине. Это легко получить и из (61). Предыдугцие рассуждения приводят пас к следующему результату: Теорема 4. Всякая са.иосоирилсеннап лгапгрпца, соответствую- иСая ограниченному оператору с простым непрерывным спектром, унитарно эквивалентна неко»порой „иатрице 5.'юсоби вида (64) с ограниченнымн эле,вен»па.ни и Ь») О. Мы .пажем получит» все такие лгатрицы по формуле (60), где !а, Ь) — любой конечный промелсуток, р(!.) — неубываюи»ая, непрерывная на нем функция, подчиненная условию р(а)=0 и р(Ь)= ! (последнее несугцественно), и Р; (Л) — о)ппогоналъния нормированная относительно р ().) система полина»гав.
Будем исходить из заданной матрицы Якоби, причем мы считаелц что в этой матрице элементы а㻠— — а»н при !! — й ! = 1 отличны от нуля. Если мы от исходной системы оргон перейдем к новой, умножая каждый из оргон па вырви»ение вида е""», то при подходящем в1»боре м» получим, как негрудно проверит»ь магрицу Якоби, унитарно эквииаленгпую заданной, такую, что элементы а;» при ! ! — й ! = 1 положи гелыиж Мы можем, таким образом, считать, чго заданная матрица Якоби имеег вид (64), причем а», очевидно, вещественны и Ь») О.
Принимая ио пнимание теорему 2 из !163) и одно ич следствий теоремы 1, можем утверждать, что для того, чтобы матрица (64) осущесгвляла линейное ограниченное преобразование, необходимо и достаточно потребоиать ограниченность чисел а„и Ь„ одним и тем же числом И, не зависящим от и» ',и ~- Лг; !Ь„~«Д7. (67) Мы это будем предполагать в дальнейшем. Пусть (68) 'т'ч 'чЧ фя ° ° — основная система ортов. Обозначая через А саъгосопряженный оператор, соответствующий матрице (64), можем написать А:)» = Ь».л ')» ~ + а»ф» -) Ь»ф» д (и = О, 1,...; ф ~ = 0). (69) Если мы введем полинины Р»(),), определяемые соотношениями (66) и (66), то, пользуясь последней формулой, можем выразить любой орт ф» непосредственно через первый орт ф„ по формуле (70) 7» = Р»(г!1'7».
521 168! диигягнцилльныг: яюцвння 11усть 5„— спектральная функция оператора А, т. е. матрицы (64). Из формулы (70) непосредственно следует, что элементы )Л«ф» обра- зуют все Н. ))еисгвительно, и силу (70), ф«= ~Р,())Ф.Ф., где а и Ь вЂ” границы оператора (64), т. е. ф» являегся прелелом линейных комбинаций элементов ф«ф,г и всякип элеменг разлагаегся по ортам г)«. Таким образом, матрице Якоби соответствует простой спектр (не обязательно непрерывный), и роль основного элемента х может играть пер выи орт ф». На основании (70) мы мо.кем написать (тг ф») =(Рг(А) ф«Р«(А) ф») =(Рг(4) Р»(4) ф» Ф») (Афн ф»)=(АРг(А) Р«(А)ф», ф»), и, вводя функцию р(Л) =(В«ф, ф ) =)В ф ~~', (71) на основании этих равенств получим » а; ь)= (»,р~р,(ч»(я~=( а « (Аф,. ф») = ~ ),Р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
