1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Обозначим буквой К оператор (93), считая его впоане непрерывным и самосопряженным. Укажем для него построение спектрзльной функция $„ н резольвенты Рт = (А — !Е) '. Вместо $т мы введем лругую функцию для того, чтобы иметь возможность представить се в виде интегрального оперзтора, а именно мы положим Е„=3, при Л(О; З,=5,— И при Л)О н З,=О.
(112) Принимая во внимание, что спектр чисто точечный, мы можем утверждать, что $л есть оператор проектирования в надпространство тех собственныл функций у„(х), для которых Ль ~ Л, Проекция функ~ши у(х) на одномерное надпространство собственной функция рь(х) представляет собой пронзве. денис алуа(х), где ал — коэффициент Фурье у(х): ь а„у„(х) = ~ ча(х) у„(у)у(у) т?у. а Танич образом, оператор проектнрованнв на указанное одномерное надпространство есть интегральный оператор с ядром рл(х) ~~(у), н можем написать .ь П>у(х) = ~ ~, вь(х) у~(у)у(у) ау при Л ( О. .~ т а гле суммирование распространяетсн на те значения Л, для которых Л„ ( Л, н написанная сумма содержит конечное число слагаемых в силу свойства спектра вполне непрерывного оператора.
Таким образом, оператор ом прн Л ( О есть интегральный оператор с ядром З(х, у; ?) = ~ ча (х) уь (у) прн Л ( О. (! !8) Принимая во внимание формулу (!!2) н сказанное выше относительно $л, можем утверждать, что З„прн Л 0 есть интегральный оператор р ялром О (х, у; Л) = — ~ ~ чл (х) рл (у) при ? ) О, (! !4] ь.ь Л спек ГРлльнля пункция (пводолжвнив) 535 1761 тле сумма также содержит конечное число слагаемых. Когда Л проходит через собственное значение, то ядро меняется скачком. Из формулы (!!2) непосред- ственно следует, что 0л' —— бл прн Л ( О и Ол' = — бл при ). ) О, что пожег быть записано в виде 0 (х, г;л) 0 (г, у; л) пз = - 0 (х, у; ц ~ + +при Л сО, (115) †пр)О. а Функции 77лг(х) нвляется, очевидно, решением уравнения (109) при ).
= А причем предполагается, что 7 ~ О и не совпадает ни с одним из Л». Можно дать другую формулу для резольвенты, исходя из формулы (х) ( пйлт (х) (116) где интегрирование фактически происходит по конечному промежутку, содержащему спектр оператора. Пусть ), = О не есть собственное значение. Заменяя $л на 0л согласно (П2) и учитывая дополнительный скачок 0л, равный ( — Е) прн переходе Л = О, можем написать предыдущую формулу в виде — Г г(л ~ ~ 0(х,у; Л)У(у) бу 1 й )СтУ (х) = — — у (х) + Вщ + вг +Π— со +о (117) 0ЛУ(х) = ~ 0 (х, у; Л) У(у) г(у. в (1!8) !76.
Спектральная функция (продолжеиие). Спектральная функция была введена для весьма общих интегральных операторов Карлемапом в его работе „Бвг 1еэ ейпа!!опл !п!епга!еа э!пяп!!егев а поуап гее! е! ауще!г!Яне" (1921). Изложение этой теории с современной точки зрения имеетсн в книге Б!опе'а „Ыпеаг !гапв(оппатгопв !п НВЬег! Брасе...". (1932) и в статье Н. И.
Ахиезера „Интегральные операторы с ядрами Карлемана" („ Успехи математических наук", !947). В этих работах исследуются интегральные операторы более общего типа, чем самосопряженные ограниченные операторы, о которых сейчас мы говорим. Случай ограниченных самосопряженных операторов исслеловался Гнльбертом, Хеллингером и другими. Мы приведем в общих чертах результаты для последнего случая.
Ядро К(х, у) ограниченного самосопряженного оператора К можно аппроксимировать ядрами К'ю (х, у) (и = 1, 2, ...), которым соответствуют вполне непрерывные самосопряженные операторы. Это дает возможность показать, что оператор 0л, определяемый формулами (112), где 6 — спектральная фуйкцин оператора К есть при Л ф О интегральный оператор и имеют несто формулы !176 неос!Рансгво гильвн'тл в -)-са ь ~ К(х,у)/(у) ну=~ Лттл~ ~ В(х, 59 Л)г"(у) лу ~, (199 ь ал(х, Л)= ~ О(л', 99 Л)шл(у)ву кри ) —.9, й ь ка (х, Л) = ~ В (х, 59 Л) ма [у) с!у.+на (х) нрн Л . 9 а В точке Л =0 оператор Ол имеет скачок, равный ( — Е).
Мы имеем ь рл(Л) = ~ ! кл(х, Л) !лох, а (129) и, если 9(х) н ф(х) — какие-либо ива элемента из Ум то полагая дь (Л) = ~ кл (х, Л! Ь (л') ггх, (12!] Ьл (Л) = ~ кл (х, Л) ф (х) их, а (122) можем написать формулы нз (149! в внле ь и — Л г(й ч(х) ф(.т) о'л = ~ 1 о'рл (Л] а л т (123) а в м — з(' а лни ~ К(х, у)р(у)ф(х) Фл бр = ~ ( Л кл( ) На„(Л) а а л л1 (124) рту (х) ф(л') в'л = — у !' ада(н)гтйл(н) ,) иал (н) а а ~л (125) а также формула (! !5). В формуле (119) интеграл, стонщий справа, кало шнимать как несобственный. Будем считать, что оператор (97) нс имеет точечного спектра, н приведен для него 4юрмулы общей теории из (117).
Пусть чл(х) суть элементы 1т, соответствующие ул нз (149), причем можно счнтапь что ыл(х) образуют ортонормированную систему. Пользуясь 0(х, ук Л), можно получить нолньп! набор днфференцнальныл решений: тннтлрныв прзовялзонлния и !771 где ю и уй — гранины оператора, а интеграл, стоящий в левой части формулы (124), надо понимать как повторный в каном-либо порядке. Если З(х) принадлежит линеалу й на хотороч интеграл (99) ил!ест смысл, то указанный интеграл существует как двойной интеграл. Остальные формулы из [149[ имеют вил н ( )=ту Р ал л. (., л], Ь Л! К(х, у) р (у) Иу = 1 Л вЂ” — г(ял (х, Л), ч, г г(ет(л) 3 лрл (л) а Л гв у! ъ« р! з(х) =, 1 — ! лгл(х, и), ,1 ира («) (126) (127! 1128) ь и В случае бесконечного числа слагаемых рчлы должны сходиться в среднем к величинам, стоящим слева.
дифференциальные решения х(х, Л) уловлетворяют уравненню а К(х, у) г. (у, л) гуу = ~ р гг я (х, !х), (129! причем мы, как всегла, считает! я (х, ш) = О. Свойства ортогональностн таких решений выражаются формулой ь з „(., л)лйт — (., л) лх =о, й ()т ~ 9) При построения указанных вьппе формул можно исходить из любой полной ортогональной системы дифференпиальных решений я„(х, Л). В следующих параграфах мы рассмотрим примеры интегральных операторов в уи ~ л(у)г(у= ~ К(х, у) У(у)с(у, о СО причем в качестве основного промежутка мы взяли промежуток ( — со, +со), а К(х, у)=! при Он=у(х и К(х, у)=0 при у(0 и у)х, если х)0, и аналогично при х(0.
Подобный результат имеет место и для любого ограниченного оператора т(. Пусть 177. Унитарные преобразования в 7.т. Не всякое унитарное преобразование р(х)= (тг"(х) в Ьт может быть представлено в интегральной форме. В качестве примера укажем тожлественное преобразование р (х)= = г"(х). Но его можно ззписать в ингегральной форме, если перейти к первообразной функпии: (1УУ пвостелнстяо Гильзветл основным промежутком является промежуток ( — со, + оо).
Фиксируем какое-либо значение х и рассмотрим первообразную для АУ(х): ( (г') = ~ (А У(С)1 с(Г. д Мы имеем дистрибугивность г'(Д и, в силу нераяенства Буняковского, оценку 1 1 з е я 1е<гя~$ ) >Амгь! $ ( е~ ~!ль гтрк, ( >о). Отсюда следует, что мы можем рассматривать С(у) как линейный ограниченный функционал, зависящий от параметра х, и, в силу теоремы из (123), имеем ~ !АУ(г)) б( = ~ К(х, у)У(у) фу, о -СО причем К(х, у) Е Бя( — со, +со) по у (при любом х Е ( — со, +со)) и ) ~ К(х, у)!яс(у((~А!!я)х~. ~ К(а, у) К(Ь, у) Иу ~ Е(а, у) Е(Ь, у) с(у гв1п(/ а!, !Ь!) при аЬ)0 (1 30) 0 при аЬ(0 Мы докажем сейчас теорему, которая, при помощи перехода к первообразной функции, дает общий аналитический вид унитарных преобразований.
Эта теорема была впервые доказана Бохнером (Аппа!з о( Ма(йещ, Чо!. 35, № 1, 1934), причелг он рассматривал промежуток 0 = х(+ со. Локазательство не зависит от выбора промежутка. Лля определенности мы возьмем промежуток ( — оо, + со) и через т.т будем обозначать класс функций ст на ( — оэ, + со) (см. Ф. Рисс и Б. Секефальви-Надь „Лекции по функциональному анализу", стр. 316). Теорема.
Пусть К(х, у) и Е(х, у) прп любом фиксированном х из ( — со, +оо) принадлежат ся по у, причем имеют место при всех а и Ь из ( — оэ, +со) формулы !7г) унитлэныв пэвоввазоялния в йг БЗО ь а К(а, у) бу = ь (Ь, у) ау. (131) При этом формулы е +07 ~ ь(у) бу= ~ Е(а, у)Ду) г(у, о — СО а +СО ~ г (у) бу = ~ К(а, у) о (у) бу о — ОЭ (132) (133) определяют унигпарное преобразование о(х) = Щ(х) и обратное ему. Наоборот, если и.иеегпся унитарное преобразование о(х) = =(/У(х), то существуют функции К(х у), Е(х, у) с указанными выше свойствами, с помощью которых У и У ' выражаются формуламгс (132) сс (133).
Начнем с доказательства первой половины теоремы. Введем функцию у,(х): 1 при 0(х -.а У,(х)= (а) О); 0 при х =.0 и х)а ~1 при а(х(0 у', (х) = (а (О) (О при х(а и хзмО и ~„(х) = О, и определим операторы У, и ьгь следующим образом: К(а, х)=Уьг,(х)1 ь(а, х)= (г,~,(х). (134) (135) 1,133) ( ьУь* УьУь) =(Уа 1ь)' (1'ьУа "'ь ~л) =Ча Л)~ (У,У., У,) =()., 1„~„). Составляя всевозможные конечные линейные комбинации функций у,(х) при различных а, мы получим линеал У кусочно-постоянных функций, т. е. функций, принимающих постоянные значения на конечном числе конечных промежутков и равных нулю вне этих промежутков. При этом значения функций на концах промежутков не играют роли, поскольку мы отождествляем эквивалентные функции. Распространим операторы У, и 1', на линеал Е, приняв за основу дистрибутивность У, и Рм Нетрудно видеть, что это распространение единственно. Мы обозначим через Уу и )гу, полученные на 7 дистрибутивные операторы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
