1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Укажем один тип ядер, приводящихся к ядру, зависящему от разности. Пусть К(х, у) — вещественное симиетричное вдро на промежутке (О, со), являющееся олноролиой функцией ( — !)-го измерения. Если мы в интегральном операторе с такии икром (182 пРОстРднстно ГильвяРтл и применяя неравенство Буняковского, получим ,'у~ы- )ггА )г"В, глс ог СО ! 1= 1 ~у(. ) ~ 1 к с, «»,-'-1ул« ~ .-=а у -. У' !! (! н совершенно ана тоги н!о В = а)д ', откуда н следует (172).
Из (!7З следует, что норма оператора с ядром К(л, «) не оревын!аст д В частности, сслн положить Кетэ «) = 1:(х + Р), тп, в силу 2 д о полечим — — — гу.г гб« '.= в / у Сг)з С!') ,1 .г -)- « Совершая указанную выше замену переменнык, можно ггоказать, что оисратор с ядром 1:(х+«) имеет непрерывный спектр нв промежутке (О, я). 182.
Слабая сдодимость. Мыисследовали раньше слабую скодичость в ЕР. Напомним основные результаты для случая р = 2. Если рассматривать Ев($), где $ — лгобое фиксированное измеримое мноагсстно, то слабая сходимость тв(х) " р(х) определяется равенством И а ~ ф (х) р„(х) тУх = ~ 6 (х) 2 (х) ах, в й (173) для лкгбой функции ф(х)-..
Ев(8), Необходимое н достаточное условие слабея сдодимости сосгоит в следуюаем: 1) норагы 17!„)!н ьв®) ограничены; 2) условие (173) выполнено на множестве элементов (г(х)Е Ае(5), линейнаЯ оболочка котоРого плотна в Ет(Р). В одномерном случае, если $ есть конечный или бесконечныя промежуток, второе условие можно заменить ст!едуюгцим: Ва ~ мв(х)г(х= ~ р(х)гтх, ч от где с — любое фиксированное число из указанного промежутка и с — произвольное число из этого промежутка. Можно доказать следуюшее утверждение: е с л и п о с л е д о в ат е л ь и о с т ь функций мч (х) из Ее (5) слабо сходится к некоторой функции р(х) и почти везде на 5 с ходится к нек огород функции ю(х)Е (.(8), то р(х) и о! (х) — - э книна лен тны, 1ВЗ! «щтив осгщаствлвшя ш оси лис~в» Н ббй 183.
Лругие осуществления пространства Н. Можно указа гь. кроме»» и Ем и ряд других осуществлений пространства Гильберта, которые находят свое применение. Пусть 5 — некоторое измеримое множество и-мерного пространства и »'.» — пространство функций измеримых и с суммируемым квадратом нз $, причем за основу измерения язв~а лебегова мера или какая-либо другая нормальная функция множеств. В последнем случае цыбулем имегь интеграл Лебега-- Стилтьеса.
Определим пространство А,, следующим обрззом. Элементом т', является последовательностып-функций изЕ,: ф,у»....~,„), где Д» Е».т(1=1, 2, ..., лг). Элемент является нулевым, если каждая из функций ~» эквивалентна нулю. Умножение элемента па число и сложение элементов определяются естественно формулами а ®, д ..., г" )=(пан ад ..., ау„,), у 1.
",у )+(а К " К )=(у»+К Л+К», ", у +К ) и скалярное проиаведеиие формулой (х У) = ) (У~и) -1-Я~+ +сийм)сгм где с(м — элемент )т„в случае интеграла Лебега или дифференциал нормальной функции множеств в случае интеграла Лебега — Стилтьеса. Легко проверить, что т'.„ есть осуществление сепарабельного прострзнства Гильберта. Линейный оператор у= Ах в Еячи состоит иа «»" линейных операторов Ад»(т', (г = 1, 2, ..., гп) в Е,, при помощи которых составляющие у выражаются через составляющие х: у = 5'А»Д». »-1 Указанное осуществление пространства Гильберта является осуществлением абстракпюго построения пространства Гильберта Н по заданным пространствам Гильберта Нн Н...., Н . Элементом х пространства Н мы назывзем последовательность элементов (хн х,, ..., х ), где х» Е Н„.
Элемент х является нулевым, если все х» суть нулевые элементы в Н»(и=1, 2, ..., т). Умножение на число и сложение элементов определяются формулами а(хн х,, ..., х )=(ахн ах„..., ахм), (х„х,, ..., х )+(ун у», ..., у„)= =(х~ +хо хя -1 —.ум ° ° °, х~+,у~) и скалярное произведение формулой и (х,у) У(х„, у ). »-! [184 554 пгоглллнсгво гильаавтл Всякое пространство )гчяб (О) [112] функций 7(х), принадлежащих Х,(0), где Π— некоторая область и-мерного пространства, и имеющих обобщенные производные до порядка 1, также принадлежащие 7.,(0), есть полное гильбертово пространство со скалярным произведением (р, ф)= ~ ~р(х)4 (х) -Г у !)"р (х), О"ф(х)~дх, (174) Ь $(л Г где суммирование распространяется на все производные до порядка ! включительно.
При зчои предполагается, что область звездна относительно какой-либо своей точки, так что имеет место указанное в [!11] свойство обобщенных производных. Рассмотрим пространство %"!'(О). функции р (х), ему принадлежащие, имеют предельные значения на поверхности Я области 0(8 считается достаточно гладкой). Нетрудно проверить, что множество р (х) Е )Р"„' (0), удовлетворяющих предельному условию р(х)( =О, будет полным гильбертовым пространством со скалярным произве- дением л ч]~ дт (х) дл (х) дхл дхл л=! (175) Полным гильбертовыи пространством будет также множество функций из Ж"," ,(О) со скалярным произведением (174) и без всякого предельного условия, если отождествить функции, разность которых вквнвалептна постоянной, т.
е. счигать такие функции одним и тем же элемен ~он врос гранства. 2 2. Неограниченные операторы 184. Замкнутые операторы. Мы переходим к рассмотрению дистрибутивных операторов, которые могут быть заданы не во всем Н и относительно которых не предполагаем ограниченности (конечности нормы). Введем обозначения, которыми будем пользоваться. Пусть А— дистрибутивный оперзтор.
О (А) — область его определения, которую мы всегда будем считзть линеалом, и й (А) — область значений А. В силу дистрибутивностн А она также — линеал. Если А устанавливает биоднозначное соответствие между элементами О (А) и К (А), то на й (А) определен обратный оператор А Необходимое и достаточное условие существования А ' состоит в том, что уравнение Ах= О имеет (на 0 (А)) только нулевое решение ]127[.
Говоряч, что операторы Л и В совпадаю~ (равны), и пишуг А=/3, зьмкю'тыв опагьтогы если совпадают их области определения и па всех элементах этой области Ах = Вх. Говорят, ио оператор В являешься расширением оператора А, и пишут А с В, если Р (А) входит в Р(В) н Ах = Вх для х Е Р (А), Символ А ': — В содержит и возможность равенства А=В. Если при Ах=Вх для х Е Р(А) линеал Р(В) строго больше Р(А), то пишут Ас.:В. Отметим еще, что (А —,'-В)х= = Ах+ Вх имеет сыысл, если х Е Р (А) и х Е Р (В), а (АВ) х = =А(Вх), еслихЕ Р(В) и Вх Е Р(А). Поскольку мы не предполагаем оператор везде заданным и ограниченным по норме, то не можем утверждать его непрерывность. Однако, анализируя основные свойства, доказанные нами для ограниченных операторов, можем убедиться в том, что многие из них являются следствием не непрерывности этих операторов, а более слабого их свойства — так называемой замкнутости.
К определению и анализу этого весьма важного свойства линейных операторои мы и перейдем, Определение. Оператор А называется замкнутым при соблюдении следующего условия: если х„Е Р(А)(п = 1, 2, ...) и последовательности х„п Ах„имеют пределыгх„=,гхь, Ах„=.гу„ то х, Е Р(А) и Ах„=уя. Если оператор не замкнут, то возникает вопрос о том, имеет ли он замкнутые расширения. Если имеются две последовательности элементов х„и х'„из Р (А), имеюшие одинаковый предел и такие, что Ах„и Ах'„имеют различные пределы, то оператор А не до. пускает, очевидно, замкнутых расширений.
Если же при одинаковых пределах для х„ и х'„ мы не имеем ни в каких случаях различных пределов для Ах„ и Ах'„, то оператор А допускает замкнутые расширения и среди них есть минимальное замкнутое расширение, которое обозначают обычно через А. Опишем построение А. Если х„ Е Р (А), х„ =лхь, и Ах„ =.гуь то включаем х, в область определения оператора А и полагаем Ах,=у,. В силу указанного выше условия, А определяется единственным образом. Легко доказать, пользуясь неравенством треугольника, что А — замкнутый оператор. Указанная операпия расширения А называется замыканием А.
Если В любое замкнутое расширение А, то не~рудно видеть, что А ~ В. Теорема 1. Если А — замкнутый оператор, то А + В, где  — ограниченный на Р(А) оператор, также замкнутый оператор; А ', если он существует, — за,якнутый оператор, и,множество решений уравнения Ах=0 есть подпространство. Доказательство всех утверждений непосредствснно следует из определения замкнутости оператора.
Теорелва Я. Если А допускает за.иыкание и имеет на В(А) ограниченный обратный А ', то А имеет обратный А ', он определен ча лодпространстве )с(А) и «вл«етс«ограниченным. обй [185 пгосгглнство гильвггтл Если Я (А). - подпросгрансгво, ~о А ' — замкнутый оператор В противном случае можно распросгранить ограниченный оператор А ' с линеала К (А) на надпространство К (А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
