1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Обозначим полученный таким образом ограниченный оператор через В: ()г(В) = = К (А)). Нетрудно видеть. что уравнение Вх= 0 на й (В) имеет только нулевое рещение. В противном случае существовала бы такая последовательность х„Е Р(А), что х„=)0, а Ах„=)у О. Но это противоречит тому, что А допускает замыкание, ибо если принять х'„ = 0(и = 1, 2,...), го Ах'„ = О. Оператор А, = В ' и является, очевидно.
замыканием А. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Мы видим, что в рассматриваемом случае замыканею А однозначно связано с распространением по непрерывности ограниченного оператора А Следствие. Если А — аа.минутый оператор и на )х(А) суще. ствуеги ограниченный обратный олератор А ', то К(Л) — лог)- гпространство, 18Б. Сопряженный оператор. Начнем с одного простого азмечзния, з именно отметим, что если элемент г ортогонален линеалу 1, пло гному в Н, то г — нулевой элене нт. Действительно, пусть (х, г)=О, если х Е С и пусть у любой элемент Н.
В силу того, что 1 плотен в Н, существует последовательность элементов х„ из 1 такая, что х„ =ьу. По свойству г имеем (х„, г) = О и в пределе (у, г) = О, т. е. г ортогонален любому элементу из Н, в частности, сзмому себе, т. е. (г, «) =1«~['= О, откуда г= О. Если Е не плотен, то существует, очевидно, элемент г, ортогональный В дальней~нем мы операторы всегда будем считать дистрибутивными.
Положим, что оператор А определен на линеале Р (А), плотном в Н. Составим (Ах, у), где х Е Р(А) и у — любой элемент Н. Существуют такие элементы у, что (Ах, у) при любом х из Р(А) чожет быть представлен з виде (Ах, у)=(х, уа) (хЕ Р(А)), (1) где у* — некоторый элемент из Н. Так, например, если у= О, то (Ах, 0)=(х, 0) для любого х из Р (А). Если для некоторого у представление (1) возможно, то в этом представлении у* единственно.
Действительно, если при некотором у мы имели бы (Ах, у) = (х,у1*) и (Ах, у)=(х, у,а) для х Е Р (А), то, вычитая, мы получили бы (х,у,* — у,*) = О, т. е. у,ь — у,* ортогонзлен линеалу Р (А), откуда следует, что у,* =у,*. Множество элементов у, для которых возможно представление (Ах, у) в виде (11, есть, очевидно, некоторый линеал Р, и на этом линеале определен дистрибутивный оператор, переводящий у в у". Этот оператор называется с о и р я ж е н н ы м с А 557 !851 сопгяжвнный опвялтоР и обозначается символом Ав; так чго у* = А*у и Р есть Р (Аа), а формула (!) переписывается в виде (Ах,у)=(х, Азу) (хс 0(А); у,.= О(А*).
(2) Из предыдущего рзссужления следует, что лля с у ш е с т в ования Ав необходимо и достаточно, чтобы линеал 0(А) был плотен в Н. Как мы указалн выше, Ав есть дистрибутивный оператор. Лля ограниченного оператора А мы инеем прежнее опрелеление А":. Выясним теперь ряд свойств сопряженногооператора. Теорема Е Оператор А" — за.икнутый. Пусть х„Е 0(Ав) и х„=)хя, А*х„=)уы По опрелелению Ах*имеем(Ах, х„)=(х, Аэх„), где хЕ 0(А), и, перехоля к пределу, получим (Ах, хя) = (х, уя), откуда, в силу определения А", следует, что х, с Р(Аа) и Азха=уз. Что и требовалось доказать. Теорема «.
Если О(А) и 0(В) плотны в Н и Ас: В, то В' С А*. Линеал 0(В*) обрззован такими элементами у, для которых при любых х с 0(В) выполняется равенство (Вх, у)=(х, у*), причем у*=В*у. Но, в силу Ас:В, из (Вх,у)=(х,уа) при хЕ 0(В) следует (Ах,у)=(х,у*) при хЕ О(А), т. е. если ус О(В*), то ус 0(А*) и Вву=А*у=уз, а это и значит, что ВвС Ав. Теорема 3. Если 0(А) плотно в Н и А допускает зал!икание, то (А)в=А*. Мы имеем А ~ А и, следовательно, (А)* С А*, и остается показать, что всякий элемент у из 0 (Ав) принадлежит и О(А*).
По условию (Ах, у) = (х, А*у) при х Е Р (А), и нам достаточно показать, что (Ах, у) =(х, Аву) при х Е 0(А). Если х с Р(А), то существует такая последовательность х„из 0(А), что х„=)х и Ах„=)Ах. По условию (Ах„,у)=(х„, Азу) и в пределе (Ах,у)=(х, А*у). Что и требовалось показать. Теорема 4. Еслл существуют Ав и (А")*=А*в, то А С Ав*. Липеал 0(А**) элементов « определяется равенством (А*у, «)= =(у, «ч*) при у с О (Аа), причем «** =А*в«.
Но из определения Ав мы имеем (А*у, «)=(у, А«), где у Е 0(А*) и «с 0(А), откуда и слелует, что А~ А**. Поскольку, в силу теоремы 1, Ав* есть замкнутый оператор, то из А ~Ава следует, что А допускает замкнутые расширения, т. е. существование А"~ является достаточным условием того, чтобы А допускал замкнутые расширения.
с(альше мы увидим, что это условие и необходимо. Напомним, что существование Ав* равносильно гому, что 0(А*) плотно в Н. Теорема 5. Если 0(А) и Я(А) плотны в Н и существуетобрагпный оператор А', то существуют операторы Ач, (А ')*,(А*) ' сс (Аз) '=(А ')*, (3) 558 пностнлнство гнльавнтл (185 Гущестионание А н и (А ')Я непосредстнено следует из того, что 0 (А) и й(А) плотны в ((.
Пусть хс 0(А*) ну е 0(А')=й (А). Мы именя (х, у) = (х, АА 'у) = (А*х, А 'у), откуда следует, что А*х 6 0((А ')") и (А ')нА*х=х (хЕ 0(А*)). (4) Это показывает, что уравнение А"х= 0 имеет только нулевое решение (в 0 (Ан)), т. е. существует оператор (Ан) ', и, кроме того, (Аь) ' С (А ')*.
(5) Пусть теперь х с 0 (А) и у с 0((А ')*). Мы инеем (х, у)=(А 'Ах,у)=(Ах,(А')*у), откуда (А ')*у Е Р(Ан) и А*(А ')*у=у (у 0((А ')~)). Но из этого равенства вытекает, что (А ')н С (Ан) '. что совместно с (5) и дает (3). Теорема доказана. С понятием сопряженного оператора связан вопрос о разрешимости уравнения Ах =у, (6) Замкнутый оператор А с областью 0(А), плотной в Н, называется н о р м а л ь н о р а з р е ш и м ы м, если для разрешимости уравнения (6) (не обязательно однозначной) необходимо и достаточно, чтобы у было ортогонально к надпространству решений уравнения Анг = О.
(7) Теорема б. Длд нормальной разрешимости замкнутого оператора А с областью 0(А), плотной в Н, необходи.ио и до- статочно, чтобы й(А) было лодпространством. Оператор А* замкнут, и множестно решений уравнения (7) есть некоторое подпространство (. Нетрудно видеть, что все элементы ( ортогональны й (А). Действительно, если у ~ й (А), то у = Ах и (у, г)=(Ах, г)=(х, Анг)=(х, 0)=0.
Теи самым, в силу непре- рывности скалярного произведения, ( ортогонально подпространстну й (А). Покажем теперь, что если некоторый элемент то ортогонален й(А), то он принадлежит (. Действительно, из (Ах, го)= О следует: (Ах, го) = (х, 0) = (х, А*во), т. е. А*ш = 0 и те Е (.
Из сказанного следует, что все Н есть прямая сумма днух ортогональных под. пространств И= й(А) Я(, и для нормальной разрешимости А необходимо и достаточно, чтобы й(А) совпадало с й(А), т, е, чтобы й(А) было подпространстнои, !Рлвик опвглговл 186) 186. График оператора. Нарялу с прострзнстиом Н рассмотрим пространство Н, элементы которого суть пары )х, у) элементов х и у из Н, причем умножение на число и сложение определяются в Й равенствами ) х' У)! )х!'У!) ~ )х! .у!) = )х! А. х! у! !- у ) (8) скалярное произведение равенством ( )х!, У,), ) хя, у,) ) =(хн х,) -'; (уи у,). (9) Нетрудно проверить справедливость всех аксиом. Если А — операчор в Н, то множество Е (А) элементов ,'х, Ах) пространства Й при х( Р(А) называют граф и ко м опер а тор а А.
Все элементы этого множества олнозначно определяются своими абсцнссами (первым элементом пары). Обрзтно, если все элементы некоторого множества Е элементов Й однозначно опреде!иются своими абсциссами, то в Н существует операгор (не обязательно листрибутивный), графиком которого и является множество Е Замкнутость оператора А равносильна, как нетрудно вилеть, тону, что множество Е(А) замкнуто в Й. Если А — дистрибутивный оператор, определенный на линеале, то Е (А)- — линеал в Й. В дальнейшем, как и выше, мы будем говорить только о дистрибутивных операторах, определенных на линеалах. Определим во всем Й оператор У равенством (ГО) У)х,у) =)1У, — гх).
Нетрудно видеть, что 1/ — унитарный оператор и что У '= У. Пусть А — некоторый оператор в Н. Составим скалярное произведение некоторого элемента множества И (А) на какой-либо элемент Гх, у): ()1А», — !»), )х,у))=!)(А», х) — (»,у)] (»Е Р(А)). (11) Пусть А- -замкнутый и Н оператор и Р(А) — плотно в Н. Докажем формулу разложения Н на два ортогональных полпространства: Й= 0Е(А) ® Е(А*).
(12) Если элемент )х, у) оргогонален Угч(А), то из (11) следует, что (А», х)=(»,у) при»Е Р(А), т. е. хс Р(А*) и У=Авх, или, иначе говоря, )х,у) Е с(Ав). Обратно из (1!) следует также, что если )х, у) Е Е(Ав), го элемент (х, у) ортогонален УЕ(А). Г(ля доказательства (!2) остается только отметить, что из замкнутости А и Ав следует, что УЕ (А) и Е (Ав) — полпространства просгран. ства Й 56() (185 гшостиьнс~во гильзе! тл Если оператор А не замкнут, но тг(А), кзк и выше, плогно в Н то вместо (12) имеем Й=УЕ А Р А*. (131 ()Я ( ) далее разность Й~зЙГ(А) есть множество % элементов (х,у>, ортогональных УЕ(А), илн, что то же, УЕ(А), т.
е. в силу (11), множество % состои~ из пар (х,у), удовлетворяющих условна (Ла,х)=(г,у) при з Е 0(А), и потому суптествование оператора Аь равносильно тому, что элементы этого множества ь111 однозначно определяются абсциссоп х. В силу сказанного справедлива следующая лемма. Лемма. Для сугцествованпл оператора А* необходн.ыо и достагпочно, чтобы зле.кенты множества Н9 УЕ(А) однозначно определялись своымп абсцисса,ып. Докажем теперь следующую теорему. Теорема 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
