Главная » Просмотр файлов » 1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba

1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 108

Файл №824746 1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 5 Смирнов В. И. 1959) 108 страница1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746) страница 1082021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 108)

>1»равенству (и1) будет соответствовать неравенство — ( -. ~ ч-". Р ->-д г>.д — -! ».— ! !70. Слабая сходимость и гг. Пусть имеется последоиагельпость элементов х" ((гч>, 1>2>,...) (и = 1, 2,...), которая сильно сходится к элементу х($ь "„,,), т. е. хм = х. Это можно ааписать так: ~)1» — 1>ч»>,'а — >.О при л ы сэ.

»=! О~сюда следует (и>!) (ггг) г ь (81) н ! х>ч>') ограничены числом г' (не зависящим о! и), Из (86) непосредственно следует (я=1, 2, ...), но из (88) не следует (86). Покажем, что условие (88) совместно с ограниченностью норм элементов х'"', (88) (га> » ~1» »=.! (89) сч равносильно слабой сходимости х!">-ч-х. Если имеет место слабзя сходимость, то "!х!"'! должны б>ыть ограничены, т.

е. должно иметь место (89) прн некотором выборе г' и, кроме того, должно быть (х'а', р„) -ь (х, гр»), где р» — упомянутые выше орты, а это приводит к (88). Наоборот, если яыполнены условия (88) и (89), то слабая сходимость хгч> к х непосредстяенно следует из сказанного и 1132). Мы ма>кем, таким образом, формулировать следу!о>пук> теорему. Теорема. Условия (88) и (89) необходимы и достаточны для сун!есагвованггя слабого предела носледоваагельноганг э,ш манш л хггм (»",и, Е"„',...), и, если онн выполнены, шо предельный эле.ивнгл ил!вен! соснгавляюгкне (1>, д», ...). Все числа мы можем считать ноггожитеаьнычи, и написанный лаойноз рчл будд! абсолютно сходюцимся аля любого элемента Гг, так что чтмкеч написать: УЬн -,, У-„: -Р+гl -' юд=! » — ! 528 ПРоствгы!ство Гиг!Ьввятл 171.

Вполне непрерывные операторы в 7,. Мы получили вьии, 1168) досгаточиое условие того, что бесконечная матрица опрев деляет вполне непрерывный опера!ор и 7„, а именно, если хвой. пой ряд / а„/" ж т=! (90! сходится, то лгатрица а„ определяег вполне цедре. рывпый оператор в (з. Сходимосчь ряда (90) является только достаточцыч услониеч гого, чтобы оператор, определяемый лгатрицей а„, был вполне пепрерывныч. Можно показать, что необходимое и достаточное условие сосгоп! в том, что пределыгый переход, указапп!яй и формуле (8), имел место равномерно для всех х и у, нормы которых ие преныша!ог единицы. Уравнение ( — !хД)х =у в (т имеет вид (9 !) ń— р. ~ а„Е =т)„, где (т!и т)„...) — данный и (Е!, Е,,...) — искомый элементы 7,.

Если А — вполне непрерывный оператор, то для системы (9!) имеет место все, что было сказано в 1136]. Пусть А — самосопряжениыи вполне непрерывный оператор и фь(Уг = 1, 2....) — полная ортопормироваппая система его элементов. Пусть У вЂ” унитарный оператор и 7м опРеделЯемый УсловиЯми (!а=УЕ!ы где чг„— пРежние оРты /ь Если принять о!!» за новые орты в 7м то оператор А и новых будет; В = УАУ '. Его сосганляющие определятся формулами ( В )„ =(В(!, ф„)=) ((!, (!„), ибо Вф =).мф . Следовательно, ), при гп=л, (В,'„ 0 при пател, (92) т.

е. в ортах 1!а оператору В отвечает дизгоцзлыгзя матрица, иа диагонали которой стоят собс!вепные значения оператора. Это остается справедливым и для любого линейного самосопряжепного илп унитарного оператора с чисто точечиыч спектром 1146!. Оператор А унитарно эквивалентен В, а имешю Л = У 'ВУ. Принимая во внимание сказанное выше, можно угвержда!ь, чго матрицы, соответствующие вполне непрерывным самосопряжеипым операторам в ум суть матрицы, уиптар><о эквивалентные диагональным матрицам, у которых диагональные элементы >.,„ удовле!зоря!ог условиям, указанным в 1136(. ингвгилльныв опвглтогы в Ея ! 72) 172.

Интегральные операторы в Ее Мы уже рассматривали интегральные операторы в Ер. Рассмотрим теперь их более подробно в Ц: ь е (х) = ~ К (х, у) Ду) г(у, (93) где К (х, у) — измеримая функция в промежу гке бч (а ~ х ( Ь; а -у(Ь), а потому почти для всех х из (а, Ь] измерима по у и наоборот. Положим далее, что почти для всех х онз принадлежит С, как функция от у и наоборот, т.

е. Кч(х)= 1 ~ К(х,у))Му(+ оо, (94) К~ (у)= ~ ) К(х,у)! Их(-к со, (96) где К(х) и К, (у) — измеримые неотрицательные функции [67, 68). Из (94) следует, что при любой у(у) с А, существует интеграл (93) для почти всех х, и функция 7(х) есть измеримая функция (67, 68). Лля того, чтобы при наличии (94) преобразование (93) было линейным ограниченным преобразованием, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено следующее условие: при любом выборе у"(х) из Е, существует такое положительное число М, что ь ь ') !7(х) )'с(х= ~ ~ ') К(х,у)у(у) с(у /'пх(И" ~ ! у(у) ('сКу, (96) Укажем просгое достаточное условие ограниченности оператора, соответствующего ядру К (х, у), совершенно аналогичное условиям ограниченности матрицы: существует такое положительное ччсло (, что ~ ! К (х, у)/ ау = У и ~ ! К (х, у)/г(х — (.

(97) достаточно показать ограниченность соответствующего билинейного функционала. Заменяя в повторном интеграле, выражающем этот функционал, все функции их модулями, мы можем заменить 1178 пьоствянстзо Гильзы'гь повторный интеграл двойным: ь ь ~ ( К (х, у) ( у, (у) ((уь (х) ( ь1хИу ~ а а ь ь ~ ~ ~ К ( . у) ~ ИЛ (у) ~'+ ~ Ях) ~'1 1 у = а н ь ь ~ ~ ~ 1К (х, у) ) ах ~ ~ Л (у) !' ~(у + а а ь ь ~ ~ ~ ) К (х, У) ) г(У ~ ! 1ь (х) /ь с(х ( а а ь ь Ц(Д (У) ~МУ+ 1 1~,(х) 1Мх~, а а 1 2 1 +— 9 1 ( ~ /К(х,у)1Нь(у)Ну(1в(х); ~~К(х,у)1м(х)с(х =1м(у).

(98) й а 173. Сопряженный оператор. В случае ограниченного оператора интеграл ь ~ К (х) т (х) Их, (99) где неотрицательная функция К(х) определяется формулой (94), может не иметь смысла для некоторых т(х) из Е,. Множество тех т(х) из Е,, для которых он имеет смысл, есть, очевидно, некоторый линеал 1 в 1.я. Теорема 1. Линеал 1 повсюду плотен в Е,.

Нам надо доказать, что замыкание 1 дает все Е,. Если бы это было не тзк, то существовал бы ненулевой элемент я(х) из Е,, ортогональнып к подпространству, полученному замыканием 1, и тем самым ко всем т(х) из 1. Таким образом, нам достаточно доказать, Но последнее выражение равно 1, если )ф'1=',~1ь1=1. При помощи совершенно такого же метода доказательства можно дать более общее достаточное условие ограниченности оператора (93), а именно следуюоще: существует такое положительное число 1 и такая положительная непрерывная в (а, Ь1 функция м(х), что 531 1У31 сопгяжвнный опвглтоР ~ и(х)йх= ~ [я,(х) — )я,(х)[йх=О. (101) Это равенство справедливо и для любой части е', а потому, например, (102) ~ и,+(х)йх=О где и,+(х) есть положительная часть я, (х), т.

е. и,+(х) эквивалентна нулю на е~ . Беспредельно увеличивая т и принимая во внимание (94), получим, что и,+(х) эквивалентна нулю на [а, Ь). Аналогично можем утверждать то же и для яр(х) кя (х) и ий(х), и лемма доказана. Отметим, что при доказательстве леммы мы пользовались лишь тем, что К(х) — любая заданная неотрицательная, почти везде конечная и измеримая на [а, Ь[ функция. В дальнейшем через 1, будем обозначать аналогичный линеал для произведения К,(х) т (х',. Он также повсюду плотен в Теорема 2. Если формула (93) определяет ограниченный оператор, то сопряженный оператор есть интегральный оператор с ядром.

К*(х, у)=К(у, х). (103) Обозначая через А оператор (93) н принимая во внимание определение сопряженного оператора (Ах, у) =(х, Аь у), можем написать ~ ~ ~ К(х,у)т(у)йу~й(х)йх= ~ т(у)яь(у)йу, (104) а а а где яь(х)=А*я(х), и мы считаем, что т(у) Е 1ь Принимая во внимание неравенство ь ь ь Пь ~ ~ К (х, у) я(х) [ йх - ~ ~ ! К (х, у) /а йх) ° ( ~ ! и (х) !чйх1 и И и =К (у),"й~! что если и (х)= к1(х) [- 1п,(х) ортогонально ко всем т (х) из Е, т. е. ь т (х) я (х) йх = О, (100) а то и(х) эквивалентно нулю. Выберем т(х) нз У специальным образом.

Пусть т — какое-либо конечное положительное число, е — множество тех х, для которых К(х)(т и е' — любая часть еж меры ( т. Определим т (х) так, что т (х) = 1, если х Е еио и т(х)= 0 для других х. Такое т(х) принадлежит 1, и, применяя (100), получим [! 74 б32 игостялнство Гпльвагтл и тог факт, что -.(х) Е Уь можем утверждать, что существует один из повторных интегралов для ) К(х, у) а'(х) т(у)[, и, следовательно, и интеграле, стоящем в левой части (104), мы можем менять порядок интегрирования, а по~ому можем переписать формулу (104) в виде Ь а ~ 'г (У) ~ ~ К(х, у) д (х) ь1х — 8" (у) ~ г(У вЂ” О. Повторяя доказательство теоремы 1, убедимся в том, что разность, стоящая в квадратных скобках, эквивалентна нулю, и, переходя к сопряженным величинам, можно написать а 8 ч ( у) = ~ К (х, у) д (х) пх, а (10о) откудз и следует утверждение теоремы.

Равенство (Ах, у) = (х, А*у) запишется для интегральных операторов, в силу доказанной теоремы, в виде а а ) К (х, у) г (у) Иу~ 8" (х) г(х = ~ ~ ~ К (х, у) а (х) их ~ у (у) г(у,(106) что сводится к возможности изменения порядка интегрирования. Соответствующий двойной интеграл може.г и не существовать. Если ядро удовлетворяет, кроме указанных условий, еще условию К (х, у) = К(у, х), (107) то оператор (1Оо) совпадает с оператором (93), т. е.

оператор (93)— самосопряженный. 174. Вполне непрерывные операторы. Выше мы видели, что если измеримая в квадраге Ь функция К(х, у) удовлетворяет ус- ловию ~ ~ [К(х,у)[аг(хну<--~-оо, (108) '[ К (х, у) У (у) Фу = й У(х) + ф (х), (109) и где ф (х) — заданная и у (х) — искомая функция из 7., на [а, Ь[, илгеет место сказанное в [135[. Если оператор (93) — самосопряженный, т. е. К(х, у ) эквивалентна К(у, х), то к уравнению (109) применимо сказанное в [130[, то оператор (93) вполне непрерывен в ).я.

Лля интегрального урав- нения 1г4! 333 ВПОЛНЕ НВПРВРЫВНЫВ ОПЕРАТОРЫ Покажем, что интеграл (!03) опвен абсолюпгноу нор.не оператора (93). Предиарнгельно докажем лемму, Лемма. Если сра(х)(и = 1, 2, ... ) есть замкнутая ортонорми- рованная система на промежутке [и, Ь[, то гр~, „(х, !'1=3 (х)у„(у) есть замкнутая оргпонор.нированная в квадрате Ьь сггстема. По условию ь !Опригиед, ,аг (х) оь (х) агх = [ ! при г =/г. Функции га „(х, у) принадлежат, очевидно, Ег (аь), и, в силу теоремы Фубини, ь ь ~ ~ г) „(х,У)ггггР, (х,У)сгхагУ= ~ь (х)чг (х)г(х [ (га(У)~ ~У)г(У, ь а а откУда следУет оРтоноРмиРованность У ,„(х, У) в аь.

А(ли доказз- тельства замкнутости этой системы достаточно показать, что если у ортогональна ко всем ф ,„, то она эквивалентна нулю в б„ [58). Итак, пусть 3 3 У(х,у)у (х)у„(у)г(х агу= 0, т. е, ь ь [~[гг аг~.гагаа$~.г га -о, а (а и, в силу замкнутости системы и (х), переходя к сопряженным ве- личинам, получим ь .гг(х, у)'р„(у)г(у = 0 почти везде по х в [о, Ь), а и, В силу тех же соображений, можем утверждать, что у(х, у)=0 почти везде в Ь„и лемма доказана. Пусть Ь „— коэффи- циент Фурье ядра К(х,у), принадлежащего Еь в да, в силу (!03): Ь „= ~ ~ К(х,у) 3 (х) г„(у) г(х агу. гь Определим квадрат збсолютной нормы оператора А, соответству- ющего этому ядру [138[, !г сЧ'(А) =,,~ [ (Ау„, р ) !г =,,~ ~ ~ [ К(х у) у„(у) г(! ~ р„, (х) Вгх [ = ~ ~К(х,у)у (х)гьа(у)г(Хг(у, =,~ [Ь„,„[-, аг, а (175 пгостглнгтво гильввгта но последняя суммз, в силу уравнения замкнутости, н рзвна интегралу (!08).

Если выполнено условие(!08) н А — самосопряженный оператор, то ~ ~ !К(х,у) !за?хс(у= ~) Л„', (110) где Ль — собственные значения. Все сказанное в [135) н 1136) сохраняется в случае бесконечного промежутка и лля многомерного оператора п(х)= ~ К(х, у)у(у)а?у, Ь (111) где х (х„х„..., х„) н у (у„уз,..., у„) — точки и-мерного пространства )с„; ?(у=буфу,...т(у„и ?'.? — некоторая область )сч. !75. Спектральная функция.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
11,09 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее