1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 108
Текст из файла (страница 108)
>1»равенству (и1) будет соответствовать неравенство — ( -. ~ ч-". Р ->-д г>.д — -! ».— ! !70. Слабая сходимость и гг. Пусть имеется последоиагельпость элементов х" ((гч>, 1>2>,...) (и = 1, 2,...), которая сильно сходится к элементу х($ь "„,,), т. е. хм = х. Это можно ааписать так: ~)1» — 1>ч»>,'а — >.О при л ы сэ.
»=! О~сюда следует (и>!) (ггг) г ь (81) н ! х>ч>') ограничены числом г' (не зависящим о! и), Из (86) непосредственно следует (я=1, 2, ...), но из (88) не следует (86). Покажем, что условие (88) совместно с ограниченностью норм элементов х'"', (88) (га> » ~1» »=.! (89) сч равносильно слабой сходимости х!">-ч-х. Если имеет место слабзя сходимость, то "!х!"'! должны б>ыть ограничены, т.
е. должно иметь место (89) прн некотором выборе г' и, кроме того, должно быть (х'а', р„) -ь (х, гр»), где р» — упомянутые выше орты, а это приводит к (88). Наоборот, если яыполнены условия (88) и (89), то слабая сходимость хгч> к х непосредстяенно следует из сказанного и 1132). Мы ма>кем, таким образом, формулировать следу!о>пук> теорему. Теорема. Условия (88) и (89) необходимы и достаточны для сун!есагвованггя слабого предела носледоваагельноганг э,ш манш л хггм (»",и, Е"„',...), и, если онн выполнены, шо предельный эле.ивнгл ил!вен! соснгавляюгкне (1>, д», ...). Все числа мы можем считать ноггожитеаьнычи, и написанный лаойноз рчл будд! абсолютно сходюцимся аля любого элемента Гг, так что чтмкеч написать: УЬн -,, У-„: -Р+гl -' юд=! » — ! 528 ПРоствгы!ство Гиг!Ьввятл 171.
Вполне непрерывные операторы в 7,. Мы получили вьии, 1168) досгаточиое условие того, что бесконечная матрица опрев деляет вполне непрерывный опера!ор и 7„, а именно, если хвой. пой ряд / а„/" ж т=! (90! сходится, то лгатрица а„ определяег вполне цедре. рывпый оператор в (з. Сходимосчь ряда (90) является только достаточцыч услониеч гого, чтобы оператор, определяемый лгатрицей а„, был вполне пепрерывныч. Можно показать, что необходимое и достаточное условие сосгоп! в том, что пределыгый переход, указапп!яй и формуле (8), имел место равномерно для всех х и у, нормы которых ие преныша!ог единицы. Уравнение ( — !хД)х =у в (т имеет вид (9 !) ń— р. ~ а„Е =т)„, где (т!и т)„...) — данный и (Е!, Е,,...) — искомый элементы 7,.
Если А — вполне непрерывный оператор, то для системы (9!) имеет место все, что было сказано в 1136]. Пусть А — самосопряжениыи вполне непрерывный оператор и фь(Уг = 1, 2....) — полная ортопормироваппая система его элементов. Пусть У вЂ” унитарный оператор и 7м опРеделЯемый УсловиЯми (!а=УЕ!ы где чг„— пРежние оРты /ь Если принять о!!» за новые орты в 7м то оператор А и новых будет; В = УАУ '. Его сосганляющие определятся формулами ( В )„ =(В(!, ф„)=) ((!, (!„), ибо Вф =).мф . Следовательно, ), при гп=л, (В,'„ 0 при пател, (92) т.
е. в ортах 1!а оператору В отвечает дизгоцзлыгзя матрица, иа диагонали которой стоят собс!вепные значения оператора. Это остается справедливым и для любого линейного самосопряжепного илп унитарного оператора с чисто точечиыч спектром 1146!. Оператор А унитарно эквивалентен В, а имешю Л = У 'ВУ. Принимая во внимание сказанное выше, можно угвержда!ь, чго матрицы, соответствующие вполне непрерывным самосопряжеипым операторам в ум суть матрицы, уиптар><о эквивалентные диагональным матрицам, у которых диагональные элементы >.,„ удовле!зоря!ог условиям, указанным в 1136(. ингвгилльныв опвглтогы в Ея ! 72) 172.
Интегральные операторы в Ее Мы уже рассматривали интегральные операторы в Ер. Рассмотрим теперь их более подробно в Ц: ь е (х) = ~ К (х, у) Ду) г(у, (93) где К (х, у) — измеримая функция в промежу гке бч (а ~ х ( Ь; а -у(Ь), а потому почти для всех х из (а, Ь] измерима по у и наоборот. Положим далее, что почти для всех х онз принадлежит С, как функция от у и наоборот, т.
е. Кч(х)= 1 ~ К(х,у))Му(+ оо, (94) К~ (у)= ~ ) К(х,у)! Их(-к со, (96) где К(х) и К, (у) — измеримые неотрицательные функции [67, 68). Из (94) следует, что при любой у(у) с А, существует интеграл (93) для почти всех х, и функция 7(х) есть измеримая функция (67, 68). Лля того, чтобы при наличии (94) преобразование (93) было линейным ограниченным преобразованием, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено следующее условие: при любом выборе у"(х) из Е, существует такое положительное число М, что ь ь ') !7(х) )'с(х= ~ ~ ') К(х,у)у(у) с(у /'пх(И" ~ ! у(у) ('сКу, (96) Укажем просгое достаточное условие ограниченности оператора, соответствующего ядру К (х, у), совершенно аналогичное условиям ограниченности матрицы: существует такое положительное ччсло (, что ~ ! К (х, у)/ ау = У и ~ ! К (х, у)/г(х — (.
(97) достаточно показать ограниченность соответствующего билинейного функционала. Заменяя в повторном интеграле, выражающем этот функционал, все функции их модулями, мы можем заменить 1178 пьоствянстзо Гильзы'гь повторный интеграл двойным: ь ь ~ ( К (х, у) ( у, (у) ((уь (х) ( ь1хИу ~ а а ь ь ~ ~ ~ К ( . у) ~ ИЛ (у) ~'+ ~ Ях) ~'1 1 у = а н ь ь ~ ~ ~ 1К (х, у) ) ах ~ ~ Л (у) !' ~(у + а а ь ь ~ ~ ~ ) К (х, У) ) г(У ~ ! 1ь (х) /ь с(х ( а а ь ь Ц(Д (У) ~МУ+ 1 1~,(х) 1Мх~, а а 1 2 1 +— 9 1 ( ~ /К(х,у)1Нь(у)Ну(1в(х); ~~К(х,у)1м(х)с(х =1м(у).
(98) й а 173. Сопряженный оператор. В случае ограниченного оператора интеграл ь ~ К (х) т (х) Их, (99) где неотрицательная функция К(х) определяется формулой (94), может не иметь смысла для некоторых т(х) из Е,. Множество тех т(х) из Е,, для которых он имеет смысл, есть, очевидно, некоторый линеал 1 в 1.я. Теорема 1. Линеал 1 повсюду плотен в Е,.
Нам надо доказать, что замыкание 1 дает все Е,. Если бы это было не тзк, то существовал бы ненулевой элемент я(х) из Е,, ортогональнып к подпространству, полученному замыканием 1, и тем самым ко всем т(х) из 1. Таким образом, нам достаточно доказать, Но последнее выражение равно 1, если )ф'1=',~1ь1=1. При помощи совершенно такого же метода доказательства можно дать более общее достаточное условие ограниченности оператора (93), а именно следуюоще: существует такое положительное число 1 и такая положительная непрерывная в (а, Ь1 функция м(х), что 531 1У31 сопгяжвнный опвглтоР ~ и(х)йх= ~ [я,(х) — )я,(х)[йх=О. (101) Это равенство справедливо и для любой части е', а потому, например, (102) ~ и,+(х)йх=О где и,+(х) есть положительная часть я, (х), т.
е. и,+(х) эквивалентна нулю на е~ . Беспредельно увеличивая т и принимая во внимание (94), получим, что и,+(х) эквивалентна нулю на [а, Ь). Аналогично можем утверждать то же и для яр(х) кя (х) и ий(х), и лемма доказана. Отметим, что при доказательстве леммы мы пользовались лишь тем, что К(х) — любая заданная неотрицательная, почти везде конечная и измеримая на [а, Ь[ функция. В дальнейшем через 1, будем обозначать аналогичный линеал для произведения К,(х) т (х',. Он также повсюду плотен в Теорема 2. Если формула (93) определяет ограниченный оператор, то сопряженный оператор есть интегральный оператор с ядром.
К*(х, у)=К(у, х). (103) Обозначая через А оператор (93) н принимая во внимание определение сопряженного оператора (Ах, у) =(х, Аь у), можем написать ~ ~ ~ К(х,у)т(у)йу~й(х)йх= ~ т(у)яь(у)йу, (104) а а а где яь(х)=А*я(х), и мы считаем, что т(у) Е 1ь Принимая во внимание неравенство ь ь ь Пь ~ ~ К (х, у) я(х) [ йх - ~ ~ ! К (х, у) /а йх) ° ( ~ ! и (х) !чйх1 и И и =К (у),"й~! что если и (х)= к1(х) [- 1п,(х) ортогонально ко всем т (х) из Е, т. е. ь т (х) я (х) йх = О, (100) а то и(х) эквивалентно нулю. Выберем т(х) нз У специальным образом.
Пусть т — какое-либо конечное положительное число, е — множество тех х, для которых К(х)(т и е' — любая часть еж меры ( т. Определим т (х) так, что т (х) = 1, если х Е еио и т(х)= 0 для других х. Такое т(х) принадлежит 1, и, применяя (100), получим [! 74 б32 игостялнство Гпльвагтл и тог факт, что -.(х) Е Уь можем утверждать, что существует один из повторных интегралов для ) К(х, у) а'(х) т(у)[, и, следовательно, и интеграле, стоящем в левой части (104), мы можем менять порядок интегрирования, а по~ому можем переписать формулу (104) в виде Ь а ~ 'г (У) ~ ~ К(х, у) д (х) ь1х — 8" (у) ~ г(У вЂ” О. Повторяя доказательство теоремы 1, убедимся в том, что разность, стоящая в квадратных скобках, эквивалентна нулю, и, переходя к сопряженным величинам, можно написать а 8 ч ( у) = ~ К (х, у) д (х) пх, а (10о) откудз и следует утверждение теоремы.
Равенство (Ах, у) = (х, А*у) запишется для интегральных операторов, в силу доказанной теоремы, в виде а а ) К (х, у) г (у) Иу~ 8" (х) г(х = ~ ~ ~ К (х, у) а (х) их ~ у (у) г(у,(106) что сводится к возможности изменения порядка интегрирования. Соответствующий двойной интеграл може.г и не существовать. Если ядро удовлетворяет, кроме указанных условий, еще условию К (х, у) = К(у, х), (107) то оператор (1Оо) совпадает с оператором (93), т. е.
оператор (93)— самосопряженный. 174. Вполне непрерывные операторы. Выше мы видели, что если измеримая в квадраге Ь функция К(х, у) удовлетворяет ус- ловию ~ ~ [К(х,у)[аг(хну<--~-оо, (108) '[ К (х, у) У (у) Фу = й У(х) + ф (х), (109) и где ф (х) — заданная и у (х) — искомая функция из 7., на [а, Ь[, илгеет место сказанное в [135[. Если оператор (93) — самосопряженный, т. е. К(х, у ) эквивалентна К(у, х), то к уравнению (109) применимо сказанное в [130[, то оператор (93) вполне непрерывен в ).я.
Лля интегрального урав- нения 1г4! 333 ВПОЛНЕ НВПРВРЫВНЫВ ОПЕРАТОРЫ Покажем, что интеграл (!03) опвен абсолюпгноу нор.не оператора (93). Предиарнгельно докажем лемму, Лемма. Если сра(х)(и = 1, 2, ... ) есть замкнутая ортонорми- рованная система на промежутке [и, Ь[, то гр~, „(х, !'1=3 (х)у„(у) есть замкнутая оргпонор.нированная в квадрате Ьь сггстема. По условию ь !Опригиед, ,аг (х) оь (х) агх = [ ! при г =/г. Функции га „(х, у) принадлежат, очевидно, Ег (аь), и, в силу теоремы Фубини, ь ь ~ ~ г) „(х,У)ггггР, (х,У)сгхагУ= ~ь (х)чг (х)г(х [ (га(У)~ ~У)г(У, ь а а откУда следУет оРтоноРмиРованность У ,„(х, У) в аь.
А(ли доказз- тельства замкнутости этой системы достаточно показать, что если у ортогональна ко всем ф ,„, то она эквивалентна нулю в б„ [58). Итак, пусть 3 3 У(х,у)у (х)у„(у)г(х агу= 0, т. е, ь ь [~[гг аг~.гагаа$~.г га -о, а (а и, в силу замкнутости системы и (х), переходя к сопряженным ве- личинам, получим ь .гг(х, у)'р„(у)г(у = 0 почти везде по х в [о, Ь), а и, В силу тех же соображений, можем утверждать, что у(х, у)=0 почти везде в Ь„и лемма доказана. Пусть Ь „— коэффи- циент Фурье ядра К(х,у), принадлежащего Еь в да, в силу (!03): Ь „= ~ ~ К(х,у) 3 (х) г„(у) г(х агу. гь Определим квадрат збсолютной нормы оператора А, соответству- ющего этому ядру [138[, !г сЧ'(А) =,,~ [ (Ау„, р ) !г =,,~ ~ ~ [ К(х у) у„(у) г(! ~ р„, (х) Вгх [ = ~ ~К(х,у)у (х)гьа(у)г(Хг(у, =,~ [Ь„,„[-, аг, а (175 пгостглнгтво гильввгта но последняя суммз, в силу уравнения замкнутости, н рзвна интегралу (!08).
Если выполнено условие(!08) н А — самосопряженный оператор, то ~ ~ !К(х,у) !за?хс(у= ~) Л„', (110) где Ль — собственные значения. Все сказанное в [135) н 1136) сохраняется в случае бесконечного промежутка и лля многомерного оператора п(х)= ~ К(х, у)у(у)а?у, Ь (111) где х (х„х„..., х„) н у (у„уз,..., у„) — точки и-мерного пространства )с„; ?(у=буфу,...т(у„и ?'.? — некоторая область )сч. !75. Спектральная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
