1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 107
Текст из файла (страница 107)
(Л) Р„(),) др ().), откуда непосредственно следует, что полиномы Р; ().) образуют ортогонзльную нормированную систему относительно р(Л), и что элементы матрицы (64) выражаются через них по формулам (60). Если функция 8«имеет разрывы, то всякому такому разрыву, как мы видели и предыдуигем параграфе, соответствует собственное значение с рангом, равным единице. Отсюда видно, что функция В„не может сводигься к конечному числу скачков, и то же можно утверждать относизельно р().). 11аоборот, можно строить любые матрицы Якоби по формулам (60), выбирая за р(Л) не обязательно непрерывную, но любую неубываюгцую функцию, которая только не сводится к конечному числу скачков.
168. Дифференциальные рецгения. Рассмотрим самосопряженный оператор (матрицу) с чисто непрерьпннам спектром. Как мы видели, можно построить последовательность попарно ортогональных нормированных элементов у'" ( = 1, 2,...), таких, что 8«у'" образуют попарно ортогональные подпространсчва Н„ ортогональная сумма котооых есгь все Н. Число элементов у'" мо'кег быть как конечным, (!68 522 ПРОстгаистяо Гильавнтт зак н бесконечным. Пусть р!и(Л) ()т = 1, 2,... ) — составляюнгие элемента фтуы'. Функции р'"(Л) суть функции ограниченной вариации, н при всяком я в любом промежугке, содержащемся в промежутке !а, Ь), они удовлетноряюг уравнениям У пы л рс~()) ~ ) «ыа(Л) а-! Ь (!=1, 2,...). (72) Мы можем утверждать следующие свойства ортогональности решений Ргаи(Л) )161): ~' д, р„(Л). д,рн>(Л)=О ь-~ (а ~ г; промежутки Ь, и Ь,— любые), ~ б,р„(Л) бар„~(Л)=О ь-~ (73) (73,) (Ь, и о, — без общих внутренних точек).
Основные формулы из [146) дают следующие формулы, содержащие построенные дифференциальные решения: )' ( «рз'(Л) «р",.'(Л) ! 0 (й ~ !), 5 а ай,(л) ~ 1 (л=!), И «р, (Л) а (74) (75) «р„м (и) «р~м (и) г,„(л) у «аг (к) я и (76) Уы'(Л) = ~ тыр'„"(Л); аы'(Л) = ~ ч .в'„"(Ч. «-! Ф=-! где 7гл (Л) — элементы спектральной матрицы. Если мы каким-либо образом построили решения системы (72), удовлетворяюицие условиям ортогональности (73) и (73,), и проверили справедливость формулы (76) при любом Л, то можем быть уверены, что полученная системз решений — ночная, и что нмшот место остальные формулы. Пусть у и а — элементы из 7я, и 198) 523 чиФФвгянниальныя Ряп!вция Формула (272) из (149! записывается в виде ~ а,, д)!„ (Л) = ~ Л (р,(Л) »=! » (г=), 2, ...).
функции р»()) имею! непрерывную производнаписанные интегралы Стилтьеса превратягся от непрерывных функций, и, применяя к ним обозначая через Л' и Л" концы интервала !Л, Положим, что все ную р»().). При этом и обычные интегралы теорему о среднем и получим ~ аг»(р„(Л") — р»(>,') ) =)! р,:()!)(Л" — ),'), (77) »-! где Л'(Лг(Л". Применяя к левой части формулу Лагранжа, деля обе части на (Л" — Л') и устремляя Л' и Л" к общему пределу Л, получим ~ а!»р» (Л) = Лр! (Л) (? 8) »-! (1 = 1, 2,...). При этом предполагается, что мы можем переходить почленно к пределу в бесконечной сумме, стоящей в левой части (7?). Эго будет, наверное, так, если эта сумма конечна, т. е.
если магрица аг» имеет в каждой своей строке, а тем самым и в каждом столбце, лишь конечное число элементов, отличных от нуля. Из формул (78) мы видим, что при указанных условиях, в случае непрерывного спектра, р»()) (?г = 1, 2,...) удовлетворяют при любом Л тем же уравнениям, которые имели для собственпь!х элементов, но р„().) пе принадлежат ?„ г. е. сумма, сосгавленная из /р»(Л)1", равна + со, ьэ. 1, Л!~~и (Л) гя н (Л) (4у, )= 1 Л 5 а Она является непосредстиенньц! следствием (75).
Аналогично запнсывзются и остальные формулы из 1149]. 1)егрудно доказагь, чго если неко!орое дифференциальное решение о»(Л) (гг = 1, 2, ... ) ортогонально ко всем указанным выше дифференцналшн!и решениям, эбразуюшим полную систему дифференциальных решений, то все и» () ) суть пол ояниые. С;лучай пос гоянных в„() ) дает тривиальное решение системы (72), и!о нри эгон Дт„(Л)=0 и г?п»(Л)=0.
Дифференциальные решения р» (Л), получаемые после выделения гочечного (и спектра, ортогональны, очевидно, и ко всем собственным элемен!ач оператора А. Вернемся к системе (72), и пусть р»(Л) (а = 1, 2, 3, ...) — некоторое дифференциальное решение этой сисгемьс 524 11В9 пространство Гильвррта ибо в слу ше чисто непрерывного спектра не существует собственных элементов. л!ри наличии смешанного спектра дифференциалытые решения могут накладываться на обычные решения иэ уи которые дают собственные элементы. 199. Примеры.
1. В промежутке ( — 1, +1] положим р(л)== ~ )'1 — л ал. л — ! Условие (59) для полинолюв Р;(Л) запишется в виде -! ! и,) ' " !!ори(=Ь. .'-'1 У1-Лл Р,(Л) Рл(Л) аЛ =) ' "'" '.=" — ! (79) Нетрудно проверить, что этим условиям удовлетворяют полнноиы Р» (Л) =, где сов 6 = Л, Б!п (л + !) 0 Шп0 «! +! 2 2 а = = ~ Л $Г! — Лл РЬл(Л) аЛ; Ь =: — Л )Г! — Л' Рл(Л) Р .! (Л) аЛ, я в -! Введя переменную 0 и вычисляя полученные интегралы, будем иметь, ! при любом Ь, а„=О и Ьл — — —, т. е. элементы соответствующей матрицы 1 определяются формулами аа,л+, — — ааэ„л = —, и остальные ам=О. Эта матрица имеет простой чисто непрерывный спектр. Единственное дифференциальное решение системы, согласно (50), опрелеляется формулами р„(Л) = — 1 Ьг( — Л Р» ! (Л) аЛ = — — 1 л)п 0 Ппп 6 аа, и »а — ! » 2 —, 2 2 откуда р,', (Л) = — Ьг~ — Л'Р„, (Л) = — Ып па.
Отбрасывая множитель видил!, что система (34) 1 1 1 1 2 .лл =)"л! 2 .гл+ .лл =)'л» ° ° °: т .!»-!+ г .л»ы ="л» "° (пате солЛ), где — 1 =Л-":ф 1, промежутке ! — », + «! замкнутую ортогональную и 1 — — — и!»' (0 =О, ! 1,-л- 2,...). формулы (5!) при имеет решение х„=мп 2. Рассмотрим на нормированную систему Пользуясь формулой Мооаар, легко показать, что написаннан лробь есть действительно полинам степени и от соз0. Условия (79) провсршотся непосредственной подстановкой, если ввести вместо Л новую переменную, полагая Л = соэй. Числа аа и Ьл, входящие в матрицу (64), опрелелнтся по формулал! 525 1ЕО( ПРПМИРЫ 1(Л) = Л !ждут нам следующие элементы длн соответствуюшей матрицы: л — †2 - ~ Лс!'Р '!" гт) = . при Р ~ !7 и прр = О, причем значки Р ра=2я 3 ' т(Р— Ч) -й в р идут от ( — со) до (+.о ).
Согласно (50); >, Р ()) с — гях !7Л; Р' (Л) = — е тах — у 2в н формулы (78) приводят к равенствам э ° —. е '"" =Л =е тгт, )р!-а 7 (з — Л) ) '2к )!г2я причем штрих у знака суммы показывает, что надо исключить значение 8=а. Прсдыду!цзя формула люжет быть переписана в виде или в виде ет!" =Л, !у б = — 3 ( —" — Л)""""'Л+ — (.— Л)"' "хкл 2в О 2я8) — ч или Ьря = — при Р ф !7 и лр ! —— О. Р ч (80) Принимая во внимание, что (/(Л) ((я в промежутке ( — я,+ н(, мы имеем следуюшу!о оценку для квадратичной формы (155(: -!- ! +! л'ы йр — р ~ -'~'-' ' =-.
~ (1.(. (81) В этой опенке множитель 1 слева может быпч очевидно, отброшен. Есле положим -,„= 0 прн Р— 0 и остальные;р вешествспными, получаел! слсдуюпгую оценку, данную Гнльбертом: ! я л У '=гх -, 'У:3 Р— !7 а-! (82,' причем пснлючастся значение /= О. Последнян формула представляет собой обычное разложение Л в рп! Фурье, причем написанный ряд расходится па концах промежутка, т.
е. при Л = -ь я. Последнее происходит в силу того, что разложение написано в комплексной форме. Применим теперь формулу (56), полагая у'(Л) = — в — Л при ), ( 0 и у (Л) = я — Л при ), ) О. Мы получим матрицу /160 пРосГРлнстио гильивРтл Нструдссо показать, что матрице с элсмснтасн! и,ч — — 1; /р — д/ нрн р ~' сс и а„л =0 уже цс соответствует ограниченный о!!оратор.
Действительн если лсы ноложнм )с, =1: Р л нРи 1(Ь-.. л и,а =0 цРи Ь) л, то ноРма элемента (1„;с, )с,...) будет раина единице, а соотвстствуксщан квадраси!- ная форнз булат я !,с,...,я сс С:-,Л 2''Ъ ' ! . 2 У,с / 'с и ! — У вЂ” -с- - - -с-... -1- — —,— /Р— д, 'и, р — с) л ' (1 2 ''' Р— 2 ' р — 1С' се =! Чоэс сс = т 2 'л — 1 л — 2 и — (и — 1) -Р + /= и 1 ' 2 ' ''' л — 1 = 2 ( + -,!-+ „, Р л ', - " „'), ис я со ! Оо и У'У-~-/оо У~ У вЂ” '- л ослы Р д с ыо Р д т со и=! Ч= ! д-! и-! прочел! во внутреннем суммировании но р исключается значение р = д, а слева те слагаемые, у которых р = с).
3. Рассмотрим теперь вместо системы ес"с вещсственную замкнутую ортогональную нормированную систему 1 да(Л) ==(з!н й Л+ сов й Л) )сс2!с (А = О, -с- 1, -с- 2,...). Прииенян формулу (56), придем к матрице Ьрд — — — у (Л) (з/и р Л + сов р Л) (щи д Л + соз д Л) с) Л, 1 Г или +с +ч Ьрч —— ,,— ~ с (Л) соэ (р — су) Л с( Л + — ~ у(Л) з! и (р+ д) Л с( Л. ! Г 1 Г Полаган, как и раньше, у(Л) = — л — Л нри Л ( 0 и У(Л) = г. — Л нрн Л) О, мы получим след>ющую матрицу: 1 Ь~ч — — нри р+ су ~ 0 и Ьр — — 0 при р + д = О. Р+д диалогично неравенству (8!), мы приходим к неравеншву 1 ! сс -с с УАТ .У -„,: Р+ д .всв (83) и после"нсе выражение беспредельно возрастает при возрастании л, так как 1 ! сумма 1+ — + ...+ беспредельно растет, а дробь (л — 1):п стре- 2 ''' и — ! мится к слияние. Мы не имеем в случзе (80) абсолютной сходнмости бесконечного двойного рнла, но можем утверждать, что лля любых двух элементов нз !с имеетсн предел 527 слав»я сходимость и гч 179) где штрих показывает, что надо исключить слагаемые, аач которых Р р д =о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
