1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 110
Текст из файла (страница 110)
формулы (130), (131) и (134) дают нам [! 78 540 пяостялнство Гильввятл Пользуясь дистрибутивностью, можем написзть такие же формулы для Уи к'на (У), У83=(У, и); () У, и.)=(У, и), (!37) (УУ, п)=(7; ид), (138) где У' и 8Е Е Из (137) следует, что операторы У и )г на 7 не меняют нормы элементов, и, поскольку линеал 7 плотен в 7., [60[, мы получаем единственное распространение операторои У н Р (по непрерывности) на все А,.
В силу непрерывности скалярного произведения, на 7., сохраняются формулы (137) и (!38), и операторы У и Р не меняют нормы и скалярного произведения на Ем Из (!38) следует, что Р= Уч. Заменяя в (138) У на РГ" и пользуясь (137), получим УУ* = Е, и, аналогично, заменяя и на У~, получим У"У= Е. Отсюда следует, что У в унитарное преобразование и )г ему обратное [187[.
Остается получить формулы (132) и (133). Первая получается из (138), если положить и (х) =7',(х), а вторая — если положить у(х)=г',(х) и перейти к сопряженныи величинам. Переходим к доказательству второй части теоремы. Дан унитарный оператор У и Р = У ' = У~. Строим функции: К(а, х)=Уу,(х); Е(а, х)=У 'У,(х). (139) Вводя, как и выше, обозначения е (х) = Уу(х) и пользуясь унитарностью У, получим ('у И=(У/ Л)=(У У '1М Ы И=(У 'р У.)=(7 УУ.) что и приводит, в силу (139), к (132) и (133). Формулы (137) и (138) имеют место для указанных выше У и )г.
Полагая в ник г"(х)=г,(х) и а(х)=гь(х), получаем (130) и (131). Теорема полностью доказана. 178. Преобразования Фурье. Для промежутка 0 ( х ( -[- оо Ватсон рассматривал ядра вида причем предполагается, что 7(0)=0 и —. ч 7.,(0,+со). 7 (х) х Условия (130) принимают вид ) Пх=ш!п(а, Ь) (а)0; Ь)0), к х а условие (!31) выполняется автоматически. ! 76! 541 ПРЯОВРЛЗОВЛНИЯ ФУРЬЬ' Модуль числителя не превышает двух, и обе функции принадлежат Е«. Легко проверяешься условие (131). Проверим условия (130). Они сводятся, как и выше, к одному: (а-гаа 11 (Ряа !) !!!п!п(! а 1, !Ь!) при аЬ) О, Г= — — ! - --„. а!х= (141) 2« Л л" 0 при аЬ =.О.
Легко получить формулу ып" «х а!х = к ! а ! (а — вещественно), (142) применяя дифференцирование по параметру а. Интеграл ! легко пре- образуется к виду: а . Ь, а — Ь 1 2 +««5!П« — Х + 5!П« —,Х вЂ” 5!П« —,Х 1= — ], а!х, 2 2 и применяя формулу (142), получим 1= —,, (!а!+!Ь! — !а — Ь!), откуда и следует формула (141). Таким образом, мы получаем унитарное преобразование Фурье, для которого применим символ Т: Ь'(х)= ТУ(х), в следующем виде: а 4«а ~ Е(х) с(х= — ~ ' . г"(х) а!х; а -(а а 4 СО 1 1 а!«а Г(х)г!х== ~ . Р(х)а!х.
)!2а ~ !Х (143) Преобразованию Фурье можно придать другую форму, которую мы применяли раньше [П; 160]. Положим сначала, что г'(х) равнз нулю вне некоторого конечного промежутка 1 — л, +л]. По условн!о Т"(х) Е Еа на 1 — л, +л] Мы переходим к рассмотрени!о преобразования Фурье, для которого основным промежутком является ( — со, + со) и 543 178] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬВ интеграл (1 46), который является пределом интеграла (1 47) при и -Р со. Но если существует предел в среднем и предел везде, то они совпадают, и следовательно, в рассматриваемом случае преп.
бразование Фурье может быть записано в виде +со Р(у)= Т) == 1 е 'У«у(х)т(х (у(х) ~ (.„и Е,). (149) Р2« а Все сказанное выше имеет место и для сопряженного (обрагного) преобразования. Вместо (148), полагая т=л, мы будем иметь У(у)=Т«Р=!ш ~ е"«Р(х)г(х л Уг' — л и вместо (149): -~-оо Т" (у) = Т*Р = = 1 е'У«Р (х) ах (Р (х) ~ Ц и т'.,). (! 51) )~2« ) Лля преобразования Фурье имеет место формула свертывания, которую мы сейчас выведем [ср. !Ч; 46]. Пусть л(1) и /(1) ~ Ем Функция е(х — 1) при любом вещественном х как функция 1 принадлежит очевидно, Тм Определим Т~д(х — 1)]: Т [л (х — 1)] = 1ш — '1 л. (х — 1) е гг' г(т = а о» у'2« «~а «+а =!ш = ~ а (и) е гт!« ") г(и=е гУ«)щ = ~ а (1) е'У!,11 а оо)'2л 'р/2 « — а « — а т.
е. Т[8 (х — 1)] = е 'У" Та [у(1)], и, принимая во внимание, что унитарное преобразование не меняет скалярного произведения, можем написать +оо ч сО ~ у(х — Г)РЯБ= ~ е г«Та[АР(1)] Т[у'(1)! Иу, где Т [у(1)]=1ш = 1 д(1)е'У'аУ; л оо)' 2л о +л 1 Т [Я)] =! ш = У Я еоч г1( = Т л Т, а- о$/2л д (120 544 пиостилнстпо Гильввитл и окончательно ~ л (х — П Т (1) «11 = ~ 0«(у) Г«( и) е "' г(и, (152) где 0,(у)= Тле' и Г,(у)= Тву Основная теорема совершенно так же может быть доказана и для случая функций многих переменных. При этом унитарное преобразование Т опрелеляется формулой ТУ = +л««+л'л =1а ~ ...
~ у (х„...,хл) е ттл«с«+... +»лт»1 Нх«... а«хл (153) и» со (о )т — м« вЂ” «лл я обратное преобразование — фориулой То (Г) = +и«+"'л 1 =1ш — ~ ... ~ Г(у, у ) ею «с,+. ° ° +. л«„«ау, а«И (154) л«» со (з )з -и« -л«л л л Г(у)=1т ау — 1 Т"(х) сов худ! У'(х) =1щ ау — ~ Г(у) соз хус(у, с'2 1' с'2 «" л со. о л со Эти формулы дают унитарное преобразовзние для функций из».я на промежутке (О, со). Меняя знак и умножая на т (эти операции суть, очевидно, унитарные преобразования), получаем, в случае нечетных функций, следу«ощие взаимно обратные унитарные преобразования на промежутке (О, со); л Г (у) = 1т 1/ — 1 Т(х) з!п ху стх! Т(х) = !ш 1/ — 1 Г (у) з1п лу с~у. л со л со о ч 179. Преобразование Фурье и функции Эрмнта.
Мы покажем сейчас, что преобразование Фурье имеет четыре собственных значения » 1, -«- 1, которым соответствует замкнутая ортояормироваиная на промежутке ( — со,' 1- со) система собственных функций, а именно зто суть функции Эрмита (П1,1 156), Возвращаясь к случаю одного переменного, отметим еще некоторые свойства преобразования Фурье. Если в (148) заменить х на ( — х),сопоставитьс(150) и принять во внимание, что Т*=Т ', то получим ТЯТ (х) =ус( — х) и аналогично Т»' Г(у) = Г ( — у).
Если /(х) — четная функция, то и преобразование Т, даст функцию, эквивалентную четной функции, и мы будем иметь 1791 5245 пРговРазов тиив ФУРьв н ьл'икйлилй чРмнтд Наполшим основные формулы, относящиеся к функцнялй Эрмнта. Полиномы Эрмита определяются формулой гл ?? (с) ( !)»г йй (е -.йй) н функции Эрмнга фл(Х) =Е 2 Нл(. ), Онн ортогональны па промежутке ( — -со, + оэ). Нормированные функции Эрмнтз будут: ! тл (.т) — ", л ( т) ° л ° — л ",л 1 У Онн образуют замкнутую ортонормированную систему.
Докажем, что Ел(х) есть собственная функцнв оператора ?', соответствующая собственному значению ( — й)", т. е. ? тл = ( — й)" Рл (У). ( !.лд) Иначе говоря, нам надо доказать форму.лу уй ?л= = л е '+ г — (е-л )йтх =( — й)ле — (е у ). — РЛ вЂ” "",-' г уй ) пхл ' пуж ( !)» ! й г?л . лй ?л = —. 1 е ." — (е 'У" ' 2) лйх. 1 г~ — ~,ухл уй уй 2 Умножаем вне знака интеграла на е н под знаком на е ! ( !)л — (' й т!л - !л — йууй т?х = »лейл 1 лл . †(й — гмй е ! е-.
— — е пя» ттх = !)л гл 1/'-.. уй лй лл 1, - '----тлу ..-л;,? 1 — лй Дифференцируя по параметру у, легко показать, что последний цнтеграл уй равен ег, и, таким образом, формула (155) доказана. Учитывая замкнутость системы фуйкцнй Эрмнта, можно показать, что точки Л=-й- ! н Л= -й-? нсчерпывакп весь спектр оператора Т, Интегрируем по частям и принимаем во внимание обращение и нуль внеинтегральных членов: [180 поостванство гнльвввта Ау" (х) = ху (х). (! 56) Мы инеем Я (Аг', л)=[ х$(х) (х)г(х и (Ау,/)=~х[у(х)['гух, о о откуда видно, что А есть самосопряженный оператор, и что его норма не превышает а. Если брать у'(х) отличными от нуля лишь н малоп окрестности х= а, то нетрудно убедиться в том, что норма А в точности равна а.
Границы квадратичной формы (Ау, у) при условии Щ= 1 равны: т = О и М= а. Уравнение для собственных значений и собственных элементов имеет вид ху(х)= Лу(х) или (х — Л)Г(х) = О, откуда видно, что Г(х) эквивалентна нулю, т. е. собственных значений нет, и спектр чисто непрерывный. Резольвента имеет, очевидно, вид )тли(х)=у (х):(х — Л). Если Л лежит вне промежутка [О, а], то / лУ(х) с Г.м Если же Л лежит на промежутке [О, а[, то оглу(х) не при всяком у(х) принадлежит Г, При этом оператор (А — ЛЕ)7"(х) = (х — Л)у (х) преобразует Г., биоднозначно на линеал А(х таких функций э (х) = (х — Л) т" (х), что р (х): (х — Л) Е Г.м Определим спектральную функцию $„причем Л надо считать принадлежащим промежутку [О, а).
Принимая во внимание, что 2яг .. / Л вЂ” „т ял ( 0 п(ли Л(х, 1!лп 1,,с(о=211!ш [агс!5 — '+ — '[= ~ , .1.о > (' х) +т~ -+о[ т 2[ ! 2я! при Л)х, получаем для любых элементов У(х) и ф(х)[144[: Х а л (Вл у, ф) = 1лш --- ~ ~ ~ —,,у (х) ф(х) г(х ~ ага = ~ Дх) ф(х) гХх, — о о откуда следует ( у(х) при х = л, ~~.г(х) = [ (157) Взяв Дх) = 1, получим дифференциальное решение к(х, Л) = 1 при х ~ Л и к(х, 1) = О при х ) Л. Пользуясь формулой (!57) и свойством 11 из [52[, нетрудно убедиться, что ортогональных к нему решений не имеется. Рассмотрим более общий самосопряженный оператор Вт'(х) = ол (х)У(х), (158) 180.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
