1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Операция умножения. Рассмогрим операцию умножения на независимую переменную на конечном промежутке, причем за левыи конец промежуткз возьмем х = О. Итак, рассмотрим Г., на конечном промежутке [О, а[ и операцию умножения на независимую переменную: )8!] 547 ЯДРА, ЗАВИСЯШИВ ОТ РАЗНОСТИ где м (х) — вещественная, измеримая и ограниченная в промежутке [О, а] функция.
Уравнение для собственнык значений и собсгвенных элементов имеет внд [м (х) — Л]Т(х) = О. Пусть К,. есгь множество значений х, удовлетворяющих уравнению ы (х) = Л. Если мера К, равна нулю, то Л неесть собственное значение. Если мера К„больше нуля, то Л есть собственное значение, и любая полная ортогональная на множестве К! система функций представляет собой полную систему собственных функций, соответствующих указанному собственному значению, причем вне КА эти функции надо считать равными нулю. Если при любом Л мера К„ равна нулю, то оператор (158) имеет чисто непрерывный спектр. Совершенно аналогично (157) его спектральная функция определяется формулой Т (х) при ы(х) ( Л, 0 при м(х)) Л.
(159) Все сказанное легко распространяется иа случай функций многих перел1енных. Так, например, для функций !'(хн х,, ..., х„), принадлежащих «.э на некотором конечном промежутке а,(х,(Ь, (з=1, 2, ..., и), мы можем определить самосопряженный оператор умножения на независимую переменную хэ: ЛТ"=хам". Этот оператор имеет чисто непрерывный спектр на промежутке аэ ( Л ( Ь„и его спектральная функция определяется следуюшиэ! образом: Т(хп х,, ..., х„) при хэ(Л, 8.„У(хпхэ, ...,х„)= ! Л ,' (Рйо) при ха)),. 18!. Ядра, зависящие от разности. Пользуясь оператором (158) нэ про. межутке ( — оо, + Оэ) и переходя с помощью преобразования Т к унитарно.
эквивалентным операторам, легко строить ограниченные самосопряжеииые интегральные Операторы с ядром, зависящим от разности. Наметим схему такого построения. Оператор В' =ТАВТ, унитарно-экви. валентный (158), выражается, очевидно, формулой +«э +«э ! Р В'Т(х) =; ] ~ ч (у) ~ Т(Т) г !у «Ч ~ г!: яу, 2я Вернемся к случаю одного переменного. Оператор умножения на независимое переменное нз бесконечном промежутке уже не является ограниченным оператором. Мы его рассмотрим в дальнейшем. Если же мы возьмем оператор (158) и будем счиуать функцшо м(х) ограниченной на бесконечном промежутке, то получим ограниченный линейный оператор. Итак, возьмем за основу пространство Т.э на про.
межутке ( — оо, + со), и пусть м(х) — вещественная, измеримая и ограниченная на этом промежутке функция. При этом формула (!58) определяет самосопряженный ограниченный оператор. Если м (х) непрерывная в замкнутом промежутке [ — со, + ОО], то границы оператора совпадают с наименьшим и наибольшим значениями м (х). 548 (18! пРостРАиство ГилъББРтл Здесь и в дальнейшем вместо 1ш мы пишем просто интеграл с бссконе Р о оэ ными пределачи.
Считая, что ш(у) не только ограничена, но н суматнруетсс на промежутке ( — со, +со) и что Т(г) из со также суммнруема, сможсы переставить порядок интегрирования и получим +со +со Ву(х) = ~ ~ ~ (ус) егу ! Ь ((у(г)аг 1 Р илн, вводя функцию +со 1 Р(и)шо - ~ ш(у) е'Уо с!у = Тв ш, )с'2я (161! можем написать оператор В' в виде +со ВУ(х) = = ~ .Р(х — г)Т(г)тй. ! )Т2я — со (162) Спектральная функции В' выражается, как мы знаелй формулой $т' = ТоуотТ, где $„ — спектральная функция В. Если ядро удовлетворяет, как зто будет в последующих примерах, условию (97) из (172), т. е. +со !6 (и) ! сгн ( + (163) Гранипами оператора являются: ш = О и М = 2. При любом Х из промежутка [О, 2) уравнение 2:(1+ х") = )с имеет не более двук корней и оператор (164) имеет чисто непрерывный спектр.
Ядро оператора В' определяется формулой +ос -С.со д(и)ош ф~ — ~ с(ч= 1/ — ~ 1,Иу= ) "2я е ВУ(х) = ~ е ж У!Т(у)с(у, (165) Полученное ядро удовлетворяет условию (94) из (!72(: +со л со !У((х»И (уош ~ У "Фу+~"'Фу=2 то формула (162) применима, очевидно, не только к тем Т(х), которые суммируемы на промежутке ( — со, +со), но и ко всему Вь Рассмотрим примеры применения указанной схемы. 1.
Пусть ВУ(х) =, Т(х). 2 (! 64) вдел, злвисящнк от глзности В силу (159), спектральная функция оператора (16!! Опрелслнегся так: Вьу(х) =у(х) нри 2: (! + ХО) ( л и В>Т(х) = бири 2: (! + х) ) Л, т. е. Т(х) при х1= н, В»У(х) = О при )х! (», где и = )/(2 — Л):Л и —, СО +О» Вл7(х)=тоВ»ту(х)= — ( ~ + ~ )~ ~ У"(г) е- !с нг~ ессут т. е +с» +со 1 Вл'У(х)о»2 — 3 ~ ~ У(/) е ОУ с/г ~ е!"У ну— —,—, ~ ~ ~ Т(т) ен нг~ е-г»з ну. Написанные несобственные интегралы с бесконечными пределами надо понимать в смысле среднего квадратичного приближения. Меняя в последнем интеграле порядок интегрировании, возможность чего легко оправдать, и принимая во внимание, что ТОТ = Е, получим +СО ВЛТ(х) =Т(х) — — ~ у" (1) ссб (166) +СО (167) 11остроим дифференциальные решения для оператора (165).
Легко видеть что однородное уравнение В'у(х)=ЛТ(х) имеет решения сов»х и тбпнл не принадлежащие /О, т. е. +о» +Со с ' " " ' соа нус/у =Л сових ! ~ е ~ "' У ! а(п !Су сту = Л ч!пих, — со — О» с/!с Умножая обе части на е О -с и интегрируя по Л от О до Л, или, что то же с/Л по р от и =о» до н, получим следующие два дифференциальных решению / Спа!СХ Х Л!П НХт г,(х,Л) оо ~ е О сов Их»/р = — е в ~ ~!+х' 1+хо)' ~ СО О /х соа нх а!п нх ! СО 1 (168) Оператор В' имеет чисто непрерывный спектр, и Вл7(х) должнострекнться (в среднем) к нулю при Л вЂ” О, т.
е. 650 !181 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬББРТА Эти функции уже принадлежат йм и из сзмого способа их построения еле. дует, что они удовлетворнют уравнению (129) и обращаются в нуль при Х = О т. е. прн Р = оо. Множитель е Р нами добавлен для того, чтобы иметь воз. можность интегрировать от Р = со и получить таким образом решения, непре. рывные вплоть до Х = О.
Решения (168) взаимно ортогональны (176! в основнои промежутке ( — со, + со), так как одно из нил есть четная, а другое нечетная функция. Выписываем формулы (120) и (121) из )176). Простое вычисление дает в Гч (А) = Р„(Х) =; — е "Р, 8, (Х)= ~ ~ ~ е Р соя ру оР~Т(у)г(у, Тс» р дт (Х) = ~ ~ ~ е Р з!п Ру »Р ~ ч (у) ду. Полнота системы решений (168) может быть проверена при помощи формулы (128) нз (176!.
Если мы применим формулу (123) к вещественной функции Т (х) из Ат и функции 6(х), равной единице на промежутке (О, х) и нулю вне него, то получим после элементарных преобразований к Т (х) в'х = о 1 ! 1 5(п Р.т [ / 1 соэ Рх) — — р(у) совру Ну+ ! — — ! ~ р (у) э!и ру яу ~ г(Р, тр Р ! что при некоторык дополнительных предположенинк приводит к обычной формуле Фурье. Отметим, что решения (168) должны получаться применением оператора $т' к функциям ка(х, 2), т.
е. к 1:(1+ х') и х (1+ х'), что легно проверить. Если бы мы при интегрировании не добаваяли бы множителя е Р и стали интегрировать от р = О, то получили бы простые дифференциальные решения юпрх: х и (1 — созрх) х, которые теряют смысл при ) =О, причем тл нормы беспредельно возрастают при А — О. Рассмотрим общий случай преобразования (162), считая, что 8(у) — вещественная четная функция, удовлетворяющая условию (163). При этом оператор (162) определен во всем 1.е и является ограниченным самосопряженным. Мы можем составить +»о +с» б, (Г) == ~ 8(и)ЕП" Г(и; Г,(Г)ж:= 1 /(и) ЕГГ" Пи, (169) Р'2я )' 2к д причем +»ч 1 ! 61 (т) ! ( —, 8 (и) ! пп, —,/2я 3 т.
е. 0,(т) есть ограниченная функции и Г,(г)с А„так что П,(г)с',(Г)С Ат. Можно доказать, что и в данном случае имеет место формула П22), которую 1811 551 ядил, злвисящив от плзности можем написать в виде —',-СО +СО 1 1 (' „- (х) = ~ д (. — Г) У (Г) де = = р! а, (Г) Г, (Г) е-'"' дт = 2т. д )Гоя .) = Т (Ос (Г) Рс (Г)! у(х)= ~ К(х,у)У(у) ду о (170) введем вместо х и у новые независииые переменные х = е' ну = ее, а вместо Я у(х) и У(у) — новые функции »ус(з)=е у(ес)игс(Г) =е У (е!), то получим интегральный оператор +СО у, (з) = ~ К, (з, Г) ус (Г) дс с ялром, зависящим от ! л — е !. Действительно, в силу однородности К(х, у) = ут = х ' К» 1, — 1, и, полагая К(1, г) =О(г), можем написать (' ху' ь-1-г т-ь К,(з, Г)=е е си(ег с)=е т О(е' с), причем, в силу симметрии К(х, у), последнее выражение есть четная функция (à — з).
Принимая во внимание, что Из = дх»х, мы видим, что при указанной замене переменных пространство )О функций на промежутке (О, со) переходит в пространство А, функций на промежутке ( — сс, +со). Можно непосредственно определить норму оператора (170) при помощи следующей простой теоремы. Теорема. Гели К(х, у) — неотрицательна, однородна степени ( — 1) и СО ! СО ! К(х, !)х»!хОО ~ К(1, у)у с(у=а, (! 71) ОЪ СО !7! = ~ ~ К(х, у) у(х) е(у) дх т (й(У! !!д!!. о о (172) Отметим, что интегралы формулы (171) равны в силу однородности ядра Переписав подинтегральную функцию в видят(х) (с' К ! ' — 1ь е(у) )с К у откупа след»от О»(г)г»(г)=Т" (у(х)], н, принимая во внил»ание вторую из формул (169), мы видим, что оператор (!62) унитарно эквивалентен оператору умножения на ограниченную функцию 0»(Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
