1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 115

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 115)

е. ураинение (21) имеет решение при любом у Е Н. Локажем, теперь, что 0(АвА) плотно в Н. Если предположигь обрзтное, то должен существовать элемент з, отличный от нулевого, ортогонзльный 0(АвА). В силу сказанного выше, его можно представить в виде «=(АеА+ Е) х„где х, Е 0(АвА), и при любом х с 0(АеА): О = (г, х) = ((АвА + Е) хе,х) = (хе, (А*А + Е) х) 565 188! ш ими ы ивогглничшцнлх опгглтогов . в'у(Х) г(х (23) и Р(Л) плотно в т'.т [0,1[. Оператор А симметричен, ибо нз (23) следует, что для у(х) и ф(х) (Р(А) ! (А-, ф) = ) т у ' ф(л) Их = — ) !у(т) ' ' ' ггх=(у, Аф). т)х 3 ' о'.т о о Из симметричности А следует, по А допускает заттыканис, инесе сопряженный и А ~ А г . А*. Выясним, из каких функций состоят Р(А) н Р(Лт). Пусть ем(х) ( Р(А) и ум(х) =) у(х), Ау„, =ф (х)=)ф(д), тогда у(д) (Р(Л) и ф(х)=Ау(л).

Ыз !сории обобгцснных производных следует, что это замыкание Л расюпирнет Р(А) до Р(Л) = !(д!! [0,1[ [113). Кахтдан у(х) из йтшзц [О,![ есть абсошотно непрерывная функция, равная цуаю на концах и итьсющан обобщенную первую производную из ).т [О,1[. Д!ожно было бы показать, что любая такая функции входит в !!т!ц [0,1[. з Оператор Л на у(х) нз Р(Л) вычисляется но форлтуте (23) с той лишь разииг! цей, что на этот раз — означает не классическое, а обобщенное дифферент!л цирование.

Исследуем тсисрь, из каких функций состоит Р (Л т). Функция у (д) ( Р (Ла), если есть хакан функция ф (л) ( Ет [О1), что (Аы, у) = (и ф), т е. ! ! цы (.т) — - (' ! у(д)г!.т= ~ и(д)ф(м)т(.т о длн всех ы(г) нз Р(Л). По это означает [109), что у(л) нмсст обобщсц- Начнем с простсйн!его дифференциального оператора О = ! †. в'х г( 1) О и с р з т о р 1Э = г — в и р о с т р а н с т в с гт'= ).т [0,1).

г(х Как тш видели выше, в абстрактной теории оператор А задается областшо определения Р (А) и правилом вычисления А на элементах нз Р (Л). Взнтый нами оператор О можно естественным образом определить на всех функциях из )э [О,!), имстощих обобщенную производную из т'.т [О,1[.

Однако О, определенный на таком широком классе функгвтй, не будет обладать рядом свойств, которыми обладает О, рассмотренный, например, на финитных гладких функцинх. Поэтому мы в этом и в последующих примерах начинасл~ с то~о, что рассматриваем сначала дифференциальный оператор нз множестве гладких функций, подчиненных каким-.тибо граничных~ условиям, изучаем п о сво~!ства, как-то: сил~метртшносттч положительную оцрслсленность, обратилюсть и др., а затем ставим вопрос о возможности сто расширений с сохраненном тех или нных свойств первоначал~ ного оператора. Выбор области оирсделсния первоначального дифференциального оператора неоднозначен.

Чтобы подчеркнуть это, л!ы в нижецриводиыых примерах делаем это но-разному. Обозначим через А оператор О, рассмотренный на л!ножсствс Си' [О,![ всех финитных непрерывно дифференцирусьщх на [0,1[ функцинх (см. обозначения в [113[). Значение А на у из Р (А) вычисаястсн цо формуле 1188 566 пгостванстао гидьвевтл ную производную — '-, равную — г, '(х), т. е. что р(х) т )!т т (О,!) н с(т(. ) (и ох 1 — =ф(х), причем любая у (х) из (ст з [О 1) удовлетворяет(24) с ф(х) =т —, , ку(х) Р ,ку(х) л'х пх Тем самым мы показали, что О(Аь) = Ть!т! (0,1) и Агу=( 10 „. с(т (х) и'х .

Ясно, что Ф'т' (0,1) шире, чем Ф~зп (О,!). Легко убелиться, что А" не симметричен на т)(Аэ). покажем, что на Р(А) сушествует ограниченный обратный (откуда будет следовать, что Р(А) есть подпространство). Пусть т(к) ( (У(А). Тогда у(х)= —.- ~ Ау(х) йх, и, в силу неравенства Буняковского, имеем !' 1 о ! х в ~ Ау(х) с(х 4х( ~,'Аута, о о Отсюда следует, что А ' на Л(А) существует и (1А '(! (!. Выясним возможность различных самосопряженныд расширений оператора А. Мы знаем, чтО для любого симметричного расширения А имеет место соотношение А ~А ~ А-", т.

е. при таком расширении мы должны добавлять к 0(А) элементы из О(Ат), и на этих добавляемых элементах л считать Ах=А:тл. При этом надо заботиться о том, чтобы не потерять при расширении симметрии оператора. Представим Н в виде: Н = )2 (А) Е (У. В силу теоремы нз (185),Н состоит нз нуаей и(х) сопряженного оператора. Но Ави = (, так что и (х) = сонэ!. Попробуем расширить А так, чтобы , л'и(х) лх тс(А) расширилась до Н и чтобы оператор остался при этом симметричным.

Для этого надо взять все решения уравнений А'"'у = сонат и среди ник выбрать те, на которых оператор О симиетричен. Очевидно у (х) имеет вид у (х) = С,(х + С). Подберем постоянные С и С, так, чтобы О на у (х) был симметричен, т. е. чтобы к ! 0 = (Оу,т — (у,ОТ) = (у (х) у (х) ~ = ПС от((1+ С)(! + С) — С С) = х о = ! Ст, ' (1 + С + С). 1 Отсюда имеем С, — произвольное, а С = — --+;.Г, где „' — произволь- 2 ! нос вещественное число. Присоединим к О (А) элементы у (х)=С,(х — (-„т!), 2 где ~г — фиксированное вещественное число, а С, — произвольное коиплексное. Полученное множество обозначим через )У (А), а оператор О на нем — через А.

Легко провернттч что А есть симметричное расширение А. С другой стороны, в силу само~ о построения А его область значений есть Все Н, поэтому А нвлнстся самосопрвжениым расширением А (187). Добавляемые 567 1881 пниь!Ипы ииогплни'!киных опнгттовон элементы такого расширения уловлетворяют, как легко вгщеть, граннчнону УСЛОВИЮ вЂ” +Р( 1 ч(1) = у(0), т. е. 7(1) =агав(0) (0(0(2к), (25) 2 — — +Ф 2 Этому же условию удовлетворяют, очевидно, и элементы В(А). С другой стороны, для любого элемента р(х) из В(А(), удовлетворяющего условию (25), имеет место тождество ! ! .

!тч(х) — !" . г( (х) н (Х) ЛХ = 1 В (Х)! !(Х гтх !(х о о при произвольной н(х) нз В(Л). Поэтому такое т(х) (В(Аа) и А" у= . Но А есть самосопряженное расширение А, т. е. А" =А и, следог(7(-т) г(х вательно, В (А) состоит нз всек элементов из В (А "), удовлегворнющнк услоо вию (25). Из сказанного следует, что (Сгэ!О (О, 1) = В(А) состоит из всех абсолютно непрерывныл функций р(х), равныл нулю на концал и имеющил — из т'.а (О, 1). !(7(х) !(х Мы построили всевозможные самосопряженные расширения А, для которых )т (А) = Н. Каждое нз этик расширений определяется произвольным вещественным параметром р, или что то же, вещественным числом 3, изменяющимся в пределах 0 < 0 С 2я, Выясним еще возможность таких самосопряженныл расширений А' оператора А, при которых )7(А')=)г(А).

Если такое расширение существует, то для него В(А) дополнится лишь нулями оператора А*, т. е. элементами у(х) = сопл!. Оператор В на множестве В(А)+сопл! есть симметрический оператор А', являющийся расширением А. Множество Р (А') можно охарактеризовать тем, что оно состоит из всех тех элементов т(х) с В (А*), лая которых 7 (0) = р (1). Проверим, что В(А'ч) =В(А'). Пусть у (х) с В(А'*), т. е. пусть прн любой н (х) ( В (А') имеем (26) О = (А,т) — (яь!Г). Но В(А'*)~ В(Аь) и потому ! ! х ! , ттн(х) — Р (А'н,у) = ~ ! 7(х) гГх= ~ м(х) ! !Ух+!и(х) т(х) о откупа, в силу н(х) (В(А') и (26), имеем ф(х)=1 т и у(0)=р(1),т.е. . т(в(х) !(х !г(х) ( В(А'). Тем самым мы доказали, что А' есть самосопряженное расширение А. ьсли сравним граничное условие ч (0) = у (1), которому подчиннются функции из В(А'), с условием (25) для полученных ранее расширений, то увилим, что оно соответствует значению 0 = 0 (или, что то же, значению р =со).

Таким образом, мы перечислили все возможные самосопряженные расширенин оператора А. На ряду с ними А имеет н рззличные несамосонряженные расширения, но мы имн заниматьсн не будем. 568 1188 пРостРлпство ГильвиРтл Сзмосопряжепиые расширенгш А, соответствующие 0 еб О, имеют огршаы «Р(х) ченные обратпыс А '. Действительно, если Ау = г т ' = О, то у(х) = С «х и, в силу (4), должно быть С = егвС, т. е. С =О.

Отсюда следует, что А существует, а так кзк он определен на всем 77 и есть сачосопряженный оператор, то ан и ограничен (186). Оператор жс А' не имеет обратного на 77(Л') = 77(Л). « 2) Оперзтор 0=) — в пространстве Н=бз( — со,+со). «х Обозначим через Л дифференциальный оператор О, определенный на непрерывно дифференцир)смык финитных функциях Р(л). Летно проверяется, что он симметричен и что В(А) плотно в 77. Исследуем соприженный оператор А*.

Функция ф(х) ( В(Аэ), если дзя всякой р (х) ( Й(Л) выполняется соотношение т т ф(х)«х= ~ в(х) ,'я(х) «х, «'т (") «х (27) при тем ф* (х) Е Ет( — со, + со) и ф* (х) = Лы, (х). Но из первого определснгш обобщенной производной непосредственно следует, что 0 (Л*) есть множество (Г~~п( — сю, +со), т. е. мноткество функций из ет( — со, +со),абсозютно непрерывных на каждом конечном промежутке, имеющих произволную из уа ( — со +со), и ф*(х) = 7)ф (х), Покажем что если а (х) б Кази ( — со, + о ), то ч(х) — О при х †.+-оо. Из очевидной формулы к я (Р(х)(а=(7(а)(т+ дт .

'„7(х)«х+ «т ч(х) — ~ ' «х Г «7(х) г" «ч (х) а а и того факта, что ч(х) и с Ет( — со, +со), следует, что ,'р(х)(имеет «ч (х) «х конечный предел при х — -1- со и что этот предел лозжен быть равен нулю. Иссаедуем теперь Авз. Фупкдия ф (х) ( 7) (Авв), если для всякой 7(х) ( (7(Л") вьшоаняетси соотношение (27), причем ф*(х) ( (т( — со, + о.) и фв (х) = Ав*ф(х). Принимая во внимание, что Ас:А" и Ае*с:А", мы мажем утвержлать, что всякаи функция ф(х) из В(АЯ*) доажна приналзежать О(А*), т. е. )Р'~~П( — сю, +со), н Аввф(х) = О', (л). С другой стороны, легка проверить соотношение (27), считая, что у (л) ( В(Л*), ф (х) ( ()Ятп ( — со, +со) и,'*(х) = , «ф(х) =! — ', Действительно, интегрирование по частим на любом конечном пра«х мсжутке даст: в т ф(х) т(х = ~ ч(х) г ' «х+)а(х) ф(х) г(9 (х) —, Г .

«ф (х) «х «Х я=а Принимая ао внимание, что у (х) и ф (х) — О прн х — -т- оз, в пределе прп а — + со и Ь вЂ” — оз, придем к соотношению (27). Из сказанного следует, чго Аэз = А"', т. е. А' есть самосопряженный оператор. !)а мы знаем, что Л'"" = А, и, следовательно, замыкание оператора А привалит к самасопряжснпому оператору Л'. 569 188) ппиэгГРга ггкогялггичп!пггах опГжттояоп 3) Оператор () = 1 — в пространстве г( = (,т(0, + со). г! г!.г Пусть Л вЂ” оператор () на в сок неп реры в на диф фере н пир у с мы к ф у як цпя к, финпыщх на бесконечности и в окрестности х = О. При помощи рассужле- ни11, совершенно аналогичных вышеприведешшш, лгожно показать, что А'"' есть оператор (У, (л (Л т) есть множество функций у (х) пз Н, абсолюпго нспрерывнык на любом конечном промежутке (О, а! с пршгзвотно! иэ (т(0, + оп) и тл(Л) = =с!(Аал) сеть множество 7(х) функции иэ 0(Ат), удовлетворяющих условию ч(0)=0, причем Л у(х)=г' —.

Характеристики

Список файлов книги