1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Для того чтобы инвариантное для са.косопряженного оператора А подпространсягво ь приводило этогп оператор, достапгочно потребовапгь, что нэ х Е 0(А) следует Рсх Е 0(А). Пам надо показпгн что нз условий теоремы след>ег, чго если у Е 0(А) и у Е Л1, то н Ау Е М, 582 !! 9! пгостганстао гильзяятл Лля такого элеменга у и любого х Е Р (А) имеем (РьАу, х) = = (у, АР,х).
Но по условию АРсх Е Е, огкудз (у, АРсх) = 0 и тем самым (РсАу,х)= 0 при всяком х с Р (А). Но линеал Р (А) плотен в Н, откуда РсАу= О, т. е. Ау Е М; что и требовалось доказать. Обозначим, как и выше, через Рс(А) проекцию Р (А) в г, т, е, линеал тех элементов (, на которых определен оператор А, и через Ас — оператор, которыд индуцируется оператором А и Е. Теорема 4. Если надпространство Е прпводгып са.иосопряженный оператор А, то Рс(А) плотно в о и Ас есть самосопряженный в Е операгпор. Пусть у — заданный элемент (. и в)0 — задзнное число. Надо показзть, что существует такой элемент х Е Рь(А), что )у — х11 (я. Линеал Р (А) плотен н Н, и потому существует такой элемент «Е 0(А), что (,у — «'д=.в. Тем более ,'1 Рту — Рь«1) (в.
Но Рту=у и Рс» Е 0,(А), и первое утверждение теоремы доказано. Остается показать, гго если для любого хЕ Рс(А) имеется равенство (Асх, у) = (х, уз), (51) где у и у* Е Е., тоут Рь(А) и у*= Агу. Мы можем положить х= = Рс», где» вЂ” любав элемент 0(А), и получим (АРс», у) = =(Рс«, уь) или, в силу теоремы 2 (РсА», у)=(Рс«, у"), откуда (А«, Рту) = (», Рсув) и (А», у) = (», уь), ибо у и у* Е Е..
Из последнего равенства, в виду самосопряженпости А, следует, что у Е Рс(А) иу* = Ау= Агу, и теорема доказана. Этой теоремой мы пользовались в 1189). Пусть ьь (я = 1, 2,...) попарно ортогональные подпространства и Е их ортогональная сумма (139): й=й,9Ея9 .. Теорема 5. Если попарно ортогональные надпространства ьь приводят залгянутый оператор А, то и их ортогональная сумма приводипь А. Будем доказывать для случая бесконечного числа слагаемых. Нам надо доказать, что операторы Р, и А коммутируют. Пусть проектор, равныП сумме первых и из Рьы Если х Е 0(А), то, поскольку йь приводят А, имеем ()„хЕ 0(А) и АД„х=гг„Ах. Но 9„х= ° Рсх и АО„х=(;)„Ах=)РсАх, откуда, в силу замкнутости А, и следует, что Рсх Е 0(А) и АР»х= РсАх, что и требовалось доказать. ПУсть А — самосопРЯженнын опеРатоР, ) ь — его различные собственные значения и ьь — соответствующие подпрострзнства собственных элементов (включзя и нулеиоп элемент).
Число этих подпространств поищет быть и конечным. Каждое Еь очевидно приводит А. Составим их ортогонзльную сумму ь. Если й есть все 192) глзложенне единицы. интегелл стилтьгсл 583 Н, то А имеет ~очечный спектр. Если это не так, то мы имеем орлогональное разложение Н: Н=(.ЯМ и х=Р»х+Рмх (хЕ Н), (52) причем 1.
и М приводят А, и этот оператор индуцирует в ь и М операторы А, и А, так, что Ах = А, (Рлх)+ Ая(Рмх), причем А, (Рлх)= =А(Р»х) и А,(Рмх)=А(Рмх) при хЕ л)(А). Оператор А, имеет в (.л точечный спектр, а оператор А, — чисто непрерывный спектр в М. 192. Разложение единицы. Интеграл Стилтьеса. Переходим теперь к изложению теории спектрзльной функции (разложение единицы) для сзмосопряженных опера~оров. Оно будет во многом аналогично случаю ограниченного самосопряженного оператора. Мы будем подчеркивать те места, в которых нужно учитывать неограниченность оператора, Назовем разложением единицы семейство проекторов Вл, зависящее от вещественного параметра Л на промежутке ( — оо, + со) и удовлетворяющее следующим условиям: 1) если 1»)Л, то В„)Вл; 2) Вл стремится к оперзтору аннулирования при Л вЂ” — со и Вл — Е при Л +со; 3) В, непрерывен справа, т.
е. Вл — Вл, при Л вЂ” Л' + О. При этом ВлВ =В„Вл = В, при Л <й, и если лЛ есть некоторый промежуток (з, ~], то, обозначая ЬВл =  — В„, мы имеем, как и раньше, д'Влх ) лЛ'Влх, (53) (Ь' и Ь" без общих внутренних точек) лЛ'Вл лЛ"Вл= 5»Вл (54) (Ь» — общая часть лЛ' и цо).
Пусть Ь вЂ” некоторое разбиение промежутка ( — оо, + со): ...<Л,<Л,<Л,<Л,<Л,<„, Л»'ллл,В~х= Х Л '(В» — Вл ) х, Х ' (55) где Л» л(Л»'.=.Л» и х — некоторый элемент Н. В силу (53), эта сумма состоит из попарно ортогональных элементов и для ее сходимосги необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд 1121) + со + со жл Л»") д»В,хая= 2 Л»'"д„>~В,х~в.
(56) причем верхняя граница олл разностей ),» — Л» ,, О1 = О,.+. 1,-+- 2,...) конечна. Составим бесконечную сумму [(92 пяосгязнство Гильвггтл Этот ряд представляет собой сумму аа [3) для интеграла -;- СО -ь со ЛЧ®„~, )= 1 ЛЧ'йнх ', (57) и известно [5), что если ряд (56) сходится при некотором разбиении а и некотором выборе Л„', то он сходигся при всяком разбиении и всяком выооре ),ь'.
При этом предел суми (56) при ыа — О равен интегралу (57) и существование этого ингегралз как несобственного интеграла равпоснлыю сходимости сумм (о6). Таким образом, мы имеем право рассматривать суммы (55) для таких элементов х, для которых сходятся ряды (56), или, что то же, для которых интеграл (57) имеет конечное аначение. Обозначим множество таких х через 7. Принимая во вннмзние, чго [байт(с+ й)['~([ "~айте [+ [ бьКУ! ) ~ 2 [Айте~'+ 9[[баВтУ[!' Ах= ~ Лага,х. (58) Линеал 7 мы обозначим, как всегда, через Р(А). Напомним, что он состоит из тех элементов х, для которых интеграл (57) имеет конечное значение.
Перемножая скалярно сумму (55) на себя, принимая во внимание (54) и переходя к пределу, получим ~ ЛЧ(Ь„х~['= — ()Ах[[Я (х Е Р(Ах)), (59) причем этот интеграл есть предел сумм (56) при а„ вЂ” О, или его можно понимать как несобственный интеграл с бесконечными пределами. Умножая (56) скалярно на любой элемент у и переходя можем утверждать, что если х Е 7 и у Е 7, то и х+у Е 7.
Кроме того, очевидно, чго если хб 7 и а — комплексное число, то ахЕ 7, т. е. 7 ее т ь л и н е а л. Если х принадлемгиг тому подпространству, куда проектирует оператор 9а — Г„ то слагаемые суммы (56), для которых Ль , ) р или Л„ (а, равны нулю, т. е. такие х принадлежат 7, Г)ринимая во внимание, что 5, — с„ — Е при я — — сю и р — + со, можем утверждать, что линеал 7 повсюду плотен в Н. 7(злее, если х Е 7, то совершенно так же, как и в [)4([, мы можем показать, что суммы (55) имеют определенный предел в смысле сходимости в 77 при ыа — О. Этот предел естественно обозначить в виде интеграла Стилтьеса, и он определяет на линеале 7 некоторый дистрибутивный оператор Азп 585 192! слало;кшшг.
ндинипы, шпаге та стилтьгсз к пределу, будеч иметь выршкение бил~шейного функциопзлз: (Ах, у)= ~ Ы®,х,у) (х Е 0(А); у - гт), (60) и нзписанный интеграл есть предел соответству ощих сумм за при ыа — О. Если заменить у на ($ — р„)у, то, в силу (54), получим (Ах, ® — Ф„)у) = ~ Ы(Р,х,у), и, переходя к пределу при а -- — со и р — + со, будем иметь (Ах,у)= 1нп ~ Ы(й„х,у), — ао (61) Агч х= ~ Ы5„х.
(62) Нзпнсашпзй интеграл является пределом сучи вида (об) прн разбиении промежугка ( — со,й) нз части. С другой сгороны, если мы применим к сумме (55) оператор Кю который огршшчен а пигому т. е. интеграл (60) можно понять как обычный несобственный интеграл Стилтьеса, причем (фтх,у) есть функция ограниченной вариации. Отметим, что бесконечный промежуток ( — оо, + со) имеет конечную меру относительно неубывающей функции (,'В„х)", и интеграл (57) мы можем толконать и как интеграл Лебега — Стилтьесз от неограниченной неотрицательной функции )' по множеству конечной меры 159). !!усть х — любой элемент гт'.
При этом ($ — (з„)х принадлежзт тому подпространству, куда проектирует (ф — ф„) и, как мы видели выше, отсюда следует, что (5 — ф„)хЕ 0(А) при любом выборе элеагента х. Этого нельзя уже утверждать относительно элемента 5 х. Но если х Е 0(А), т. е. ряд (56) сходится, то, в силу /(Ьфт(5„х)/~= =),'б„Ь,В„х,",((Ья5,х~', ряд (56) сходится при замене х йа 5 х, т. е. есл и хЕ 0(А), то и га х Е 0(А) для любого р.. Считая х принадлежащим 0(А), заменим в сумме (55)х на йих, принимая 9 за одну из точек деления (р =), ). Нри этом все слагаемые при д') и обратятся в нулевой элемент, а слагаемые прн (г - р останутся неизменными, и в пределе мы получим 586 (! 92 пгостелнство Гильввегл й„Ах= ~ ЛчУйтх (х Е 0(А)); (62,) сравнивая с (62), можем написать (63) й Ах=Ай„х (х ~ 0(А)). Совершенно так же, при любом х будем иметь А(й, — й.)-=5 Л,Кйгх а (хЕ Н).
(64) Если х Е 0(А), то из (62) следует, кроме того, (й — й,) Ах = ~ Ый,х (х Е 0 (А) ), (64,) и, устремляя а к ( — со) и р к (+со), получим Лс(йтх =) Ах, (65) т. е. интеграл (58), как и (57) можно толковать как несобственный интеграл. Из предыдущих фориул непосредственно следует (Айвх, У)=(йвАх, у)= ~ Лб(й„х, у) (х с 0 (А); у с Н); (66~) (А(йз — й„)х, у)= ~ Лв(йлх у) (66,) (хбН; Уч Н). непрерывен, то сказанное выше о слагаемых остается в силе, и в пределе прн ма — О, учитывая непрерывность й„, получим элзложвнив единицы. интвгвлл стнлтьвсл 587 1921 (А*г, Ачг) =(А*(» — »!), А*(» — »т)) -+(А "»,, Ачгр) + +(Ач(г — г,), Ачг,)+(Авг,, А*(г — г,)), предыдущую формулу и А*»;=А»и мы получим '1~ А вг (~' — — )' А* (» — г,) ~!" + ~( Аг, 1', (67) о~куда !~ А; 1~-(Аег ~' Рассмотрим сумму (56) при х=»,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
