1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 121
Текст из файла (страница 121)
» =л (82) Пусть хих,,... — какая угодно полная ортонормированпая в Н система и 9,,»,... — некоторая последовагельность ве~цесгвенных чисел, среди которых могут быгь и одинаковые, причем ~»ь и хь будем называть соответствующими. Пусть далее Ло Л,,...
— различные из чисел 9„ т.ь — подпространство, образованное теми х,, которым соответствуют ~»„ равные Ль, и Рсь — проектор в 1.ь. Определим проектор 5»=~~Р» . л» Это есть разложение единицы, которому соответствует самосопряженный оператор С с чисто точечным спектром. Его собственные значения суть Л„ и х„х,,...
— полный набор собственных функций. Если все Ль принадлежат конечному промежутку, то С в ограниченный оператор. 196. Случай смешанного спектра. Сделаем сначала некоторые добавления к тому, что мы говорили в [191[ о разбиении самосопряженного оператора А на операторы с чисто точечным и чисто непрерывным спектром. Пусть некоторое подпространство Н' приводит А.
При этом оно приводит $», и, обозначая через А' и $» операторы, индуиированные А и ф» в И', мы можем утверждать, что ф» есть разложение единицы в Н' и А'х = ~ ЛЩх (х Е й(А')), (83) Аналогичные формулы имеют лгесто и в случае конечного или бесконечно~о числа попарно ортогональных подпространств, приводящих А. Вернемся теперь к обозначениям из [191[ и положим, что Н' не есть все Н. В Н' оперзтор А" имеет чисзо точечныи спектр, а в Н" операгор А" имеет чисто непрерывнып спек~р. При эгон В.= Х Ж»,— Вл„я) "л»м т. е.
5[ есть спектральная функция А'. Пусгь А" и ф[' — операторы, индупированные А и 5» в подпространстве Н"=ИОН'. Если х= =х'+х" и У=У'+У" — рззложение х и у в Н' и Н", причем х ~ й (А), то [191[; Ах=Ах'+А" х"; В~У=6>У+В»У (Ах, у) = (Ах', у') + (Ах", У"). [Г96 594 пиостилнство Гилььвгтл а спектральная функция 5(' оператора А"', выражаемая формулои 5г' = 5х — (я,, не имеет разрывов непрерывносчи. Если А - — пеограниченнып оператор, то один из операторов А' или А" можег быть и ограниченным. Так, например, если все точки разрыва непрерывности $„ находятся на конечном промежутке, то А' — ограцичепныи оператор.
Положим, что А имеег чисто непрерывныи спек|р, и ооозначим, как и в [!47], через С замкнутую линеппую оболочку элементов $,х. Говорят, что А имеет простоИ непрерывный спектр, если существует такой элемент х, что С„ совпадает с Н. При этом будут иметь место формулы (254) и (256) из [147] с интегралами Хеллингера по бесконечному промежутку. Эти интегралы являю~си пределами соответствующих сумм при разбиении бесконечного промежутка на конечное число частичных промежутков.
Если у~ Р (А), то будут иметь место и (259) и (261) из [147]. Соответствующие интегралы мы можем рассматривать как несобственные с бесконечным промежутком интегрирования. Пользуясь неравенством [147] ]ЬЬ())]'=бр(ь) 5[]йгу]', мы можем показать, как и в [192], по отношению к суммам (55), что бесконечные суммы попарно ортогональных элементов, соответствующие интегралу (261) из [147], дают сходящийся ряд в силу того, что у Е Р(А). В общем случае непрерывного спектра из доказательства теоремы 2 из [147] следует, что С приводит )И„при любом ь, а потому оно приводит и А. Оператор, индуцированный в С„оператором А, имеет простой непрерывный спектр, и мы можем так же, кзк и в [147]„ разбить оператор с чисто непрерывным спектром на операторы с простым непрерывным спектром во взаимно ортогональных подпространствах, ортогональная сумма которых дает все Н, Во всех формулах вместо одного интеграла Хеллингера мы будем иметь сумму таких интегралов.
Совершенно так же, как и в [152], устанавливается связь между С и Цп. Пусть А — самосопряженнып оператор и У в унитарный. Оператор А' = УАУ ' определен на линеале Р (А'), который получается применением У к линеалу Р (А). Покажем, что А' — самосопряжен- ныИ оператор. Деиствительно, пусть (УАУ 'х, у)=(х, уь) для всех х из Р(А').
Надо показать, что уЕР(А') и что у"= = УАУ 'у. Предыдущее равенство можно переписать в виде (Ах', У 'у) = (Ух', у"), где х'= У 'х есть любой элемент из Р(А), или в виде (Ах', У 'у)=(х', У 'ув), откуда, ввиду самосопряжепности А, следует, что У 'у ~ Р(А) и У 'у*=АУ 'у, т. е.
ус Р(А') и уз = УАУ 'у, что и требовалось доказать. Пусть 5„— спектральная функция оператора А. При этом $[= = Уу„У ' обладаеч всеми свойствами разложения единицы, и ]]йхх[]= 595 197] Фкнкнии самосопгяжвн!юго опзяатога =!]5!У !х][ Если х Е О(А'), то У 'х С с)(А), и, следовательно, сходится ряд -ьсо ~ Лчд,~б'„х]", и сумма ч са ~; Льб,бтх имеет, как и в [192], предел А'х= УАУ 'х, откуда видно, что 5[= У5тУ ' есть спектральная функция А'. Остается в силе и признак унитарной эквивалентности операторов, указанный [153].
Сохраняется без изменения понятие дифференциального решения и полной системы дифференциальных решений. Всякое непрерывное (в смысле пространства Н) дифференциальное решение х(Л) имеет вид 5тх, где х Р 0(А); при этом считаешься, что х(Л) — э0 при Л-ь -- со. 197. Функции самосопряженного оператора. Если 5! — спектральная функция самосопряженного оператора А и 7(Л) — ограниченная функция в промежутке — со ( Л (+ со, измеримая по отношению ко всем неубывающим функциям [5„з!", то совершенно так же, как и в [!56], формула +со (ДА)х, у)= ~Я)!((В„х,у) (хЕН; уЕН) определяет ограниченный, заданный во всем Н оператор У(А), обладающей всеми указанными в [155] свойствами.
Отметим, что значения /(Л) на множестве меры нуль по отношению ко всем ])5тз!]! не влияют на интеграл (85) и тем самым на У(А). Обобщим теперь понятие функции оператора У(А) на вещественные функции у(Л) с конечными значениями и измеримые по-прежнему по отношению ко всем ,'(фткр,!', но неограниченные. Обозначим через ум(Л) урезанную функцию, т.
е. функцию, определенную равенствами ]и (Л)=у(Л), если / У(Л) !(М, У!ч(Л) =М, если У!ч(Л)) М, и Ум(Л) = = — М, если ДЛ)( — М. 1(ля ограниченной функции ух(Л) мы можем обРазовать огРаниченный опеРатоР Ух(А). ПРи этом, в силУ формулы (302) нз [156], при у=х и 7!(А)=уя(А), мы имеем ]!7ч(А)х — Уи(А)х'!Я= ~ ] Уч(Л) — Ум(Л)]!!К/6~х</'.
(86) Если /(Л) принадлежит Ц по отношению !]ветх]Я, то, в силу [7х(Л) ] ( / у(Л) ! и тл(Л) — у(Л) почти везде по отгюшению ]~$ах]]э, [197 596 пвостглнство гильавятл правая часть стремится к нулю при )Лг и М вЂ - + со, т. е. последовательность уь (А)х сходится в себе, и имеется предельный элемент, который мы обозначим через у(А)х, т.
е. гч(А)х=)~(А)х при гУ вЂ” +сю, если 1 У (Л)Ы)5„х)'(+ (87) Множество элементов х, удовлетворяющих этому условию, естественно обозначить через Р [у'(А)). Укажем относящиеся сюда результаты, не приводя их доказательств. Линеал Р [7'(А)) повсюду плотен в Н, у(А) есть самосопряженный оператор, и имеет место формула (~(А) х,у) = ~ У(Л) б(5,х,у) (х Е Р [7 (А)), у Е Н).
(88) Для комплексных функций 7(Л)=у,(Л)+гя(Л)1 мы принимаем 7" (А) = 7; (А) + ух (А) г, и линеал Р [7'(А)) по-прежнему определяется условием (87) с заменой г"'(Л) на ) г"(Л))'. Так же, как н в [156), имеет место следующее утверждение: для того чтобы оператор был функцией самосопряженного оператора А, необходимо и достаточно, чтобы он был замкнут и коммутировал с любым ограниченным оператором, коммутирующим с А. Перейдем к вопросу о коммутировании общих сзмосопряженоых операторов.
Вспоминая теорему из [156), мы естественно приходим к следующему определению: говорят, что два самосопряженных оператора А и В коммутируют, если их спектральные функции 5„и Е„(ограниченные операторы) ком мутируют при любых Л и 1х. В силу упомянутой теоремы это определение равносильно обычному, если А и  — ограниченные операторы. Если А — неограниченный и  — ограниченный операторы, то мы имели определение коммутирования в [191). Нетрудно видеть, что и оно совпадаег с только что данным, если А и  — самосопряженные операторы.
Действительно, в силу теоремы из [191), коммутировзние в прежнем смысле равносильно тому, что В коммутирует с 5„ при любом Л, а этот факт равносилен тому [143], что Уя при любом 9 коммутирует со всеми )Лы т. е. мы приходим к новому определению комму|нрования. Исходя из нового определения коммутирования самосопряженных операторов, можно показать, что вещественные функции одного и того же самосопряженного оператора А коммутируют и что если самосопряжепные операторы Ан Аь , попарно комчутируют, то все они являются функциями одного и того же оператора А (ср.
[156)). 597 197! эвикции слмосопгяжвнного опвглтогл Рассмотрич понятие суммы и произведения для неограниченных операторов. Оператор (А+ В) х = Ах+ Вх определен для элементов х, одновременно принадлежащих 0(А) и 0(В). Оператор (АВ)х= = А(Вх) определен для таких х, что х ~ 0(В) и Вх ~ 0(А). Если а — любое комплексное число, то оператор (аА) х = а (Ах) определен на 0(А). Пусть А и  — самосопряженные коммугируюшие операторы, причем  — ограниченный, определенный на всем Н оператор. При этом оператор АВх определен на линеале 7' таких х, что Вх ~ 0 (А). Согласно определению коммутирования, если х ~= 0(А), то и Вх ~ 0(А), т. е. 0(А) входит в Е', но линеал Г может быть и шире 0(А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
