1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Покажем, что А — самосопряженный на Г оператор. Пусть (АВх,у)=(х,у") при х С г' и тем более при х ~ 0(А). Нам надо показать, что у~Г и что у" =АВу. Счи~ая, что х С 0(А), можем заменить указанное равенство таким: (ВАх,у)=(х,уя) при х~ 0(А), или, в силу того, что  — ограниченный самосопряженный оператор: (Ах, Ву) = (х,уэ) при х~ 0 (А); отсюда, в силу самосопряженности А, следует, что Ву~0(А) и у'=АВу, что и требовалось доказать. Отметим, что если А и  — неограниченные коммутирующие самосопряженные операторы, то оператор АВ может оказаться несамосопряженным, но сопряженный с ним оператор (АВ)" всегда самосопряженный.
Применим определение суммы и произведения к степеням оператора А. Линеал 0(АЯ) состоит из таких х, что х~ 0(А) и Ах~ 0(А), т. е. 0(А') входит в 0(А) и может быть уже 0(А). Точно так же 0(АЯ) состоит из таких х, что х~-0(АЯ) и Аэх~0(А) и, следовательно, 0 (Аа) входит в 0 (А'). Полипом вида а,А + а,АЯ+ +...+а„А" определен, очевидно, на линеале 0(А"). Можно показать, что этот полипом совпадает с определенной выше функцией оператора А, если принять у(Л)=а,+а,Л+...+а„Л", и что л|ножество элементов, на которых определены все полиномы, есть линеал, плотный в Н. Если самосопряженпый оператор А — положителен, т.
е. нижняя граница спектра лгл -- О, то можно, как и в [143), образовать поло! жительный самосопряженный оператор А ', квадрат которого равен А +со АЯ = ~)'Л (фт . Нетрудно видеть, что существует только один положительный сачосопряженный оператор В, квадрат которого равен А. Лействигельно, пусть 5 — разложение единицы для В. Мы должны иметь ч сО Ч сч В= ~ йагб,', и А=В"= ~ РЧВ,', а в [198 598 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБВРТА -мз А=В'= ~ЫВрП.
о Семейство операторов ртгт, зависящее от параметра ), представляет собой разложение единицы, и, в силу единственности спектральной функции рьгт =рюоткуда и следует, что оператор Вдолжен сонпа- 1 дать с Аг ' 188. Малые возмущения спектра. Исследуем изменение спектра сзмосопряженного оператора при добавлении к нему другого самосопряженного оператора. Отметим прежде всего,что для неограниченных самосопряженных операторов справедлива теорема ! из [!57). Докажем еще две теоремы. Пусть Š— некоторое подпространство. Его размерностью г называется число элементов полной в Е ортонормированной системы элементов. Это число г может быть как конечным, так н бесконечным. Легко показать, что оно не зависит от выбора полной ортонормированной в Е системы, Лемма Е Пусть Е, и Уп — дво подпространство размерности г, и г,. Если г, (гь то в Е, существует элелеент, отличный отп нулевого, ортогональный ко всем элементам Еь Отметим, что, в силу сепарабельности Н, число г, — конечно, а г, может быть как конечным, так и бесконечным.
Доказываем лемму от обратного. Предположим, что в Еь нет элемента, отличного от нулевого, ортогонального к Ен Пусть х„ х„..., х,, — полная ортонормированная в Е~ система (базкс в Е,) и Р— проектор в подпространство Ум Для любого элемента о С Е, имеем (о, Рхь) =(Ро, хл) = (о, хь). Элементы Рх„ из Ее определяют некоторое подпространство Е, размерности г, г, (знак .с, если Рхь линейно зависимы). Покажем, что Е, должно совпадать с Ем Действительно, если бы это было не та ц то существовал бы элемент у с Ем отличный от нулевого, ортогональный Ем н мы имели бы ( у, Рх,) = 0 и тем самым, в силу последней формулы, (у, хь) = 0 (й = 1, 2,..., г,), т.
е. у ортогонально Еь Но, по предположению, такого элемента у нет. Мы доказали, что Е, совпадает с Е„ т. е. г, = г,. Но, как мы видели, г, ~ гь а потому г, ( гь что противоречит условию леммы. Лемма 2. Пусть А — симосопряженный оператор (неогрониченный или ограниченный!,  — ограниченный самосопряженный оператор, 8т— спектральная функция А и $' — спектрольнин функция сулсмы А' = А+ В, Путпь далее А — некоторый конечный промежултк [а, Ь) и йпп — промежуспок (о — [В!! — а, Ь+ (В!)+ е), где е — какое-нибудь положительное число. При этом размерность надпространство Е, =(йп, 8~) х(х( Н) не лсеньше розлгерности надпространства Е, =(ййь)х (х( Н). Отметим прежде всего, что мы пользуемсн обозначением из (И!) (наприл~ср, Зйт — — йь — 3„).
Доказываел~ лелвму от обратного. Предположилц что разлверность Е, меньше размерности Ем В силу леммы 1 существует элемент у-', Ет, отличный от нулевого и ортогональный Еь Мы можем считать, что ! у ,'= !. Принимая во внимание, что ус Ее и полагая дли краткости пнсьлва а+Ь ч = , , получим 2 ь /Ь вЂ” и!э ! Ау — пу )(е = ~ (Л вЂ” а)ед (й„у, у) ( ~ —, -'(2) а ! 99) 599 ОПРРлтоР умножвния )л у — ау) ) лу —.у, +1Вуэ ~ + ~в1. (89) С другой стороны, принимая во внимание, что у 1 ьь ииеем + СО а — ~,'Л',1 — ь Ч. со )л'у — иу(а ~ (л — а) д(йху У)= ~ + — Оэ — о» а+ьвй+ь откуда, учитывая опять ортогональность у к ьь получим 1А'у —.у)~( 2 +)В)+.) ) д(9',у,у), т. е.
й — а )л'у — ау)т в 2 + 1В)+ ' (90) Противоречивость неравенств (89) и (90) доказывает лемму. Теорема Е Пусть внутри промежутка й спектр оператора А состоит из конечного числа собстлвенных значений, султма краткоюпей которых равна й, где й — конечное число, и путпь расстояние остальной час~пи спектра А до й больше 2) В /,. 1)ри этом алекандр А' в промежутке йла — — (а — )В,'~, а+(В)) состошп из собственных значений, сулгма кратностей которых равна й.
Согласно лемме 2, при любом а ~ 0 размерность )ч ) й. Если имеет место знак ), то, позьзунсь опять леммой 2 и равенством А = А' — В, мы можем утверждать, что надпространство й з, 5„х (х ( тт) имеет размерность ~ й. Но в силу условий теоремы, это не может иметь место при всех а, достаточно близких к нулю, т. е. прй таких а размерность Е, равна й, откуда и следует теорема. 3 а м е ч а н и е, Применяя теорему при й = 1, мы получаем возможность при малых возмущениях следить за изменением изолированного простого собственного значения. Теорема 2.
Если внутри й имеется хо~ля бы одна точка сгущения спектра оператора А, то а промежутке йв о имеется хотпя бы одна лючка сгущения спектра оператора А'. В этом случае й =сщ и теорема следует из леммы 2. 3 а м е ч а и и е. Если Х, — точка сгущения спектра А, то в промежутке (Х, — (Вй, 'ьь+ (В() имеется по крайней л1ере одна точка сгущения спектра А'. 199.
Оператор умножения. Рассмотрим пространство Еэ на промежутке ( — со, +со) и оператор умножения на независимую переменную Ау (х) = ху'(х). (91) Линеал сэ(А) состоит из функций у(х) из Еэ таких, что и ху(х) с Е„и, в частности, к ьз(А) принадлежат все функции, отличные от нуля только на конечных промежутках, откуда следует, что линеал 0 (А) повсюду плотен в гт'. Покажем, что оператор А [199 ООО ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬВВРТА самосопряженный. Нам надо показать, что если дано (Ах, у) = — (х, у' при х Е 0 (А), то у Е г)(А) и у' = Ау. В настоящем случае дано +со +о» х)'(х) ср (х) с(х = ~ /(х) со а (х) с(х (92) У (х) [ся а (х) — хсса (х)] сГх = О. — а Ввиду произволы<ости г(х), отсюда непосредственно следует [52], ЧтО Оо (Х) — Хса (Х) ЭКВИВаЛЕНта НУЛЮ На ПРОМЕжУтКЕ ( — а, + а), а ввиду произвольности а и на всем промежутке ( — сю, + со), т.
е. можно считать сяа(х) — хр(х)=0. Но саа(х) Е Лм а потому и хсо(х) с Г.я и саа(х)=хся(х), что и требовалось доказать. Спектральная функция оператора (192) определяется, как и в [152], и выражается формулой ( у(х) при х(1, фг г'(х) = О при х)Л, (9З) и оператор имеет чисто непрерывный спектр, расположенный на промежутке — оо ( А (+ со. Оператор (9!) есть, очевидно, неограниченный оператор. Отметим еше, что всякая функция Дх) из В(А) суммируема на промежутке ( — со, + со).
Г(ействительссо, полагая ху(х) = ас (х), где 1 1 м (х)~Г.м можем написать г'(х)= — са(х); так как — и ш(х) прих х нздлежат Е, на любом промежутке ( — со, — а) и (а, со), где а) О, то отсюдз и следует суммируемость Г'(х) на промежутке ( — со, + со). Совершенно так же, как и в [152], можно рассматривать оператор умножения на функцию, которую мы будем считать вещественной и измеримой: А' ~" (х) = а (х) У(х), (94) причем в случае неограниченности ос(х) мы получим неограничешсый оператор. Положим для определенности, что са(х) ограничена на всем промежутке ( — оо, + со), при исключении сколь угодно малых окресспюстей конечного числа точек.
11ри эгом, беря любой замкнутый промежуток, не содержащий упомянутых точек, и рассуждая, как и выше. мы убедимся в том, что (94) есть самосопря- для всех г(х) из г)(А) и некоторых са(х) и йа(х) из Г„и надо доказать, что 1о(х) Е Г)(А) и саа(х) =хса(х). Применим (92) к у(х) из Ем отличссой от нуля лишь на некотороч конечном промежутке ( — а, +а), причем заметим, что такая функция принадлежит 0(А)с 601 199) опгялтог кьшожяпня женный оператор для таких г(х) Е Вм что и м(х)у(х) Е Е, Его спектральная функция, как и в [152[, выражается форчулой Вт у (х) = У(х) при м (х) ( Л, 0 при м(х) < Л.
Если, например, м(х) Е Лц то линеал 0(А) содержит все ограниченные функции из Еа н А' есть также самосопряженный оператор. Отметим, что оператор А' можно рассматривать как функцию м(А) оператора А умножения на независимую переменную для класса функций м(х), указанных в [197[. Обозначим через В самосопряженный оператор: ВФ (х) = Š— = Еф (х), .
ЕФ(х) (96) определенный в Ет'= Е, ( — со, + со) на множестве 0 (В) функций Ф (х), абсолютно непрерывных на любом конечном промежутке и имеющих производную из Е.,( — со, + со) [188[. Пользуясь преобразованием Фурье, сопоставим линеалы й (А) и 0 (В). Обозначая ч- м +м (х)= — ~ Ф (Е) егыгЕЕ и фм(х)= — ~ Еф(Е) е'мгЕЕ, (97) ! Г 1 ) "2я и' 2я где Ф(Е) — любая функция из Е)(В), и, интегрируя по частям, получим х Чгл, (х) фм (х) [Ф (Лг) еым Ф ( Етг) е- ым) (98) 1 )'21ч' причем правая часть при дг-ь со стремится к нулю равномерно по х во всем бесконечном промежутке [188). Функции фм(х) и Чгм(х) стремятся в среднем в бесконечном промежутке к некоторым функциям ф(х) и Ч"(х) из Е., [178[.
Тем более это будет иметь место во всяком конечном промежутке [ — а, + а[ и, кроме того, в таком промежутке х Чгм (х) будет стремиться в среднем к х Чг(х). Из формулы (98) следует, что при любом заданном положительном а и достаточно больших л( выполняется неравенство +а [ хЧг ч (х) — фи (х) [' г(х ( в, — а или, принимая во вннмзние возможность переходз к пределу под знаком нормы, +ч [х Чг (х) — ф(х) ['г(х (а, О (199 602 пвоствлнство Гилъзевтл откуда, ввиду произвольности а и а, следует ]х се (х) — с)(х) !сс2х=О, т. е. хс1 (х)=ф(х), или + оо + со х = ~ Ф «) е!" с!! = = ~ !со «) еьм с11, )'2ч, ~'2о, (99) что может быть записано в виде Т с (Ф) = — Та (!ср) = Т, 1 (100) со Ф(х)=Т(!)= = 1 У«) е '"'Ы, ] )с2«! !с!с(х)=Т(ху)== Р! (!"«)е '"'~(!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
