1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 120
Текст из файла (страница 120)
У нее все слагаемые при 5 «/+ ! и л ( — / равны нулю, а у остальных слагаемых, в силу (64), дьВхгу = (Вть — Вт, ~) (Втс — Вл,)» = (Вл, — Вть,) г = дьВлг. сумма (56) в силу (59) дает 3! = ~ )' ~(~ Вх»1 ю Х / Таким образом, в пределе ~А»,/,' и, в силу (67), Х >И),Вьг!'(," А"»~,'. т У Если не только х, но ну принадлежит 0(А), то, подставляя в (56), у вместо х и умножая слевз скалярно на х, получим + СО (х, Ау)= ~ ЛЫ(х, В„у). Сравнивая с (60) и принимая во внимание, что (х, Вьу)=(В,х, у), мы получим (Ах, у) =(х, Ау), т.
е. А есть симметричный оператор. Покажем теперь, что А — самосопряженный оператор. Лля этого достаточно показать, что если г Е 0 (А*), то г Е 0(А). Пусть 5 — некоторое разбиение промежутка ( — со, + со) и Р, — подпространство, определяемое проектором В„ — Вт ,. Если х Е Р;, то в суммах (55) и (56) все слагаелюые при л«7'+! и 7а( — / равны нулю, элемент х Е 0 (А) и при / + 1 )5 ) — 7' подп рос тра истаа, определяемые проекторами ЬьВм входяг в Р;, так чго сумма (55) и ее предел Ах принадлежат Р,. Отсюда следует, что Ах Е 0(А) и что А'х Е Р;. Положим, что» ~ 0(А*), и докажем, что» Р 0(А). Пусть гт — проекция г в РР так что»т Р 0(А), а потому г, Р 0(Ач), При этом элемент (г — »,) такнсе принадлежит 0(Ач) и ортогонален Р,.
По определению Ач мы имеем (А'гр г — г,)=(А»ч А" (г — г;)). Но А'»т Р Р; и» вЂ” г! ортогонален Р„и потому (Аг,, Ач (» — »,) ) = О. Принимая во внимание очевидное равенство 588 (192 ш остглпство гильзы юл ИА — ),Е) х, х) зь (тд — Л) (х, х) (х сг Р(А)), ю! (А — ),Е) х ' ~ х , '-- (тд — Л) / х юю' ,",(А — ),Е) х «(тд — ).)юю',х'1 огкуда Отщода следует, что вге значения Л, удовлегпворяютие условию Л ( тд сугпь регулярные юпочки А. Покажем, ч го ). = тд егюпь пгочка спскгпра А. Если бы это было пе гак, то суюпествовало бы такое гюсю)гпд, что все значения ) (т, с>юь регулярные точки А, и фс есзь оператор аииулпроваиия при г,~ть так что (Ах, х) = ~ Лй ®юх, х) (х Е Р (А)), Беспредельююо увелиюияая /, мы вилим, что иитеграл (57) имеет конечное значение при х = г, з.
е. з с Р (А), а потому А есть само- сопряженный оператор. Предыдущие рассуждения приводят кзс к следующей теореме: Теорема Е Баяно.ссу разложению единицы 8ю соогюсвепсспгвуеггс самоеопряженный оператор А, определенный для тех элементов х, для котоуьюх интеграл (57) ююмеет конечные значения. Сам оператор А определяепгся как предел сумлс (55), или, что то же, как интеграл (58). Соотвепгствующгсй е.иу билинейньюй Янкцююонал определяепсся фоулсулой (60). Можно доказаюь и обратную теорему.
Теорема 2. Для люоого заданного самосопряженного оператоуа суюцествуелс уазложение единсюцы (ьс такое, что А выражаетсп порлюулой (58). доказагельство эчои теоремы будет приведено потом. Ниже будет доказана формула, определяющая гчюю по А (ср. 144), и различиым Ь„соотююегствуют различные А. 'Оператор иазывается спекчральююои фуикииеи самосопря;кепиого оператора А. Совершещю так же, как и в 11441, доказывается, что регулярные точки спектра Л=)с характеризуются теи, что существуег некоторый промежуток постоЯпства Мю содеРжаюпия (с виУтРи себЯ.
ПРи этом надо имегь в видУ, чюо (б — о„)хЕ Р(А) при любом хЕ Н и любых коиечиых а и р. Собствеююиые значения Л = ч харакгеризуются тем, что ф„ имеет скачок при Л= ч, причем разиосгь (т — аь ь есть проектор в надпространство соответствующих собствеииых элемеигов (включая нулевоп элемент) (145). Пололсим, что самосопряжеииыи оператор А полуограиичеи, и пусть гпд — его точная нижнюю граница: тд = юп1(Ах,х) при х б Р(А) и ~~ х сю — — 1.
При любом вещественном >, имеем !93) пвпгвгышшп: во пкции слмосап> шквппого опв> лго> л 589 о>куда следует, по (Ах, х) -=.т,(х, л) при х С 0(А), а это противоречиг определеишо н>л. Значение Л=шл цазыяаегся также нижней гран>>пей слевпнра А. Оператор 9> иазь>яается спектраль поп функцией само- сопряженного оператора А. Мы переходим тег>ерь к краткому повторению сво>1сгв общих самосопряжеииых операторов, которые будуг совергпепио аи>логичпы своиствам ограшшеш>ых самосопряжеппых операторов.
193. Непрерывные функции самосопряжеииого оператора. Пусть 7'()) — ограниченная и равиомерпо непрерывная иа промежутке ( — со, + со) функция (например,г(Л) непрерывна и замкнутом промежутке ( — оо, †,'- со]). Составим сумму, аналогичиую (55), ~ 7(Л>,) >Лф„х, (68) где х — любой элемент Н. Нетрудно видеть, чго этот ряд, состоящий из попарно ортогопальпых элементов, сходится при любом х.
1(епствительио, по условию / у(Л)' ,=. и, где Уг — определенное число и .~-со 2 ->.со Ч ~о ~ 7(Л>,)>Л„ф,х ~ = ~ ~7'(Л~) ~2, 'Ьь9ьх эк-йэ ~ >Л>9~х~' —— йя,'х,", (69) и, таким образом, ряд, апалогичиып ряду (56), сходится. Совершенно гак >ке, как в (141), можно показзтгч что сумма (68), при всяком х из Н, имеет определеппып предел при ев — О. Этог предел дает дистрибу>ияиып оператор >(А), определеш>ып из всем Н. Из (69) иепосредствеппо следует,' У(А) х =- и,'х, т. е. опера>ор 7'(А) есть ограпичеппып оператор.
Ест«стиеппо записать предел суммы (68) в виде интеграла С>илтьесз 7'(А) х = ~ 7'(Л) г(ф>х (хЕ Н) (70) (7 (А) х, у) = ~ У(Л) й (8> х, у) (х~с Н;уЕ Н). (71) Иоследпиц интеграл можно >о >ковать кзк обычш>9 иптвгРал Стилтьеса, опр«д«л«ппып номи в )4(, 590 !194 пгостялнгтво Гильввета Совершенно аналогично формулам (62) и (66) имеем ° '.= А)""=5 (Л)'-" (79) (9 У'(А) х, у) =(~(А) ~ях, у) = ~ У(Л) Н(9~х, у) (73) (х Е Н; у Е Н).
(А — У Е) х = ~ (Л вЂ” 7) вг $,х; ((А — 7 Е) х, у) = ~ (Л вЂ” 7) г( (9~х, у) (74) (х Е Р (А); у Е Н). 194. Резольвента. Приведем выражение резольвенты через спектральную функцию. Если 7 невешественно, то 1: (Л вЂ” l) есть функция Л, непрерывная в замкнутом промежутке [ — со, + сю), и мы можем образовать ограниченный оператор 1 йх= ~ г(5ьх. 1 †! (75) )Локажем, что он обладает всеми свойствами резольвенты при чем и будет оправдано его обозначение через йе При любом х элемент (9 — 9„) йах Е Р (А), и, в силу (66„), мы имеем Э ((А — !Е) (5 — 5„) й,х,у) = ~ (Л вЂ” У)с((б,й,х,у). С другой стороны, в силу (73) и (75) л (Й ай,х, у) = ~ вг ($„х, у), 1 -о Мы могли бы применить данное выше определение 7"(А) и к случаю любой ограниченной и непрерывной на промежутке ( — оо, + со) функции, не требуя ее равномерной непрерывности.
В дальнейшем мы укажем возлюжность распространения понятия функции самосопряженного оператора на широкий класс функций 7'(Л). 1(ля оператора (А — (Е), где (†какое-либо число, мы имеем очевидные формулы 194) 691 Разольаантл Подставляя и предыдущую формулу и пользуясь свойством интеграла Стнлтьеса [9), получим ИА — ?Е) (5 — В„) й,х, у) = ~ ~Х (5„х, у) = (((д — 6„) х,у), откуда, ввиду произвольности у, (А — /Е) ф — $„) й,х=(6 — ф.) х.
(76) Построим две последовательности чисел а„и ра, причем а„— — со и р„ — + со и последовательность элементов у„ = ($ „ — Р.„) йгх. Мы имеем у„СР(А),у„=)йх, и, в силу (?6), (А — ?Е)у„=)х. Отсюда, в силу замкнутости А, следует, что й,хЕ 0(А) при любом х и (А — ЕЕ) й,х=х. Остается доказать, что й,(А — !Е)х=х при х ~— " 0(А). Эго непосредственно следует из формул (й, (А — 1Е) х, у) = ~ . с( (5, (А — 7 Е) х, у ) 1 (Рт(А — ?Е) х,у) = ~ (9 — Л) а'($ х,у), которые являются следствием формул (71) и (66,).
Остается в силе и формула, определяющая спектральную функцию через резольвенту ь — Ийт-ох у)+®л х, у))= 1пп ~ ((й,.„— й, и) х, у) ага. (77) т О Самосопряженному оператору соответствует определенная спектральная функция ф>, и оператор ограничен тогда и только тогда, когда у„ переменна только на конечном промежутке. Мы доказали 1191), что для того, чтобы везде заданный ограниченный оператор В коммутировал с самосопряженным оператором А, необходимо и достаточно выполнение условия (78) Вй,=й,В при любом ?, при котором существует резольвента.
Докажем теперь следующую теорему: Теорема. Для того чтобы В ко.и.яуяыгуовало с А, необходимо и достаточно, чтобы яуи всяко.а вещественном Л выяолнялогь условие ВЬл = блВ (79) 592 (195 ш осгч листво гильвяагз 7(осгагочпо дгказгггь чго услошш (78) и (79) равносильны. В силу (75) пмегог для лобых элсмеигов х и у: Э 1 (В)7гх, У) =(7гггх, В "У) = ~ гУЯгх,ВьУ), т. е. (ВК,,у)=~ „' ((Ваг,у), ~ -'г о~ гч,л;гг= ( —, ', ггал .ю ~ -~Ю (80) Если выполнено условие (79), то правые, а потому и левые части равенств (80) одинаковы. и, в силу произвольности х и у, выполнено условие (78). Наоборот, если выполнено условие (78), то, в силу едипсг.вециосси обращения интеграла Коши-Стилтьеса [29), (Вбгх, у) и (5гВх, у) могут отличаться лишь посгояииым слагаемым, а также в точках разрыва. Но обе указанные функции стремятся к нулю при Л вЂ” — со и непрерывны справа в точках разрыва, а потому для любых х и у мы имеем (Воргх,у)=((ггйх,у), т.
е. выло.чиеио условие (79), и теорема доказана. Отмегим, что, в силу результатов 1156], Рз коммутируег с А при всяком р.. Эго следует и из доказанной теоремы. Из этоя же теоремы и (70) следует, что у (А) к о м ч у г и р у е т с А. Н'= 7.г Ю Вг9 7.з(Э" (81) Подпростраиство Н' пргпюдпт А, и операгор А', иидуцироваииый А в Н', есть саьгосопрг~ кеипый оператор с шсго точечным спектром. 195. Собственные значения. Как мы уже упоминали, Л = Л' есть собственное значение А, тогда и только тогда, ко~да 9г имеет Л' точкой разрыва непрерывности, и при агом (бг — (бгг „есть проектор в подпросграисгпо соогиегсгвуюцих собсг|гепных элементов (включая пулевой элемент). Счигая, как всегда, Н сепарабельиыч, мы можем утверждать, иго шс.чо собснгепиых значения, если опи есть, конечно или счетно.
Ранг собственных зцачеюги определяется, как и раньше, и мозгпо счигагь, чго совокупность всех собственных элементов образуег оргоиормироваппую сисгему хьх,,.... Пусть Ла — точки разрьша ф„7а — подпросграисгва соответствующих собствеюгых элементов и Рг„=(бг — (бг — проекгоры в эги подггрострапства. Составим ортогональную сугшу 196[ 593 сл»'чап сккп!тнного спектРА Если уже в Н оператор имеег чисго точечныи спекгр, то Вл = ~, "(9», — Йл,-ч).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
