1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Оператор Аа вычпслястсн я Ът д'у (х) на 0(А») нак дифференциальный оператор — ' +р(х). дх„ а=! Покажем, что 0 (А) = (Т"~»(ггя). Во-первых, 0(А) с.—. )Т'з'()гя), ибо если ум(х) (0(А) и ум(х) =)у(х), А(»,„(х) =)Ар(х), то из (28) и (31) следует, что ~ ~~ / д (ут(х) — у„ (х))[з у д» (уч (х) — (»„ (х)) Д вЂ” .''+ дха [ ' ~ дх; дх„ г,а=1 [ — Д(у,(х) — ум(х)) (т, (х) — ум (х)) +[а(у,(х) — р„(х)) 1»] дх ( ~»![ (уг ум)![гз(й ) ' [[й '9»я~[ г (й )+1 (уг ум) [ аэ(й ) при 1 и ш — со.
Донажем обратное включение, т. е. что (Тг»»А(А»я)г: 0(А). Пусть у(х) с ( ТР"н[(Ья), С»Ронм последовательность фУнкции фм(х) = У» (т);м(т), я» !!88 574 пэостнанство гндьввнга ! где у~ (х) есть усреднение у(х) с рзднусоч --, а функции 1ч(г) — дважлы гя непрерывно дифференцируемые финитные функции, определенные при г ) О следующими свойствами: 1 при О =г(ий (,„(г)= О при г)в~-(-1, См ~(г — !) при гл(г(а+1, а с„(г) ! есть гладкая неотрицательная функция, равная нулю прн г ) 1. Каждая ф (х) ( г/ (А).
/(окажем, что,' (х) — у (х) нрп ш — со в норме В"!'(/тя). Разбивая в выражении нормы О)т',-' (/!я) интегрирование по /!/» на два: по части, где )х! ( /, и части, где !х/ ) /, получаелг (!т — ф '! кг3(да) = 1р ф я!! пг$ ( ! ! Ш т) + 'Т ф 1шт ( ! ! 'тв г). Пусть залано т ) О. Второе слагаемое может быть сделано ~ — для всех ю, если взять / достаточно большим. Это следует из,'чт э / ~+со из но- Щ гй„) строения функций г (.к) и свойств усреднении функции т(х) и сс о5общенных производных.
Зафиксируем / укаэанным о5разом. При ш ~ / имеем ф„,(.т) = уж (х) при )х, '(/ и у в (х) — у (х) в норме )у/1( )х1, ~/). Отсюда следует, что при всех достаточно больших тп имеет место неравенство )!Э вЂ” фм' Ш1 ! !Ы ем! ~ 2 И „'т — фт! Ш (и ) ~ . Из сказанно~о вытекает включение %)(/ся) ~ у/(Л), и тем самым можно считать доказаннылк что //(А) = %', (/тя). Покажем, что А = Л ", т.е., что А — самосопряженный оператор. Для этого достаточгю проверить, что область значений оператора А есть все /.т(//я).
Будем для простоты считать л = 3. Возымел! любую финитную непрерывно дифференцируемую функцию р(х) с /т(//я). Функция 1 'е ' е у(у) Ля,~ !х — у' йа как известно(!т/! 231), дважды непрерывно ди Рферснцируема, удовлетворяет уравнению — ди + и = р и экспоненциально убывает при !х', — со вместе со своими производными, так что завеломо и (х) с )Уг!(г/я). Слеловательно, (и (.т) с /)(А)) Аи = у и область значений //(Л) оператора Л плотна в Н. Покажем, что на //(Д) существует ограниченный обратный А '.
Из этого уже будет слеловать, что // (А) есть подпространство и поголгу ь~(А) = Н. Итак, пусть о (х) с /у(А) и — д и (х) +о (л) = ф (х). Умножив это равенство на о(х) и проинтегрируем по //», после чего преобразуем его с помощью интегрирования по частям: л ~ ф (х) о(х) т/х = ~ ~ !) + )и (х),т ~с(х. /тя Ял Отсюда, в силу неравенства Коши, имеем (о))/м(й,)( еда(й„) ='Рйо'е,( 0„), т.
е. действительно А ' существует на //(А) и )А-'!)( !. 1891 спГКТР слмосопгяжшпюго опггатогз Этим закапчсшвстся доказательство того, что А = А , или, что то жс, того, что замыкание оператора А приводит к его (елиисгвенному) самосонряжеиному расширению, причем сс(А) = Щ (Сс„). Это же имеет место и для — а = =А — гп с.
е. оператор — а саьсососсряжесс на И'1(ссг„). Однако, в отличие ог — а + Е, оператор — З не имеет ограниченного обратного (иетрулио показапэ что обрапсыа лля — Д существует, но не ограничен). 189. Спектр самосопряженного оператора. Как и я [128[, доказыяается, что собственные значения самосопряженного операгора зещестяенпы, а собстиеэные элементы, соотяетстиующие различным собстяенным значениям, ортогональпы, и самосопряженссыи оператор порождает ортопормироиапную систему собственных элеместоя.
Отметим, что, я силу замкнутости самосопряжешюго оператора, собственные элементы, соотзетстяующие фиксированному собственному значению (ш<лючая нулеиои элемент), образуют подпространстзо. Определения регулярноп точки оператора и точки спектра те же, что и в [129). Докажем теперь для самосопряженного оператора теоремы, анзлогичные теоремам из [129[, Теорема 1. Если Л вЂ” не собственное значение са.иосопряженного оператора А, то линеал )т'(А — ЛЕ) плотен я Н. Если Л вЂ” зещестяее|ое число, то А — ЛŠ— самосопряженньси оператор, и утверждение теоремы есть следствие теоремы ! из [187[. Пусть Л вЂ” невещественное число. Если бы мы имели сс(А †'ЛЕ)~- Н, то существовал бы ненулевой элемент «, оргогональнып к сс(А — ЛЕ), т.
е. ((А — ЛЕ) х,«) = 0 или ((А — ЛЕ) х,«) =(х,О). Отсюда следует, что «8 В(А) и (А — ЛЕ)в«=(А — ЛЕ)«=0, т. е. Аг=.Л«, что нелепо, ибо А может иметь только вещественные собственные значения. Теорема 2. Для того чтобы Л была регулярной точкой спектра самосопряженного оператора А необходимо и достаточно существование такого положительного чсссла р, что ~!!(А — ЛЕ) х;,;) р)!х) (х Е 0(А)). (39) Невещественные значения Л суть регулярные точки самосопряженного оператора. Доказательстяо то же, что и я [129], с топ лишь разницей, по иместо непрерывности А надо воспользоваться его замкнутостью.
Как и я [129[, получаем из доказанного следующее следствие: точки спекпсра образуют за.икнутое множество. Дальше мы увидим, что всякий самосопряженныд оператор имеет по крайней мере одну точку спектра. Невещественные значения Л суть регулярные точки самосопряженпого оператора А,поэтому дальше будем говорить лишь о зещественных Л.
В этом случае оператор (А — ЛЕ) — самосопряженнып, [189 570 г Росгеьнство Гильгш*тъ Пусть ). — пе есмь собсч венное значение. Если,К(А — ЛЕ) = Н, то замкнутый оператор (А — ЛЕ) ', определенный на всем Н, ограничен, т. е.
), — регулярная точка. Наоборот, если й (А — ЛЕ) не есть Н, то из теоремы 3 [187[ следует, что (А — ЛЕ) ' есть неограниченный на )с(А — ).Е) оперз~ор. Мы прихолим к слелуюшей теореме: Теорема 3. Пусгпь весйественное Л вЂ” не есть собственное значение. Если Я(А — ЛЕ)= Н, гпо Л вЂ” регуля) нап глотка, и если лннеал й(А — ЛЕ) не все Н (этот лпнеал плогнен в Н), то Л вЂ” точка си е гсгпр а. Рассмогрим теперь тог случай, когда Л есть собсгвениое значение, и обозначим Р, — подпространсгво соответствующих собственных эльмьнчов (включая нулевой элемент). Имеется единственный оператор, для которого Р., =Н, это — оператор умножегшя на число Л: Ах=)х при всех х с Н.
В остальных случаях подпространство Р, — правильная часть Н. Покажем теперь, что Р, есть множество элементов х, ортогональных линеалу (А — ЛЕ) г (» с 0 (А)). Лейсгви|ельно, из ((А — ЛЕ) «,х)= О следует, в силу самосопряженности (А — ЛЕ), что х с 0 (А) и (А — ЛЕ)х = О, и, наоборот, если х с 0(А) и (А — ЛЕ) х=О, то ((А — )Е)гх) =О. Отсюда слелует, что надпространство Ом дополнительное к Рм Н= РьЯ О„ есть замыкание линеала элементов у, определяемых формулой: у=(А — ),Е)«(«с 0(А)), т.
е. О> —— )с (А — ),Е). Представим элемент» из 0(А) в виде г = г, + %, гле г, ( Рь и «, с Ом Из опрелеления Р, слелует, что г, Е 0(А) и А,=Л»ь а потому и ге= г — г, С 0(А), т. е. проекния линеала 0 (А) на (;)„ есть линеал из 0 (А). Обозначим его через 0,(А). Это есть, очевидно, линеал тех элементов Ом которые принадлежат 0 (А). Иа этом линеале определен оператор А, и негрулно видеть, что если у с 0ь(А), го Ау ,†' Он 1(ействительно, по условию (у,х) = О, если х - 0 (А) и уловлетворяет уравнению Ах = Лх и потому (Ау,х) = (у,Ах) = (у,).х) = О. В силу сказанного выше мы можем рассматривать оператор А как оператор в полпространстве Оь, которое мы можем считать новым пространством Н.
Обозначим этог оператор через Аи так чго Ат определен на 0,(А) и А,у= = Ау, если ус 0; (А). Вместо 0,(А) мы можем писать 0(А,), следуя обычному обозначению. Из олнзй обпгей теоремы, которую мы докажем и [191), следует, но 0(А,) плотно в О н что А, есть самосопряз<енный в О„ оператор, Значение )ч по самому построению Ом не може~ быть собственныи значением А;, но может быть как регулярной точкой А, тзк и гочкой спскгра э~ого оператора. В первом случае (А, — ЛЕ)г )80) 077 сиги~в с~чосошчокаииого ог1вет голл (»Е Н(Л;)) преобразует Н(Л,) и пэчиое просграисгво 9а, а во втором — и лииеал илоппси! и О,.
Вместо (Аг — )Е)» мы можем писать (А — лЕ)», Для всех» из Рг чы имеем (А — ).Е).=0, Сказагшое выше приводит к следую пей классиф пгапии значений ),. !. Регулярные значения )., для которых характерным является гот факг, что )с(Л вЂ” )Е)=Н, и существует ограниченны! обратный оператор (А — -).Е) '. (!. Значения ),,тля которых Я(А — йЕ) есть лииеал, отличный от Н, и )(г(А — )Е)=Н. Иа )7(Л вЂ” )Е) супгесгвует обратный иеограпичеииьи! оператор (А — ).Е)' '. Огбычно говорят, чго такие значения ), принадле кат иепрерывпочу сом< тру.
((!. Значения )., когорые явля:отса собсгнешищи зизчсииями Л, и для которых А~ имеет й го ягой регучарпосги. Для таких значений )с(А — ).Г) есть подпространство, ие совпадающее с Н. Про такие значения ), обычно говорят, что оии принадлежат только точечному спектру. (Ч. Значения ),, которые являются собствеииыми значениями А и для которых Ах имеет 1 то~кой спектра. Для таких значений К (А— — ) Е) ие есть подпрострзпство, а есть липеал, замыкание которого )7(А — ).Е) есть подпрос~ранство, не совпадающее с Н. Про т~кие значения л говорят, чзо оии одновременно прииадлел<аг точечному и непрерывному спектру. В спектре сзмосопря.кеииого оператора А могут и отсутствовать некоторые типы значений )..
Ио для ограии~еишях самосопряжеииых операторов мы доказали, что сиекгр будет содержзть по крайней мере одну ~очку. Нетрудио видеть, что то же имеег место и для неограниченного самосопряжщшого оператора А. Действительно, положим, что при всяком вещественном ), оператор (А — )Е) имеет ограиичениый обратный. Мьг иагеем очевидное равенство л (А — ЛЕ) А ' = — „— Л ' (), ~ О), причем обе части предсгавляют собой самосопряжешияй ограниченный оператор. Из указанного предполозгеипя и иаписашюго равенства следует, ч1о )т(й — Л ') ирп лобом вещественном !х есть все Н, а это противоречит тому, что ограиичеипый оператор Л ' имеет то иги спектра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
