1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Далыпе будет показано, что у иеограниченпого самосопряжеиного оператора имеется бесчислеииое мио;кество точек спек гра, расположенных вие л.обого фиксировакичго промежутка оси ).. Если ). не собсгвепиое значение Л, то оператор Йг = (Л вЂ” лЕ) ', (40) как мы знаем, иззьиюегся резольвенгой опеоатора А.
Ои определен иа й (Л -- )Е) и преобразует э~о~ лииеал биоднозпачпо в О (А) 578 [190 ПРОСТРАНСТВО ГНЛЬБВРТА Из определения обратного оператора следует, что если хЕ Р(А) и й,х=О, го х=О (ср. [144[). Как и для ограниченных операторов имеет место формула й~=утт (41) Если Л вЂ” вещественное число, то она следует из самосопряженности )тж При комплексном Л она вытекает из формул (А — ЛЕ)а = = А — ),Е и [(А — ЛЕ) '[" = [(А — ЛЕ)*[ '. Если Л и 9 — регулярные значения, то совершенно так же, как и для ограниченных операторов, доказывается формула [144]: )7Р— )эт = (1 А) )т'„)А'л. (42) 190. Случай точечного спектра. Говорят, что самосопряженныи оператор А имев~ точечный слеклгу, если ортонормированная система его собственных элементов полна в Л. Пусть ха(й = 1, 2,...) — эта система, каким-либо образом пронумерованная, и ЛА — соответствующие собственные значения: Аха = Л„хы По условию любой элемент х Е Н представим своим рядом Фурье (43) х =~ аахм а-1 Теорема Е Для того чтобы х прггнадлежал Р(А), необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд ~ ЛЛ [ аз [Я, а=~ (44) и еслсс это условие выполнено, то (4б) Ах = ~ Лааахь.
а=! Если х Е Р (А), то коэффипиент Фурье элементз Ах есть (Ах, х„) = =(х, Аха) =(х, Аах„) = Л„аа, откуда вытекае~ сходимость ряда (44). Положим, наоборот, что ряд (44) сходится, и докажем, что х Е Р(А). Из сходимости ряда (44) следует, что мы можем построить элемент х'= ~Лапах„, (46) а!' и, обозначая через у„ отрезок рядз (43), имеем у„ Е Р (А), у„ =эх и Ау„ =эх', откуда, в силу замкнутости оператора А, следует, что х Е Р (А) и Ах = х'. Теорема доказана. Мы видели раньше, чго вполне непрерывныИ самосопряженныИ оператор имеет чисто точечный спектр, причем при любой иумерапии собственных значений ЛА — О при й — со. Укажем, е~пе на один важ- ныИ случаИ самосопряженного оператора, имеющего точечный спектр. 190) 579 случай тОчечнОГО спвктв» Пусчь А — самосопря кепиый опгратор, име!ощип впалое пепрерь!ииый обратны',! А '. Из определеиия обрат!ого опграгорз следует, что уравиеииг А 'х= О пе имеет репггпий, крочг тривиального х= О. Бполие непрерывный самосопряжеииый опгратор А ' имеет точечиыИ спектр, и его собствениые зпачещщ 1ь»(й = 1, 2,...) можно пронумеровать в порядке ие возрастающего абсолютного зиачеиия: [9, ['-"-( 1»») )..., причем, в силу сказаииого выше, 1ь».7'- О при всех значениях й.
Обозиачая через х» соответсгву,ощи собсп!сивые элементы, образующие оргоиормироваииую систему (полку:о в Н),можем написать А 'х»=1»»х», откуда пепосрелсгвеппо с.чедует, чго Ах, = 1 =),»х», где Л» —.—, Принимая во внимание сказанное в [186), мы и»' приходим к следующеи теореме. Теорема 2.
Если са иосопряженный оператор А имеет вполне непрерывный обратный Л ', п!о А и.иеет точечный спектр, все его собственные значения имею!и конечный ранг и во всяко.и конечном про,кежупьке имеегпся лить конечное число собствгнных значений А. Из сказапиого слгдует, что собствеппыг значения Л„такого оператора Л можно пронумеровать в порядке неубывающего абсолютного значения / Л,[ ( ~ Ль! ( ..., причем [ Л» ! — + со при й — со. У оператора с точечным спектром спектру могут прииадлежать ие только собственные зиачеиия.
Например, если Л есть точка сгущеиия Л», то оиа обязательно прииадлежит спектру, ибо регуляриыг точки образуют открытое множество. )(окажем, что осгальиые зиачеиия Л иг принадлежат спектру. Теорема 3. Если самосопряженный оператор А имеет точечный спектр, то всякое вещеспьвенное значение Л, оп!личное от собственных значений и не являющееся точкой сгущения этих значений, есгиь регулярная точка А. По условию су!цествует такое положительное число т, что 1Л» — Л[=-т при всех й.
Пусть хЕ Р(А). Из (43) и (45) следует 1[(А — ЛЕ) х[!' = ~ [ Л» — Л [а [ а» ! ч) ьп' ~ [ а„['= гп [1х[[», »=! »=! откуда и следует регулярность точки ). Иногда говоряг, что в рассматриваемом случае А имеет чисго точечный спекгр. Если самосопряжепиыи оператор А пе ииеег собственных зиачеиий, то ~озарят, что ои имеет чисто иепрерывиый спектр. В этом случае мы имеем предсгавлеиие любого элемеита х из Н уже ие в виде ряда Фурье (43), ио в ниде суммы иитегралов[ср. 149[. В дальнейшем покажем, что для всякого самосопряжгипого оператора можно отделить точечный спектр от чисто иепрерывиого спектра, аиалогичио тому, как мы в [189) отделили одно собствеииое значение от остальиой части спектра. 1(ля этого пам надо ввесги некоторые новые понятия.
Оии представляют и самостоятельпыи интерес в теории операторов. Г! 91 580 пгостР ъссстссо гил! г Г игл 191. Иивариантные надпространства и ириводимость оператора. Пре,кде чеч вводись и > югиг извзриз,сг,юго подиросгрзиства, выясним иоиягие комму.сирая>иия огра люсиного з сданного на нсем Н опергюорз В с оиерзгором А, заданным ие во всем Н. Определение. >"оворяис, сало ограниченный везде заданный оператор В ко.илсутирует с олераторо и А лри соблюдении слег)ующнх условий> 1) егсп х — 0(А), слг> и Вх - 0(А); 2) сгли х г 0(А), то ВАх=АВх. Если А — везде ззда~ссьсс) огргюи се нняй онерзгор, то первое условие отиадаег, и мы имеем ире;к,се оирзделешю комчугируюьмих операторов.
Теорема 1. Для того чтобы Л ссо.имул>ировал с салсосолряженны.сс оператора.и А, необходи.ио, чтобы он ко и.купировал с резольвенисой ?7> лри всяком регул>срно.сс значении Л сс достаточно члюбы он ссо.и.мутировал с 11, холсл бьс при одно и регуллрно и Л. Коьсьсутссроссассие В и Едс (при регулярном Л) есгь обыч~сое коммутировзиис, кагора мы определи;ю рмсынз (Лаях=)1хВх ири х Е Н). Пусть В коммугируег с А, ). --любо регулярное значение и у- — любой элемент Н.
При эточ Гаку и В?1ьу Е 0(А) и, кроме того, имеем (4?) АЛ?1>у = ЛАй„у. Но (А — -ЛЕ) й>у=у, откуда А)7ху=(ЛЙ„+ Е)у, и (47) переписывается в виде АВЕ?>у=ЛЛ?1,у-~с- Ву; т. е. (А — ЛЕ) ВЫу=Ву. (48) Применяя к обеим састям изсл д:сего р>ве ссгвз Яю получаем Вй,у= ?1>Ву, и необходимость доказана. Положим теперь, по сусиессяует такое регулярсюе значение )„ что В)хс„у=Р,,Лу.
Из иидт праной састлс следует, что обе части из 0(А] при любам у — Н. Если у врос>тзег все Н, то х=)1„у пробегает все 0(А), и из указмиюс о равеле сна, следует, чс о если хЕ 0(А), то и Лхй 0(А). Применяя к об им чассяч уиомянутого равенства оператор (А — ЛЕ), получим (48) и (47), а (47) можно перелсссать в виде АВх=ВАх при х Я 0(А), и достатонюсть сакл<е доказана.
Следствие. Егли В ссо.сс.ссунсссруеис с )7> лрсс како.сс-лт5о одно>с регулярном зла сенин Л, то он ко.и.иуисирует с 11> и лри всех регуллрных значениях Л. Переходим теперь к оиределеюио иссссариасссчсого надпространства. Определение. 1?одлространс>иво 1 называесигя инвариантным лодлространслсво.и для олерато?а А лри соблюдении следуютего условияс если х ", В(А) и х с Е., то и Ах Е Е..
Если Е иивариа:>гное для А поди;>осграисгво и Вс(А) есть лииеал элементов х, приьюдлежтшт од:соврече:исо 0(А) и 1., то А инду- пирует и 1 оиерзсор Аи котор ссс определен иа Вс(А) и равен А. Подпроссраиство 1. сюзию рассмзсривагь ссзк иросграиссво Гильберга 191) ишюеитн гг(ыг. полш остелнсгвл и ш нволнчость опвелтоел 58 ! (оно лю кет быть и коле нюмерным). Как мы и дальнещнем увидим, существенно, ч~обьг не только 1., но и дополнительное надпространство Нс>5 было инвариантшгм для А, и чтобы проекпня любого элемента х Е 0(А) на Г. также принадлежала 0(А).
Это нриводиг нас к следуюгнему определению. Определение. Говорят, чгпо надпространство Е приводит оператор А прп соблюдении следуюпргх условий: 1) 5 и М = Нг(. суть игнварпантные для А подпрослгрансгпва; 2) еслсс х Е 0 (А), то п проекция х в 5 принадлежггпг 0(А).
В дальнейшем через Рн будем обозначать проектор в надпространство К. Мы имеем х= Рсх+Рмх. (49) Если х Е 0(А), то из определения следует, что Рсх Е 0(А), и тем самым Рмх б 0(А), т. е. если 5 приводит А, то и М приводит А. Г!усть А, и А,— те операторы, которые операгор А индуцирует в Г. и М. Прн этом для любого х Е 0(А) имеем Ах = А, ( Рсх) + А, (Рмх), (50) и мы расчленили, таким образом, оператор А на операторы А, и Аг действующие в 5 и М. Теорема 2.
Для гпого чгпобы надпространство 1 прлводпло оператор А, необходнлго и доспгаточно, чгпобы Рс сс А но,нмутпровалп. Начнеьг с доказательства необходимости. Пусть 5 приводит А. При эгон из определения приноднмости следует, что если х Е 0(А), то и Рсх Е 0 (А). Остается доказать, что РсАх = АРсх при хЕ 0(А). Мы имеем формулу (50), причем А,(Рьх) б 5 и А,(Рмх) Е М. Применяя к обеим частям (50) оператор Рс, получим РсАх = А, (Рсх) = АРсх, что и требовзлось доказзть. Переходим к доказательству достаточности.
Из условия коммутирования Рс и А следует, что если х б 0 (А), то и Р,х с 0 (А). Остается доказать, что если х Е 0 (А) и х Г Г., то Ах Г 5 и аналогично для М, Г!ервое непосредсгяешго следует из формулы РсАх= = АРсх, левая часть которой очевидно прннадлеяггп Г., а прзвую мояпчо представить в ниде АРсх = Ах, ибо х - 5. То же верно и для М, нбо если А коммугирует с Рс, то А коммугирует и с Рм. Ггерейдем теперь к тому случщо, когдз А — самосопряженный оператор. Теорема 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
